2025-2026月考试卷8年级（数学）一元二次方程根的判别式与系数关系（解析版）

2-4ac<0时，方程没有实根。(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范-4ac恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。ax2+bx+c=ax-x12)①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，因此，给定一元二次方程ax2+bx+c=0就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数x1，x2满足①与②,那么这两数x1，x2必是一个一元二次方程ax2+bx+c=利用根与系数的关系，我们可以不求方程ax2+bx+c=0的根，而知其根的正、负性．当c<0时，方程的两根必一正一负．若-b≥0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若-b<0，则此当当>0时，方程的两根同正或同负．若->0，则此方程的两根均为正根；若-<0，则此方程的两根aa①(x1-m)(x2-m)<0⇋x1>m，x2<m②(x1-m)(x2-m)>0且(x1-m)+(x2-m)>0⇋x1>m，x2>m③(x1-m)(x2-m)>0且(x1-m)+(x2-m)<0⇋x1<m，x2<m·特殊地：当m=0时，上述就转化为ax2+bx+c=0(a≠0)有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：x2-(x1+x2)x+x1x2=0．⑤若a-b+c=0，则ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根x=-1．⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时【例1】（2025·上海松江·模拟预测）若x=2是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，则方程的另一个根是()A．-5B．-2【答案】【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：x1+xx1x是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知x1+x2=3，即可得出答案．【详解】解：丫x=2是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，2-4x-5=0的两个实数根分别为x1，x2则x1＋x2等于()4343【答案】【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反x【答案】【答案】是该方程的两个实数根，则x1+xx1x，据此可得 则则a+3=k+3，3a=3解得a=1，k=112025·上海虹口·模拟预测）如果实数x、y（xy≠-1）分别满足3x2+2025x-2=0，2y2+2025y-3=0，则的值等于()20252025 2+2025y-3=0， 1y22025·上海宝山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+10x+3a+4=0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为．【答案】【答案】40的两个根，则有是解题的关键．【详解】解：设其中一个根为x1，另一个根为4x1，解得：a=4，324-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根分别为x1和x2，(2)求x+x的值．【答案】【答案】x1+xx1.x2=-2【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整（2）将x+x变形后再代入即可求得结果．1.x2-2x1.x2，+x2)2-2x1.x2， 一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=；(2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程k2-2=0．若方程的两个实数根为x1(2)k=0或k=2 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段A．x2-4x+4=0B．x2-16=0C．x2+6x+9=0D．x2-5x+9=0【答案】【答案】D【详解】解：A、x2-4x+4=0中，Δ=(-4)2-4×1×4=0，D、x2-5x+9=0中，Δ=(-5)2-4×1×9=-11<0，【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）下列关于x的一元二次方程有实数根的是()A．x2+2=0B．x2+2x+3=0C．2x2-3x+4=0D．x2-1±0【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若2-4ac<0，则方程没有实数根，据此求解即可．D、由题意得，Δ=02-4×1×(-1)=4>0，则原方程有两个不Δ=0．若此方程的一个根x1=3，则其另一个根x2=．【答案】【答案】3【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，由一元二次方程根的2故答案为：3．∴b2-4ac=m2-4×1×(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2；12025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程x2__mx+aQm2-6a，则P，Q的数量关系是()A．P-Q=1.5B．P-Q=-1.5C．2P+Q=0D．P+2Q=0【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为Δ=b2-4ac．先利用根的判别式的意义得到Δ=(-m)2-4a=1，则m2=1+4a，所以Qa，然后计算P-Q，从而可即P-Q=-1.5．22025·上海金山·模拟预测）定义运算：a※b=a2+ab-2b2，例如4※3=42+4´3-2´32，则不解方程，【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键．