2023-2024学年山东省济宁市邹城市高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年山东省济宁市邹城市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）sin45°cos15°+cos45°cos75°的值为（）A．12 B．−12 C．32．（5分）1+2i2−iA．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知a→，bA．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线4．（5分）为了得到函数y=2sin(2x+π6)的图象，只需把函数yA．向左平行移动π6个单位长度B．向右平行移动π6个单位长度C．向左平行移动π12个单位长度D．向右平行移动π125．（5分）已知向量a→=(0，−2)，b→=(1，t)，若向量b→在向量A．﹣8 B．﹣4 C．−526．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，−πA．f(x)=sin(2x−πB．y=f(x+π3C．|AB|=πD．直线x=−π12是f（7．（5分）若平面向量m→，n→，A．49 B．7 C．49或7 D．7或78．（5分）已知θ∈(π2，A．14 B．34 C．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z1A．z1B．复数z2对应的平面向量的坐标为（2，1） C．|z2|＝5|z3| D．复数z3在复平面上对应的点在虚轴上（多选）10．（6分）我们把由平面内夹角成30°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．e1→，e2→分别为Ox，Oy正方向上的单位向量．若向量OP→=xe1→+ye2→，则把实数对{x，y}叫做向量OP→的“@未来坐标”，记A．e1B．a→+b→的“@未来坐标”为{x1+x2，y1+C．a→D．若向量a→，b→的“@未来坐标”分别为{sinx（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝sinnx+cosnx，（n∈N*，x∈R），则下列结论正确的是（）A．当n＝1时，f（x）在[−34B．当n＝2时，f（x）＝1 C．当n＝4时，f（x）的最小正周期为π4D．当n＝8时，f（x）的值域为[三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）若向量a→=(1，−3)，则与13．（5分）已知tan(α+β)=13，tan(α−β)=1214．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，延长BE交AC于点F，若b=2，4sinAsinC=33sinB，则△AEF的面积为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知a→，b（1）若|b→|=52（2）若|c→|=53，且(a→+16．（15分）已知函数f(x)=sinxsin(x+π（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在区间[−π17．（15分）已知﹣2+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根．（1）求p，q的值及方程的另一个根；（2）若实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)在复数集C内的两根为x1，x2，请猜想两根x1，x2与实系数a0，a1，a2有怎样的结论？并用方程（3）若z＝x+yi（x，y∈R），则复平面内满足|z﹣（p+qi）|＝3的动点Z（x，y）的集合是什么图形？18．（17分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分a，b，c，（a﹣b+c）sinB＝（b﹣a）sinA+csinC．（1）求角A的大小；（2）若c＝4，M为△ABC外心，D为AC中点，DM=3−1，求边19．（17分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．（1）如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度；（3）如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度H2的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t（精确到0.1）（参考公式：sinθ+sinφ=2sinθ+φ

2023-2024学年山东省济宁市邹城市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）sin45°cos15°+cos45°cos75°的值为（）A．12 B．−12 C．3【考点】两角和与差的三角函数．【答案】C【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin45°cos15°+cos45°cos75°＝cos（75°﹣45°）＝cos30°=3故选：C．2．（5分）1+2i2−iA．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数的运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：1+2i2−i故选：C．3．（5分）已知a→，bA．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【考点】平面向量的相等与共线．【答案】B【分析】结合向量共线定理及向量共线与点共线转化关系检验各选项即可判断．【解答】解：因为AB→所以AB→与BC→不共线，即A，B，C不共线，BD→=BC→+CD→=2a→因为BC→与CD→不共线，即B，C，D不共线，AC→=AB→+BC→=3a→−8b→，则AC故选：B．4．（5分）为了得到函数y=2sin(2x+π6)的图象，只需把函数yA．向左平行移动π6个单位长度B．向右平行移动π6个单位长度C．向左平行移动π12个单位长度D．