考研数学二（解答题）模拟试卷177

考研数学二(解答题)模拟试卷177

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

1

~~~limxH.

1、设x]—2,Xn+1—2十",11—1,2,...,求*

I

标准答案：令f(X)=2+*,则Xn+|=f(Xn).显然f(X)在X>0单调下降，因而由上面

—limx,

的结论可知｛xn｝不具单调性.易知,2金心2.设1・=n,则由递归方程得a=2+

0,即a?—2a—1=0,解得户―2一一='则由它2知a=&+l>2.现考

|(2+斗(2=一小

察IXn+]-aI'a*I叫4因此,

lim*n=a=^2+I.

[血点解析：暂无解析

lim*：)=1,又lim伊(“)=0

2、(1)设取)，g(x)连续，且，3g(%)…，求证：无穷小

1o'"x)f(t)di〜Jo("')g(t)dt(x-a)；(II)求w=3-o｛foX3ln(l+2sint)dt/

x3

[f0ln(l+2sint)dt]｝.

标准答案：(I)由

UU：九)&/C⑴d"，二"，四｛〃(,)#/

洛必达法则/(u)

======

^㈣oVTu)1，=

Jo•x)f(l)dt〜Jo岭)g(t)dt(x—a).(II)因ln(l+2sinx)〜2$inx〜2x(x—>0),由题(I)

foX3ln(l+2sint)dt-foX32tdt=t2I00=*6,甘侬1+2§加)由〜H2tdt=x2.因此，利用等价

无穷小因子替换即得

知识点解析：暂无解析

3、设函数取)有反函数g(%),且f(a)=3,f(a)=l,3(a)=2,求g〃(3).

标准答案：记丫=九%).应注意到，g(%)为f(%)的反函数，已经改变了变量记号，为

了利用反函数导数公式，必须将g(%)改写为g(y).由反函数求导公式有「a)g，(y)=

1，将该等式两边关于戈求导得f"(%)g'(y)+?(x)g〃(y)y'x=0,或f"⑵g'(y)+

[F（%）「g"（y）=0-注意到g'（3）=/在上式中令％=a,应有y=3,因此

得到g〃（3）=一『（a）g〈3）=-2.

知识点解析：暂无解析

4、一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐

平放，当油罐中油面高度为时,计算油的质量（长度单位为m,质量单位为

kg,油的密度为常数p,单位为kg/n?）。S

标准答案：如图所示，建立直角坐标系，则

尤+£-1

油罐底面椭圆方程为Ty一°图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。

记Si为下半椭圆面积，则S12"ab,记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则

2

S2=，记y=bsint,则dy=bcostdt,则

22

S2=Zab,>/\-sintcos/dx=2ab[costd£=ab](1+cos2t)df=+：)，

因此可知油的质量为⑸+S2）lp=

（-^-Ttab+--a6++亨卜b/p°冈

知识点解析：暂无解析

5、设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点

(-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运

动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.

=oy

标准答案：,t

会T回虾同x=­I

知识点解析：暂无解析

111200,

AB=020

6、己知L-3-3-00y-(1)求x,y.(2)求作可逆矩阵U,

使得U^AU=B.

标准答案：(l)A与B相似，从而有相同的特征值2,2,y.2是二重特征值，于是

1'11-1­

A-2£=22-2001-5X=5.

r(A—2E)=1.--3-3x-2--000-A与B相似从而

lr(A)=tr(B),于是l+4+5=2+2+y.得y=6.(2)求属于2的两个线性无关的特征向

-1-11'II-1

A-2E-22-2000

量：即求(A-2E)X=0的基础解系:--3-33--000-得(A

—2E)X=0的同解方程组xi=-X2+X3,得基础解系中二(1,-1,0)T,t|2=(l，0,

1)T.求属于6的一个特征向量:即求(A—6E)X=0的一个非零解:

--5-11--30-r

A-6E=2-2-2032

-3-3-1-■000■得(A-6E)X=0的同解方程组

%3=°，

0.得解】13=(1，—2,3)三令U=(r)l，"2，"3)，则

-200'

U-lAU=020

-006-

知识点解析:暂无解析

In2>四二±2

7、设b>a>0,证明：a。+6

ln->2(b-a)

标准答案：。。+6(a+b)(lnb-Ina)-2(b-a)>0.令(p(x)=(a+)：)(ln%

—Ina)—2(%—a),(p(a)=0,(p'(x)—lna+x—1,(pf(a)=0,▼"(%)=

1ax—a)>0(j>a),

£“2N?>0(x>a).由a(a)=0，得(p'(%)>0(X>a),再

，(工)>0(x>a)•

由3储)=0，W(p(X)>0(x>a)，所以q(b)>0,原不等式得证.