先利用新定义得到(x+1)2+2(x+1)-2´22=0，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可．\(x+1)2+2(x+1)-2´22=0，即x2+4x-5=0，324-25八年级上·上海虹口·期末）已知关于x的一元二次方程kx2-4kx+(4k-1)=0(k≠0)，试判断此一【答案】当【答案】当k>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当k<0时，一元二次方程无实数根【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号【详解】解：丫Δ=(-4k)2-4k(4k-1)=16k2-16k2+4k=4k，①当k>0时，4k>0，即Δ>0，\此一元二次方程有两个不相等的实数根；\此一元二次方程无实数根；综上所述，当k>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当k<0时，一元二次方程无实数根．424-25八年级上·上海青浦·期中）课本知识，关于x的一元二次方程ax2+·2cx+b=0，如果a、b、c满足a2+b2=c2且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程(1)初步探究：判断方程x2+2x+1=0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；\x2+2×2x+1=0\a=1，c=2，b=1\a2+b2=12+12=2，c2=(2)2=2，a≠0\a2+b2=c2\方程x2+2x+1=0是“勾系一元二次方程”；\a2+b2=c2，a≠02-4ab=2c2-4ab=2b2+2a2-4ab=2(a2+b2-2ab)=2(a-b)2≥0\关于x的“勾系一元二次方程”ax2+·2cx+b=【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）关于x的方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()A．m≥-1B．m<1C．m≥1D．m>-1【答案】【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的-2)2-4´1´(-m)>0，解得：m>-1．【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）关于x的一元二次方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是()44A．k≤-9B．k≥-9且k4444C．k≥-9D．k>-9且k44【答案】B【答案】B【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0【详解】解：丫关于x的一元二次方程kx2+3x【例3】（2025·上海松江·模拟预测）已知关于11【答案】-/-0.2542-4m×-1)=0，故答案为：-4【例4】（2025·上海静安·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2-2x+(k+1)=0有实根．(2)当k取最大整数时，求该方程的两个根．【答案】【答案】(1)k≤0(2)x1=x2=1【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．:Δ=b2-4ac≥0，-4k≥0，k≤0；原方程为x2-2x+1=0，2=0，解得：x1=x2=1．⊗1=2´1-3=-1，若关于x的方程【x,x+1】⊗(mx)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为A．m<B．m>-4【答案】【答案】C【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据新定义得到【详解】解：根据题意得x(mx)-x-1=0，整理得mx2-x-1=0，⊗(mx)=0有两个不相等的实数根，2+4m14y的一元二次方程(m-6)y2+2y-1=0有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为． 【详解】解：由①得x≤5，m+6由②得x>．55m+65m+6324-25八年级上·上海闵行·期末）关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根．(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m-2)x2+x+m-4=0与方程x2-3x+k=0有一个相同【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及方程根的应用．解题的关键是利用判别式确定参数的取【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及方程根的应用．解题的关键是利用判别式确定参数的取值范围，并通过代入相同根求解方程中的未知参数，同时要注意一元二次方程二次（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得x1=1，x2=2，分别代入一元二次方程求出对应的m，同时满足m-2≠0即可．-3)2-4×1×k≥0，4解得：k≤9；444方程x2-3x+k=0则为x2-3x+2=0，2+x+m-4=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，六当x=1时，(m-2)+1+m-4=0，解得m当x=2时，4(m-2)+2+m-4=0，解得m=2，而m-2≠0，52424-25八年级上·上海静安·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学素材对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求x2+2x+3最小值，令y=x2+2x+3，则x2+2x+3-y=0，则b2-4ac=4-4(3-y)=-8+4y≥0，可解得y≥2，从而确定x2+2x+3的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式任务1感受新知：用判别式法求3x2+4x-2的最小值．