向右平行移动π12【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】C【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．【解答】解：为了得到函数y=2sin(2x+π6)的图象，只需把函数y＝2sin2x故选：C．5．（5分）已知向量a→=(0，−2)，b→=(1，t)，若向量b→在向量A．﹣8 B．﹣4 C．−52【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：由题意可知，|a向量b→在向量a→上的投影向量为则a→⋅ba→则﹣2t＝8，解得t＝﹣4．故选：B．6．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，−πA．f(x)=sin(2x−πB．y=f(x+π3C．|AB|=πD．直线x=−π12是f（【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】C【分析】由已知特殊点的函数值求出φ，结合周期范围求出ω的范围，进而可求ω，结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．【解答】解：由题意得sinφ=−12且所以φ=−π因为−5ωπ12−π6=k所以ω=−12k+25，k∈又πω＞5π所以0＜ω＜12故ω＝2，f（x）＝sin（2x−π6），f（x+π3）＝cos2x为偶函数，由sin（2x−π6）=12可得，2x−所以x=π6或x故|AB|=π2−因为2×(−π12)−故选：C．7．（5分）若平面向量m→，n→，A．49 B．7 C．49或7 D．7或7【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的概念与平面向量的模．【答案】D【分析】平面向量m→【解答】解：因为平面向量m→，n→，当夹角为120°时，|m=4+1+16+2×2×1×(−1故|m当夹角为0°时，|m＝4+1+16+2×2×1+2×2×4+2×1×4＝49，故|m故选：D．8．（5分）已知θ∈(π2，A．14 B．34 C．1 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；二倍角的三角函数．【答案】D【分析】由已知结合二倍角公式及和差角公式进行化简先求出tanθ，然后结合同角基本关系及二倍角公式对所求式子进行化简即可求解．【解答】解：因为θ∈(π所以2tanθ1−tan2解得tanθ=−12或tan因为θ∈(π所以tanθ＜﹣1，故tanθ＝﹣2，则1−sin2θ2co故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z1A．z1B．复数z2对应的平面向量的坐标为（2，1） C．|z2|＝5|z3| D．复数z3在复平面上对应的点在虚轴上【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的模．【答案】AD【分析】由已知结合复数的四则运算对各复数进行化简，然后结合复数的基本概念及复数的几何意义检验各选项．【解答】解：因为z1＝1﹣2i，z2＝2i+1，z3=1−i1+i则z1﹣z2＝﹣4i，z1−z2=复数z2对应的平面向量的坐标为（1，2），B错误；|z2|=5，|z3|＝1，C数z3在复平面上对应的点（0，﹣1）在虚轴上，D正确．故选：AD．（多选）10．（6分）我们把由平面内夹角成30°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．e1→，e2→分别为Ox，Oy正方向上的单位向量．若向量OP→=xe1→+ye2→，则把实数对{x，y}叫做向量OP→的“@未来坐标”，记A．e1B．a→+b→的“@未来坐标”为{x1+x2，y1+C．a→D．若向量a→，b→的“@未来坐标”分别为{sinx【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【答案】BCD【分析】A中，由向量的数量积的性质可得e1→•e2→的值，判断出A的真假；B中，由向量的加法运算，可得a→+b→的坐标表示，判断出B的真假；C中，由数量积的运算性质可得a→•b→的表达式，判断出C的真假；【解答】解：A中，由题意可得e1→•e2→=|e1→B中，由向量的加法可得a→+b→=（x1+x2）+（y1+C中，a→•b→=（x1e1→+y1e2→）•（x2e1→+y2e2→）＝x1x2e1→2+y1y2e＝x1x2+y1y2+32（x1y2+x2y1），所以D中，由C选项可得：a→•b→=sinxcosx+1+32设t＝sinx+cosx=2sin（x+π4）∈[−两边平方可得t2＝sin2x+cos2x+2sinxcosx＝1+2sinxcosx，所以sinxcosx=t设y=t2−12+1+32t，函数开口向上，对称轴t=−32，又因为|2−（32）|＞|所以t=2时，函数y的函数值最大，且ymax=2−12+1+62=3+6故选：BCD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝sinnx+cosnx，（n∈N*，x∈R），则下列结论正确的是（）A．当n＝1时，f（x）在[−34B．当n＝2时，f（x）＝1 C．当n＝4时，f（x）的最小正周期为π4D．当n＝8时，f（x）的值域为[【考点】三角函数的周期性．【答案】ABD【分析】把n的值依次代入，结合三角函数的性质逐项判断即可．【解答】解：当n＝1时，f（x）＝sinx+cosx=2sin（x+当−3π4≤x≤π4时，−π2当n＝2时，f（x）＝sin2x+cos2x＝1，B正确；当n＝4时，f（x）＝sin4x+cos4x＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x＝1−12sin22x＝1故T=π2，当n＝8时，f（x）＝sin8x+cos8x＝（sin4x+cos4x）2﹣2sin4xcos4x＝[（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x]2﹣2sin4xcos4x＝（1−12sin22x）2−18sin42x=18sin42令sin22x＝t，则0≤t≤1，转化为y=18t2﹣t+1，0≤对称轴t＝4，故t＝0时，y取最大值1，t＝1时，y取最小值18即n＝8时，f（x）的值域为[18，1]故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）若向量a→=(1，−3)，则与a→【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的概念与平面向量的模．