知识点解析：暂无解析

22

xty

8、在椭圆7+^=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线，椭圆及两坐标

轴所围图形的面积为最小.

标准答案：过椭圆上任意点(x(),y())的切线的斜率y，(xo)满足

此空

T+~■n~=°，则7(与)=—(兀/0).

abaXo切线方程为y—yo=q2r°(x—

"一公’，一元.于是该切线与椭

xo).分别令y=0与x=0,得X,y轴上的截距：

千变-%人

S(勾)

2与九4

圆及两坐标轴所围图形的面积(图4.9)为图4,9问题是求:

S(x)=2*y-4"°(0<xVa)的最小值点，其中y二V-靛，将其代入S(x)中,

问题可进一步化为求函数f(x)=x］a2—x2)在闭区间［0,a］上的最大值点.由

公

f(x)=2x(a2—2x2)=0(xG(0,a))得a2—Zx'o,x=xo=2.注意f(0)=f(a)=0,f(xo)>

0,故xo=坛是f(x)在［0,a］的最大值点.因此0(冬•例为所求点.

知识点解析：暂无解析

a+Ba0•••00

Ba+Ba•••00

0Ba+B•••00

*•*•••

*•***

000•••a+8a

000•••Pa+6

9、计算n阶行列式，其中a邦。

a年a0••■00

/3a，a•♦•00

()sa+6•••00

D.=*■■■*1

***•**•

000♦•♦a+6a

•••

标准答案：000Ba♦B,则将该行列式按第一行展

Pa•••00

0a+6•••00

*•*(

a=(a+/DDI-a*•*•••*

00•••a+6a

00•••

开得Ba-B再将上式中后面的n

-1阶行列式按照第一列展开得Dn=(a+p)Dn-l—a0Dn-2,!MDn—aDn-l=P(Dn-1—

2

aDn-2)=p(Dn.2一aDn-3)=…邛n-2①2一aD。邛/^+印+内一a(a+p)]=pn.即Dn

一aDn-1邛n,（1）类似地,有Dn-pDn-i=a，（2）⑴邛一（26。可得（°一

a）Dn=pn+1-an+,,所以

知识点解析：暂无解析

10、siarcosx

标准答案:

-s职工业+cos\r

sinjrcosisinzcosxsmj-cosxsin.rcosx

fd(cosx)1sin*x+cos\r,

―:----------:------ctr

sinxcosx3cos'isinxcos\r

—“四竿2十Lardi

3COS\rJCOSTJ

1

+Incsc.r-cot”|+C.

3COSJCOST

知识点解析：暂无解析

<x

11、设函数f(%)=Q，z=°，其中g(%)二阶连续可导，且g(0)=

1.⑴确定常数a,使得f(%)在x=0处连续；⑵求？(%);(3)讨论？(%)在％=0处的

连续性.

标准答案：(1)

lim/(x)=lim二£。¥=1而产)_&⑹+匕3]=/(。).

,••0工-oJCjr-oLz”.

当a=g，(0)时，f(»在无=0处连

续.

(2)当工X0时/(幻=+sinr)[g(».二c。㈤

g(x)-cosx_/(0),

而1而'⑺一颂=lim—---------------limg(.—es；-6(。%

x7JCx-*0JC*-0JC

=iim『⑺+s严-/122=|iim「g'a)——+照]=:[/(o)+1]

…2x2/-oL才z」2

z[g'(z)+sinz]—[g(N)-cosx]三丰0,

所以f(i)=v

y[g<(0)+l],”=0.