任务2探索新知：若关于x的二次三项式x2-ax+3（a为常数）的最小值为-1，求a的值．3【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解任务2：根据材料令y=x2-ax+3，利用判别式解答即可【详解】解：任务1：令y=3x2+4x-2，:3x2+4x-2-y=0．:Δ=16-4×3×(-2-y)≥0．解得：y≥-，32+4x-2的最小值为-．3任务2：由题意，令y=x2-ax+3，:Δ=a2-4×(3-y)≥0．12-a2解得：y≥,4又丫y最小值为-1，解得：a=±4．【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若x1，x2方程x2-4x-7=0的两个实的值为()【答案】【答案】D根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1-7=0，x1+x2=4，代入x-2x1+2x2计算可【详解】解：丫x1，x2是方程x2-4x-7=x2=4，x12-4x1-7=0，即x12-2x1=2x1+7，∴x-2x1+2x2+x2)+7=2´4+7则代数式的值是()【答案】C【答案】C代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则有(+x2=-c=a【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）若a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根，则代数式2a+2b-ab的值是．【答案】【答案】7x+xx1x．根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=-1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：丫a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根，\a+b=3，ab=-1，\原式=2(a+b)-ab=2×3+1=7．【例4】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知x1，x2是一元二次方程x2-x-3=(1)填空：x1+x2=；x1.x2=．(2)求代数式x12x2+x1x22的值．【答案】(1)【答案】(1)1,-3(2)-3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系求值，熟知这些知识点是正确解题的关键．（2）将x12x2+x1x22化成x1x2(x1+x2)，即可求解．【详解】（1）由一元二次方程x2-x-3=0可知a=1,b=-1,c=-3，（（2）x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=-3×1=-3．124-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若方程x2+px+q=0的根是2和3，那么代数式x2-px+q可分解【答案】【答案】B∴p=-5【点睛】本题考查了解一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系求出p，q是解224-25八年级上·上海普陀·期中）已知方程4x2-2x-7=0的两个实数根为x1、x2，求下列代数式的值．①x1+x2=；②x1.x2=；③x+x=；.【答案】/0.5--与系数的关系式：x1+xx1.x根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2后代入x变形后的式子计算求解．【详解】解：方程4x2-2x-7=0的两个实数根为x1、x2，2-2x1x故答案为：①2，②-4，③4，④-7．324-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，求下列代数式(2)x12+x222【答案】(1)2【答案】(1)-3；（2）将x12+x22写成(x1+x2)2-2x1x2，然后把x1+x2和x1x2的值代入其中即可求出代数式的值．本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2，则xx2是方程2x2-3x-1=0的两个根，（（2）x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2424-25八年级上·上海普陀·期中）阅读材料：设一元二次方程ax2+x(1)设一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．(2)设一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=2，x1x2=-3，则b=，c=.________(3)设一元二次方程x2-x-2=0的两个根分别为x1，x2，求代数式的值．【答案】【答案】(2)-2，-3（3）由根与系数的关系：x1+x2=1，x1x2=-2，结合：可得答案．x1x2x1x2则x1+xx1x（2）解：设一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=2，x六-b=2，c=-3，六b=-2，c=-3；x2=1，x1x2=-2，【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）若方程3x2-x-2=0的两根分别为x1和x2，则代数式：的值为()121B．-323【答案】【答案】A【分析】先对变形为，再由韦达定理即可求解．【详解】解：由韦达定理可知：x1+xx1.x【点睛】本题考查了一元二次方程中韦达定理，根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解决本题的关键．3mn-m的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是()①韦达定理求出m+n，mn的值；①解方程x2-3x-4=0；②化简3mn-m③将步骤①中的m+n，mn的值代入到步7-2②化简3mn-m7的结果中，解得代数式的值为-2 根据韦达定理：m+n=3，mn=-4， x2-3x-4=0， 解得：x1=4，x2=-1， 【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）已知一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为a、b，则代数式5-a2b-ab2的值为．