【答案】(1【分析】结合向量共线的性质，以及单位向量的定义，即可求解．【解答】解：向量a→则|a故与a→方向相同的单位向量是a故答案为：(113．（5分）已知tan(α+β)=13，tan(α−β)=12，则tan2β【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数．【答案】−1【分析】由已知结合tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]，利用两角差的正切公式即可求解．【解答】解：因为tan(α+β)=1所以tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]=tan(α+β)−tan(α−β)故答案为：−114．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，延长BE交AC于点F，若b=2，4sinAsinC=33sinB，则△AEF的面积为3【考点】解三角形；正弦定理．【答案】38【分析】根据正弦定理可得△ABC的面积，根据等底等高的性质，可得S△DCF=1【解答】解：连接DF，∵4sinAsinC=33sinB，∴4asinC=33S△ABC=12absinC=332，∵D为BC中点，∴又E为AD中点，∴S△AEF＝S△EFD，S△ABE＝S△BDE，S△BFD＝S△DCF，∴S△DCF=1故答案为：38四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知a→，b（1）若|b→|=52（2）若|c→|=53，且(a→+【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】（1）b→=(2（2）33【分析】（1）由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解；（2）由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算求解．【解答】解：（1）已知a→，b因为a→设b→又|b则|b则λ=±5所以b→=(2（2）因为(a所以(a又因为|a则a→所以cosθ=a16．（15分）已知函数f(x)=sinxsin(x+π（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在区间[−π【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【答案】（1）(−π（2）最大值和最小值分别为14【分析】（1）结合和差角公式，二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解；（2）结合正弦函数的单调性即可求解函数的最值．【解答】解：（1）由题意得，f(x)=sinx(=1=3=12sin（2x+π由2x+π6=kπ，k∈Z，得x=−所以函数f（x）的对称中心为(−π（2）当−π4≤x≤当2x+π6=π2当2x+π6=−π3所以函数f（x）在区间[−π4，17．（15分）已知﹣2+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根．（1）求p，q的值及方程的另一个根；（2）若实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)在复数集C内的两根为x1，x2，请猜想两根x1，x2与实系数a0，a1，a2有怎样的结论？并用方程（3）若z＝x+yi（x，y∈R），则复平面内满足|z﹣（p+qi）|＝3的动点Z（x，y）的集合是什么图形？【考点】复数集C及其关系和运算．【答案】（1）p=4q=5，﹣2﹣i（2）x1（3）复平面内满足|z﹣（p+qi）|＝3的动点Z的集合是以（4，5）为圆心，3为半径的圆．【分析】（1）将﹣2+i代入方程中，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解；（2）结合韦达定理，并验证，即可求解；（3）结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，（﹣2+i）2+p（﹣2+i）+q＝0，整理得（3﹣2p+q）+（p﹣4）i＝0．故3−2p+q=0p−4=0，解得p=4可得方程x2+4x+5＝0的根为x＝﹣2±i，所以另一个根为﹣2﹣i；（2）猜想：实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0则x1验证：方程x2+4x+5＝0的根为x1＝﹣2+i，x2＝﹣2﹣i，x1+x2＝﹣4，x1•x2＝（﹣2+i）（﹣2﹣i）＝5，故猜想成立；（3）z＝x+yi（x，y∈R），由（1）可知p=4q=5，|z−(p+qi)|=3可化为|（x+yi）﹣（4+5i）|＝|（x﹣4）+（y﹣5）所以(x−4)2+(y−5)2故复平面内满足|z﹣（p+qi）|＝3的动点Z的集合是以（4，5）为圆心，3为半径的圆．18．（17分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分a，b，c，（a﹣b+c）sinB＝（b﹣a）sinA+csinC．（1）求角A的大小；（2）若c＝4，M为△ABC外心，D为AC中点，DM=3−1，求边【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）A=π（2）26．【分析】（1）根据正弦定理把角转化为边，再结合余弦定理求解即可；（2）根据同角三角函数基本关系式求解结论．【解答】解：（1）由（a﹣b+c）sinB＝（b﹣a）sinA+csinC结合正弦定理得：（a﹣b+c）•b＝a•（b﹣a）+c2，即bc＝b2+c2﹣a2，由余弦定理得：cosA=b因为A∈(0，π2)（2）在锐角△ABC中，M为△ABC外心，所以AM＝BM＝CM＝r，c＝4设∠CAM＝α，则∠BAM=π在△ABM，cos(π3−α)=2在△ACM中，sinα=3−1r，可得联立①②可得2cos(化简得(3−1)cosα=(因为sin2α+cos2α＝1④，联立③④解得sinα=6在△ABC中，由正弦定理得：asinA=2r，∴19．（17分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转