2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|﹣2＜x≤3}，则∁R（A∩B）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞） B．（﹣∞，1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（5，+∞） D．（﹣∞，1）∪[5，+∞）2．（5分）复数z=1−iA．−25 B．−15 C．3．（5分）已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.64．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，点P（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若|PO|＝|PQ|（O为坐标原点），则x0＝（）A．22 B．3 C．325．（5分）已知方程x2m−2+y2A．（3，4） B．（2，3） C．（2，3）∪（3，4） D．（2，4）6．（5分）函数f(x)=(−a−5)x−2，x≥2x2+2(a−1)x−3a，x＜2，若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有A．[﹣4，﹣1] B．[﹣4，﹣2] C．（﹣5，﹣1] D．[﹣5，﹣4]7．（5分）如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（）A．0.25cm3 B．0.65cm3 C．0.15cm3 D．0.45cm38．（5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线与⊙M：（x﹣a）2+（y−b2）A．3 B．233 C．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知直线l1：x−a2y+2=0，直线l2：ax﹣（a﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥A．﹣1 B．0 C．1 D．2（多选）10．（6分）关于成对数据统计分析的下列结论中，正确的是（）A．若两个变量x与y的相关系数r＜0，则这两个变量负相关 B．若两个变量x与y的相关系数r越大，则这两个变量的线性相关程度越强 C．若两个变量x与y的相关系数r＝0，则这两个变量不具有相关关系 D．对于两个变量x与y的经验回归方程，若决定系数R2越大，则经验回归方程的拟合效果越好（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝sin（cosx）+cos（sinx），则（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）的最大值大于2 C．∀x∈R，f（x﹣2π）＝f（x） D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若cos（π﹣α）=−23，且α∈（−π2，0），则tan13．（5分）已知函数f(x)=x2+2x−1，x≤03x+m，x＞0在14．（5分）若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），则关于x的不等式ax+bx−1−a+c＞0的解集为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且acosC＝b−csinA（1）求A；（2）若a＝3，试探究：△ABC的周长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．16．（15分）已知{an}为等比数列，且a3+a6＝36，a4+a7＝18．（1）若an=1（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S8．17．（15分）甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为13（1）求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；（2）设比赛结束后甲队的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望．18．（17分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到点P处，平面PAE⊥平面ABCE．（1）证明：平面PAB⊥平面PBE；（2）求二面角C﹣PA﹣B的正弦值．19．（17分）已知函数f（x）＝lnx+2a（1）设函数g（x）=x+1x⋅f(x)−lnxx（2）设x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点，证明：|f（x2）﹣f（x1）|＜2(a−2)

2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|﹣2＜x≤3}，则∁R（A∩B）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞） B．（﹣∞，1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（5，+∞） D．（﹣∞，1）∪[5，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】利用交集、补集定义、不等式性质求解．【解答】解：集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|﹣2＜x≤3}，∴A∩B＝{x|1≤x≤3}，则∁R（A∩B）＝{x|x＜1或x＞3}．故选：B．2．（5分）复数z=1−iA．−25 B．−15 C．【考点】复数的运算．【答案】A【分析】借助复数的运算法则计算即可得．【解答】解：由z=1−i可得复数z的虚部为−2故选：A．3．（5分）已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【考点】两点分布（0﹣1分布）．【答案】D【分析】根据两点分布的期望即可求解．【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，∴E（X）＝0×（1﹣p）+1×p＝p＝0.6．故选：D．4．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，点P（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若|PO|＝|PQ|（O为坐标原点），则x0＝（）A．