【答案】2【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到a+b=3，ab=1，再根据5-a2b-ab2=5-ab(a+b)进行求【详解】解：【详解】解：丫一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为a、b，∴5-a2b-ab2=5-ab(a+b)=5-3是该方程的两个实数根，则x1+xx1x【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2-4x+5的最小值时，所以(x-2)2+1≥1．所以当x=2时，x2-4x+5有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题：(2)求代数式-x2+2x+9的最大或最小值．【答案】(1)【答案】(1)-4=x2+8x+16-4=(x+4)2-4；2-4≥-4，∴当x=-4时，x2+8x+12有最小值为-4；（2）-x2+2x+9==-x2-2x+1)+10=-(x-1)2+10；2≥0，∴-(x-1)2≤0，∴-(x-1)2+10≤10，∴当x=1时，-x2+2x+9有最大值为10．12025八年级上·上海宝山·专题练习）已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值为A．7B．-1C．7或-1D．-2或1【答案】【答案】A【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将x2-x看作一个整体，再用换元法解方程求出x2-x的值即【详解】解：设x2-x=y，则原方程可化为：y2-4y-12=0，解得y=-2，y=6；当y=-2时，x2-x=-2，即x2-x+2=0，Δ=1-8<0，原方程没有实数根，故y=-2不合题意，舍去；当y=6时，x2-x=6，即x2-x-6=0，Δ=1+24>0，故y的值为6；2-x+1=y+1=6+1=7．224-25八年级上·上海金山·期中）若代数式x+2的值与代数式x(x+2)的值相等，则x的值为．【答案】1【答案】1或-2【详解】根据题意得：x+2=x(x+2)(1-x)(x+2)=0解得：x1=1，x2=-2故答案为：1或-2324-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(2)4m2-5mn+n2的值为0【分析】本题考查了倍增方程的问题，掌握根与系数的关系、解一元二次方程的方法是解题的关键．（3）设x=m与x=2m是方程ax2+bx+c=0的解，根据根与系数之间的关系消去m即可得出答案．xx1解得：x1=1，x2=2，c:c=2；且该方程的两根分别为x=2和x当当时，即n=4m，4m2-5mn+n2=4m2-20m2+16m2=0，m4m2-5mn+n2=4m2-5m2+m2=0，综上：4m2-5mn+n2=0；（3）解：设x=m与x=2m是方程ax2+bx+c=0的解，消去m得：2b2=9ac．n424-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配:(x+2)2+1≥1．:x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为x2-4x+6=（x-)2+，所以当x=时，代数式x2-4x+6有最）(2)比较代数式x2-1与2x-3的大小．【答案】【答案】(1)2，2，2，小，2(2)x2-1>2x-32-4x+6=x2-4x+4+2=(x-2)2+2:x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最小值为2；故答案为：2，2，2，小，2（2）解：x2-1-(2x-3)=x2-2x+2=(x-1)2+1\(x-1)2+1>0\x2-1>2x-3的一元二次方程x2-6x+m-1=0的两根，求m的值()【答案】【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件【详解】解：当【详解】解：当2为腰长时，假设此时a=2，丫丫a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+m-1=0的两根，∴∴此时等腰三角形的三边长为2，2，4，不能当当2为底边长时，则a=b，丫丫a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+m-1=0的两根，∴∴a+b=6，ab=m-1，∴∴此时等腰三角形的三边长为2，3，3，能构成三角形，符合题意，ab=m-1，是()A．-2B．-1C．1D．2【答案】【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1x，据此列式计算，即可作答．“□”表示一个数，则“□”为．【答案】【答案】7【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据一元二次方程x2-故答案为：7．【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）关于x的一元二次方程x2+4x-m2=0的两根x1，x2满足【答案】m【答案】m=-2【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与根的判别式是解题的关键；由题意易得x1+x2=-4，x1x2=-m2，然后根据x1+x2+x1x2=4m可建立方【详解】解：由题意知，x1+x2=-4，x1x2=-m2．所以所以-4-m2=4m．解得，m1=m2=-2．所以m=-2．元二次方程x2-8x+t-1=0的两根，则t的值为()【答案】【答案】Cx2-8x+t-1=0的两根，建立等式求解，即可解题．有b2-4ac=0，即(-8)2-4´1´(t-1)=0，整理得4t=68，解得t=17；②当m=3或n=3，将x=3代入一元二次方程x2-8x+t-1=0中，有32-8´3+t-1=0，解得t=16；224-25八年级上·上海静安·阶段练习）阅读材料:设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两【答案】-3+x2=-4，x1x2=-3，故答案为：-．