⑶lim/G)=]而产\"七皿]:[2)二『』

0工-0IN/

_|jmg'Cr)+sinx+z[g"(z)+cosz]-g'(±)—sinr

LO2X

=lim1[g"(x)+1]=4"[g"(0)+1]

x^0乙/

lim

因为，-o?(%)=p(O),所以F(%)在％=0处连续.

知识点解析：暂无解析

12、求微分方程xy"+3y=0的通解.

标准答案：令y'=p,则

z翌+3/>—0或乎+—/>=0,

drdxx

解得/>=Ge旧必=?,即：/=*，则：y=一枭+。2

知识点解析：暂无解析

1-2-4-*50O'

-2x-2与4:0-40

13、设矩阵-4-210°,」相似，求x,丫：并求一个正

交矩阵PffiP1AP=Ao

标准答案：A与A相似，相似矩阵有相同的特征值，故入=5,入=一4,是A的

特征值。因为九=一4是A的特征值，所以

5-2-4

IA+4E|=-2%+4-2=9(x-4)=0

-25I解得x=4。又因为相似矩阵的行列

1-2-41

A|二-24-2100,|=-20y,

-4-21

式相同,所以y=5。当X=5时,

■1I1-

：0和-2

解方程(A—5E)x=0,得两个线性无关的特征向量L-1」0」将它们正交化、单

Pt:10，Pi=-4L

位化得:当人一4时，解方程(A+4E)x=0,得特

「21

2

3

征向量L2单位化得:则P1AP=A,

知识点解析：暂无解析

TT

14、设囚二(1,1,1,3),a2=(-l>-3,5,1产，a3=(3,2,-1,p+2),a2=(-2,-

6,10,p)T.P为什么数时，ai,a2，ct2,04线性相关?此时求Kai,a?,a?,(u)和

写出一个最大无关组.

标准答案：计算r(ai，(12,Ct2,04)(ai，12»CU)=

1-13-2-1-13-2*

1-32-6初等行变换0-2-1-4

15-1100010

「_」则当片时,

-31p+2p-♦00022

r(ai,a2»a2，Q4)=3,ai，Q2，a2»04线性相关，ai，a2,a2是一个最大无关

组.当p#2时,r(aj,02，C12，O4)=4»ai,Q2»Q2，04线性无关.

知识点解析：暂无解析

TV~~yarctan1+工(17・

15、1+丁—I

标准答案：

由卜rctan青)'=心得

f-~~-~~2arctan土=farctan--d(arctan卢*)=4-(arctan:+：)+C・

J14-x21J—xJ1—x\I-X)2\

知识点解析：暂无解析

0100

1000

00y1

12J有一个特征值为3.

设矩阵A=00

16、求y；

标准答案：因为3为A的特征值，所以I3E-AIM),解得y=2.

知识点解析：暂无解析

17、求可逆矩阵P,使得(AP)T(AP)为对角矩阵.

1000

0100,令4=(/544

00545

标准答案：(AP)T(AP尸pTATAP=pTA?P,A2=0045

回；九=9时,

入E-A]I=0得入]=1,入2=9,当入=1时,由(E-Ai)X=0得ai=由(9E-

A])X=0得a2=单位化得

知识点解析：暂无解析

18、72-祚齐次线性才方军AX=b有三个解向量ai，。2,013且r(A)=3.设囚+

-6-2

-214

a2=,a2+a3=.求方程组AX=b的通解.

标准答案：因为r(A)=3,所以方程组AX=b的通解形式为k〈+n，其中&为AX

=0的一个基础解系，n为方程组AX=b的特解，根据方程组解的结构的性质，匕

11

4-3

~32

6一1

，n=，所以方程组人*=1)的通解为

x2yA

19、设敢，y)=0,其他，…儿,

y)d%dy-

标准答案：令D]={(%,y)I匹仄2,v2x-7<y<x!,则

g/(z,y)dzdy=jp加dy=卜可右7刈=(x4-x3)dj-=嘉.

乙u

t)O|

知识