22 B．3 C．32【考点】抛物线的焦点与准线．【答案】A【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．【解答】解：已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，则F(0，p又抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为l，点P（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，过P作l的垂线，垂足为Q，由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，又∵|PO|＝|PQ|（O为坐标原点），则|PO|＝|PF|，则点P在线段OF的中垂线上，则p4即p＝4，即抛物线C的方程为x2＝8y，又点P（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，则x0则x0故选：A．5．（5分）已知方程x2m−2+y2A．（3，4） B．（2，3） C．（2，3）∪（3，4） D．（2，4）【考点】椭圆的几何特征．【答案】B【分析】利用已知条件，列出不等式，求解即可．【解答】解：方程x2m−2+可得4﹣m＞m﹣2＞0，解得m∈（2，3）．故选：B．6．（5分）函数f(x)=(−a−5)x−2，x≥2x2+2(a−1)x−3a，x＜2，若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有A．[﹣4，﹣1] B．[﹣4，﹣2] C．（﹣5，﹣1] D．[﹣5，﹣4]【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．【答案】A【分析】确定函数f（x）在R上单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案．【解答】解：因为对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有f(x所以f（x）是R上的减函数，则4+4(a−1)−3a≥2(−a−5)−2−a−5＜0解得﹣4≤a≤﹣1．故选：A．7．（5分）如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（）A．0.25cm3 B．0.65cm3 C．0.15cm3 D．0.45cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】D【分析】先求出正三棱锥的底面正三角形内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积．【解答】解：∵铜镞由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，∴正三棱锥的底面正三角形边长为1，设正三角形内切圆半径为r，由等体积法得：12×1×1×sin60°=1解得r=36，∴其内切圆半径为由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：V=13×12×1×1×sin60°×故选：D．8．（5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线与⊙M：（x﹣a）2+（y−b2）A．3 B．233 C．2 【考点】双曲线的几何特征．【答案】B【分析】由题意画出图形，可得M到一条渐近线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解．【解答】解：如图，⊙M：（x﹣a）2+（y−b2）2=b24的圆心坐标M（a∵△AMB为正三角形，∴M到AB的距离d=3渐近线方程y=bax，即bx∴|ab−ab2|a故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知直线l1：x−a2y+2=0，直线l2：ax﹣（a﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【答案】BC【分析】根据直线的垂直关系得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：若l1⊥l2，有a+a2（a﹣2）＝0，解得a＝0或1，故选：BC．（多选）10．（6分）关于成对数据统计分析的下列结论中，正确的是（）A．若两个变量x与y的相关系数r＜0，则这两个变量负相关 B．若两个变量x与y的相关系数r越大，则这两个变量的线性相关程度越强 C．若两个变量x与y的相关系数r＝0，则这两个变量不具有相关关系 D．对于两个变量x与y的经验回归方程，若决定系数R2越大，则经验回归方程的拟合效果越好【考点】样本相关系数；决定系数与模型的拟合效果．【答案】AD【分析】根据相关系数r和决定系数R2的性质判断．【解答】解：对于A，若两个变量x与y的相关系数r＜0，则这两个变量负相关，故A正确；对于B，若两个变量x与y的相关系数r的绝对值越大，则这两个变量的线性相关程度越强，故B错误；对于C，若两个变量x与y的相关系数r＝0，只表明两个变量没有线性相关关系，不能排除它们之间有其他相关关系，故C错误；对于D，对于两个变量x与y的经验回归方程，若决定系数R2越大，则经验回归方程的拟合效果越好，故D正确．故选：AD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝sin（cosx）+cos（sinx），则（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）的最大值大于2 C．∀x∈R，f（x﹣2π）＝f（x） D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞0【考点】三角函数的最值．【答案】BCD【分析】根据函数的性质分别判断各选项．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（0）＝sin1+cos0＝sin1+1≠0，故选项A错误；f（x﹣2π）＝sin（cos（x﹣2π））+cos（sin（x﹣2π））＝sin（cosx）+cos（sinx）＝f（x），故选项C正确；f(0)=sin(cos0)+cos(sin0)=sin1+cos0=sin1+1＞22+1＞f（x+π）＝sin（cos（x+π））+cos（sin（x+π））＝sin（﹣cosx）+cos（﹣sinx）＝﹣sin（cosx）+cos（sinx），∵cosx+|sinx|≤2∴cosx＜π2−|sinx|，当x∈[0，π]时，cosx∈而y＝sinx在[−π∴sin(cosx)＜sin(π∴当x∈[0，π]时，f（x+π）＞0，故选项D正确，故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若cos（π﹣α）=−23，且α∈（−π2，0），则tan【考点】同角三角函数间的基本关系．