3【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的324-25八年级上·上海普陀·期中）已知：关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.【答案】(1)【答案】(1)见详解本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，多项式乘多项式2-4(2m-1)=16m2+5，x2=-(4m+1)，x1.x2=2m-1，即：即：2m-1-(4m+1)+1=2，解得：m42025·上海金山·模拟预测）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a(1)运用：若一元二次方程2x2+x-1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2=．请你试证明：x(3)若x1，x2是关于x的方程m2-1=0的两个实数根，且x+x=m-1，求m的值．【答案】【答案】(3)m=2（3）先利用根与系数的关系可求出x1+x2=1-m，x1xm2-1，再代入x+x=m-1计算即可．【详解】（1）解：一元二次方程2x2+x-1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x22-2x1x，x2是关于x的方程m2-1=0的两个实数根，2-42-1整理得m2-6m+8=0，（m＜0）的两根，则b*b_a*a的值为()【答案】【答案】B六b*b_a*a＝b（1_b）_a（1_ab（a+b_b）_a（a+b_aab_ab＝0．方程x※2=0根的情况是()根【答案】D【答案】D【分析】根据新运算化简得到x2-3x+3=0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定【详解】解：根据题意得(x-2)(x-2+1)+1=0，化简得x2-3x+3=0，丫Δ=(-3)2-4´1´3=9-12=-3<0，\方程无实数根． 【答案】【答案】0【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得a+bab，然后根据新定义可进行求解．∴a☆b+2=ab-a-b+22-4´2=8．(2)若x1,x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根，且x1<x2，求x1△x2+3x2的值．【答案】【答案】(1)3；-6(2)-4:1△(-2)=12-1´(-2)=3；:(-1)△2=-1´2-22=-6；\\x22-3x2-2=0\x22-3x2=2x2，\x1△x2+3x2=x1x2-x22+3x2=x1x2-(x22-3x2)=x1x2-2根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=-2，\x1△x2+3x2=-2-2=-4．124-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）对于实数a，b，如果定义新运算a*b，则下列结论正确的有()①3*4=25；②a*(2a③若x1,x2是一元二次方程x2+(2-m)x-m+1=0的两个根，且x1*x2=5，则m的值为3或-1．【答案】C【答案】C【详解】解：3*4=2´3´4-3+4=25，故①正确；当a≥2a-1时，即a≤1时，a*(2a-1)=a+2a-1-2a´(2a-1)=-4a2+5a-1，当a<2a-1时，即a>1时，a*(2a-1)=2a´(2a-1)-a+2a-1=4a2--a1，故②正确；1,x2是一元二次方程x2+(2-m)x-m+1=0的两个根，x2=m-2,x1x2=-m+1，当x1≥x2时，x1*x2=x1+x2-2x1x2=3m-4，1*x2=5，∴3m-4=5，解得：m=3；当x1<x2时，x1*x2=2x1x2-x1+x2=2x1x2-(x1-x2)=2(-m+1)-(±m)，1*x2=5，∴-3m+2=5或-m+2=5，解得：m=-1或m=-3；【答案】【答案】27和mn的值，m2+n2-mn变形后利用整体代入得方法进行计算．【详解】由题意得x◆2=x2+6x+2´22=5，整理得x2+6x+3∴m+n=-6，mn=32+n2-mn=(m+n)2-3mn=(-6)2-3´3=27，故答案为：27．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．32025·上海嘉定·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的两根之和x1+x2与两根之积，x1.x2分别是另一个一元二次方程a2x2+b2x+c2=0的两个根，则一元二次方程a2x2+b2x+c2=0称为一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的“再生韦达方程”，一元二次方程a1x2+b1x+c1=0称为“原生方程”．比如：一元二次方程x2-2x-3=0的两根分别为x1=3,x2=-1，则x1+x2=2,x1.x2=-3，所以它的“再生韦达方程”为x2+x-6=0．(1)已知一元二次方程x2-5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；(2)已知“再生韦达方程”x2+x-30=0，求它的“原【答案】【答案】(1)x2-11x+30=0(2)y2+6y+5=0或y2-5y-6=0【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的（2）令它的“原生方程”两根分别为y1,y2，根据题意得出y1+y2=-6,y1.y2=5，或y1+y2=5,y1.y2=-6，所以一元二次方程x2-5x+6=0的“再生韦达方程”为x2-(5+6)x+5´6=0，即x2-11x+30=0；（2）解x2+x-30=0得x1=-6,x2=5，令它的“原生方程”两根分别为y1,y2，则y1+y2=-6,y1.y2=5，或y1+y2=5,y1.y2=-6．当y1+y2=-6,y1.y2=5，则所求“原生方程”为y2+6y+5=0；当y1+y2=5,y1.y2=-6，则所求“原生方程”为y2-5y-6=0．综上所述，它的“原生方程”为y2+6y+5=0或y2-5y-6=0．424-25八年级上·上海松江·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求(1)方程-12x2-x+1=0的倒方程是．(2)若x=5是x2-3x+c=0的倒方程的解，求出c的值；(3)若m，n是一元二次方程x2-5x-1=0的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式2n2-mn-10m的值．【答案】【答案】(1)x2-x-12=0(3)53【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题（2）根据题意得到方程x2-3x+c=0的倒方程为cx2-3x+1=0，把x=5代入即可得到c的值；（3）根据题意得到方程x2-5x-1=0的倒方程为-x2-5x+1=0，再结合方程根与系数的关系进一步解【详解】（1）解：方程-12x2-x+1=0的倒方程是x2-x-12=0；（2）解：由题意得：方程x2-3x+c=0的倒方程为cx2-3x+1=0，把x=5代入方程cx2-3x+1=0得：25c-15+1=0，（3）由题意得：方程x2-5x-1=0的倒方程为-x2-5x+1=0，∴m+n=-5,mn=-1，-n2-5n+1=0，2=1-5n2-mn-10m=2(n2-5m)-mn=2(1-5n-5m)-mn=2[1-5(n+m)]-mn=2[1-5×(-5)]-(-1)【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）设关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0的两个实数根为x1、x2，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x12+x22<a2+b2．则正确结论的个数是()【答案】【答案】B【分析】根据根的判别式即可判断【分析】根据根的判别式即可判断①；根据根与系数的关系得到x1+x2=a+b，x1x2=ab-1，即可判断②;根据完全平方公式的变形得到x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2+b2+2即可判断③.【详解】解：由题意得：Δ=-(a+b)2-4(ab-1)=a2+2ab+b2-4ab+41≠x2，故①正确；1x2=ab-1<ab，故②正确；+x2)2-2x1x2=(a+b)2-2(ab-1)=a2+b2+2，+x22>a2+b2，故③错误；【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，对于一元二次方程(a≠0)，若Δ=b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2-4ac<0，则方程没有实数根，若x1，x2是该方程的两个实数根，则①若ac<0，则方程P有两个不相等的实数根；②若方程P有两个不相等的实数根，则方程Q必定也有两1个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则-是方程Q的一个根；④若方程P和方程Q有相同的5根，则a+c=0．正确的个数是()【答案】【答案】D【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②;③如果5是ax2+bx+c=cx2-bx+a，解方程可判断④.【详解】解：①若ac<0，则方程P中Δ=b2-4ac>0，则方程P有两个不相等的实数根，故①正确；②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则ac<0，则方程Q的根的判断式Δ=(-b)2-4ca=b2-4ac>0，则方程Q必定也有两个不相等的实数根，故②正确；③如果5是方程P的一个根，那么25a+5b+c=0，15④④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2-bx+a，综上，正确的有①②③④,共4个，【例3】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知关于x的方程（1）x1≠x22）x1x2>ab；(3)x12+x22>a2+b2利用一元二次方程根的判别式即可判断①；利用一元二次方程根与系数的关系即可判断②；利用一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式进行变形运算即可判断③.2-(a+b)x+ab-2=0，2-4ac=[-(a+b)]2-4(ab-2)=(a-b)2+8恒大于零，即△>0，2-(a+b)x+ab-2=0x2=ab-2x2-ab=(ab-2)-ab=-2<0，即x1x2<ab，故（2）不正确；2-(a+b)x+ab-2=0x12+x22)-(a2+b2)+x2)2-2x1x2-(a2+b2)2-2(ab-2)-(a2+b2)故答案为13一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠和-6，则方程x2+9x+18=0就是“倍根方程”．【答案】【答案】(1)c=8(2)4m=n或m=n（1）设方程x2-6x+c=0的两个根为x1，x2，由倍根方程的定义可知x2=2x1，利用根与系数的关系即可（3）设x=m与x=2m是方程ax2+bx+c=0的解，根据根与系数之间的关系消去m即可得出答案．当另一个根为1时，则-1´(m-n)=0，∴m-n=0，即：m=n，当另一个根为4时，则2´(4m-n)=0，∴4m-n=0，即：4m=n；（3）解：设x=m与x=2m是方程ax2+bx+c=0的解，消去m得：2b2=9ac．124-25八年级上·上海宝山·期末）已知关于x的方程x2(x1<x2)，关于x的方程bx+c=0的根为x3，给出下面三个结论：①x1<x2<x3；②x1<x3<x2；上述结论中，所有可能正确的结论的序号是()【答案】C【答案】C【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，利数的关系表示出x1+x2，x1x2，再用b，c表示出x3，进而得出x1，x2所以x1+x2=-b，x1x2=c，所以x则x所以x3-xx3-x则当x1<x2<0时，x3>x1，x3>x2，所以x1<x2<x3；所以x3<x1<x2；所以x3<x1<x2；所以x1<x2<x3．则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当a=c时，有两个相等的实数根；③当a，c同号【答案】【答案】②③④【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．