【答案】−14【分析】由已知利用诱导公式可求cosα，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵cos（π﹣α）＝﹣cosα=−2∴cosα=2∵α∈（−π∴sinα=−1−co∴tanα=sinα故答案为：−1413．（5分）已知函数f(x)=x2+2x−1，x≤03x+m，x＞0在【考点】函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】讨论当x≤0时，当x＞0时，运用二次函数的单调性和指数函数的单调性，可得f（x）的范围，由题意即可得到所求m的范围．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2≥﹣2，即有x＝﹣1时，取得最小值﹣2，当x＞0时，f（x）＝3x+m递增，可得f（x）＞1+m，由题意可得1+m≥﹣2，解得m≥﹣3，故答案为：[﹣3，+∞）．14．（5分）若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），则关于x的不等式ax+bx−1−a+c＞0的解集为【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】不等式ax+bx−1−a+c＞0化为根据不等式ax2+bx+c＜0的解集得出对应方程的实数解，列出不等式组求出解集．【解答】解：关于x的不等式ax+bx−1可整理为a(x−1)+bx−1即a(x−1又不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），所以1和2是方程ax2+bx+c＝0的两个实数解，所以x−1＜1或x−1解得1≤x＜2或x＞5；所以不等式ax+bx−1故答案为：[1，2）∪（5，+∞）．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且acosC＝b−csinA（1）求A；（2）若a＝3，试探究：△ABC的周长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．【答案】（1）π3（2）9．【分析】（1）由已知可得3sinAcosC=3sinB﹣sinCsinA，进而可得tanA=3，可求（2）又a＝3，可得b＝23sinB，c＝23sinC，可得a+b+c＝6sin（B+π6）+3，可求△【解答】解：（1）∵acosC＝b−csinA3．∴3sinAcosC=3sinB﹣sinC∴3sinAcosC=3sin（π﹣A﹣C）﹣sinCsinA∴3sinAcosC=3sin（A+C）﹣sinCsinA∴3sinAcosC=3sinAcosC+3cosAsinC﹣sinCsin∴3cosAsinC＝sinCsinA，∵sinC≠0，∴tanA=3∵0＜A＜π，∴A=π（2）又a＝3，所以由正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=332=23，所以则1＝a+b+c＝23sinB+23sinC+3＝23sinB+23sin（2π3−B）+3＝33sinB+3cosB+3＝6sin（B因为0＜B＜2π所以π6＜B+π6＜5π6，当B+π16．（15分）已知{an}为等比数列，且a3+a6＝36，a4+a7＝18．（1）若an=1（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S8．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q根据条件a3+a6＝36，a4+a7＝18利用等比数列的通项公式可求出首项和公比再利用条件an=1（2）在第一问的基础上直接利用等比数列的前n项和公式即可求出S8．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q则an＝a1qn﹣1∵a3+a6＝36，a4+a7＝18∴a∴a∴a∵a∴a∴n＝9（2）由（1）可得S∴S17．（15分）甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为13（1）求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；（2）设比赛结束后甲队的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）40243（2）答案见解析．【分析】（1）由题意，可知在5场比赛中，甲队赢3场，从而可得概率；（2）根据分布列可解答．【解答】解：（1）设五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队（1分）为事件A，则P(A)=C（2）由题意可知X的取值为0，1，2，3，4，5，P(X=0)=(2P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=CP(X=5)=C随机变量X的分布列为：X012345P32243802438024340243102431243所以E(X)=0×3218．（17分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到点P处，平面PAE⊥平面ABCE．（1）证明：平面PAB⊥平面PBE；（2）求二面角C﹣PA﹣B的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；(2)2【分析】（1）首先由勾股定理逆定理得到AE⊥BE，再由面面垂直的性质得到BE⊥平面PAE，从而得到BE⊥PA，再根据PA⊥PE，即可得到PA⊥平面PBE，从而得证；（2）取AE的中点O，连接OP，即可得到OP⊥平面ABCE，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，由E为CD中点，易得AE=EB=22，又AB∴AE2+BE2＝AB2，即∠AEB＝90°，∴AE⊥BE，又平面PAE⊥平面ABCE．平面PAE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE．∴BE⊥平面PAE，又PA⊂面PAE，∴BE⊥PA，又PA⊥PE，BE∩PE＝E，BE，PE⊂平面PBE，所以PA⊥平面PBE，因为PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBE．（2）解：取AE