①②通过根的判别式进行判断，③④结合根与系数的∴b=-a-c，2-4ac=(-a-c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=(a-c)2．当a=c时，Δ=0，方程有两个相等的实数根，故①错②正确；∴正确的结论是②③④,故答案为：②③④.324-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读理解．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+程”，例如：方程2x2-7x+3=0的“密友方程”是3x2-7x+2=0．(1)写出一元二次方程x2-6x+8=0的“密友方程”是．x4=．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2，与其“密友方程”cx2+bx+ax3，x4之间存在的一种特殊关系为，证明你的(3)已知关于x的方程mx2+nx+q=0的两根是x1=2023，x，可应用（2）中的结论，解关于x的方程q(x-1)2-nx+n+m=0．【答案】(1)8x2-6x+1=0；关系为：x1x3=1，x2x4=1，证明见解析【分析】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．（3）根据题意可得qx2+nx+m=0的两根，进而得到q(1-x)2+n(1-x)+m=0，进而求解；a=1，b=-6，c=8，其“密友方程”是8x2-6x+1=0；（2）解：该一元一次方程x2-6x+8=0的“密友方程”是8x2-6x+1=0；8x2-6x+1=0(2x-1)(4x-1)=0解得：x关系为：x1x3=1，x2x4=1:a+by+cy2=0，即方程cy2+by+a=0两根为x3、x4:原方程的两根与“密友方程”的两根分别互即x1x3=1，x2x4=1；故答案为x1x3=1，x2x4=1（3）解：已知关于x的方程mx2+nx+q=0的两根是x1=2023，:qx2+nx+m=0的两根为x:方程q(x-1)2-nx+n+m=0即为q(1-x)2+n(1-x)+m=0，两根设为x3、x4:1-x3=x1,，1-x4=x2,方程可化为：a(x-x1)(x-x2)=0，即ax2-a(x1+x2)x+ax1x2=0，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：x1+xx1x（1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程2x2-4kx+2k2+3k-3=0有两个实数根x1，x2．①直接写出实数k的取值范围；②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k【探究引申】设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个根x1，x2，x3，则a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：x1+x2+x（2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程2x3-4kx2+2k2x+3k-3=0有三个根a，β,g，求【答案】（1【答案】（1）①k≤1；②k（1）①利用根的判别式建立不等式求解即可；②利用根与系数的关系建立等式进行解方程即可；【详解】解1）①解：丫关于x的一元二次方程2x2-4kx+2k2+3x-3=0有两个实数根，:Δ=(-4k)2-4´2(2k2+3k-3)≥0，2-16k2-24k+24≥0，故答案为k≤1，x2是原方程2x2-4kx+2k2+3k-3=0的两个实数根， 3-4kx2+2k2x+3k-3=0有三个根a，β,Y， \a=2，b=-4k，c=2k2，d=3k-3 \a2+β2+Y2+2aβY=x+x+x=4k2-2k2+3-3k=2k2-3k+3【例1】（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习A．x1+x2=-2B．x1+x2=2C．x1x2=3D．x1x【答案】A【答案】A是该方程的两个实数根，则x1+xx1x，据此求解即可．x2=-2，x1x2=-3，【例2】（2025·上海静安·模拟预测）已知关于y的一元二次方程y2-8y-m2=0的两根分别为y1，y2，则下列说法不一定正确的是()A．y1≠y2B．y1.y2<0C．y1+y2>0D．方程有两个实数根【答案】【答案】By1.y2=-m2≤0，由此即可判断各个选项的正误．【详解】解：丫关于y的一元二次方程y2-8y-m2=0的两根分别为y1，y2，-8)2-4´(-m2)=64+4m2>0，由根与系数的关系可知，y1+y2=8>0，y1.y2=-m2≤0，为1和-2，则b=，c=.【答案】1-2【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．由题意已知两个根，利用根与系数的关系，进行分析0的两个根分别为1和-2，∴-2+1=-b，-2´1=c，故答案为：1；-2．xx2=-；②x1x【知识应用】若x1,x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，不解方程，求x+x的值；【类比拓展】若x1,x2,x3是一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根，则原方程可变形为a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0，则有：x1+x2+xx1x2+x2x3+x1xx1x2x．已知一元三次方程x3+2x2-4x+1=0的三个根分别为p,q,r，求的值． 3+2x2-4x+1=0， :p+q+r=-2,pq+pr+qr=-4,pqr=-1，124-25八年级上·上海松江·阶段练习）整式M：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，其中a0，a1，a2，a3，a4为整数．下列说法正确的个数为()①若a0，a1，a2，a3，a4均为自然数且a+a+a+a+a=5，则满足条件的整式M共有21个；②当a0，a1，a2，a3，a4均为自然数时，a0，a1，a2，a3，a4必有两个数的差是4的倍数；③当M=0时，该方程存在4个实数根记为x1，x2，x3，x4，若存在整数n，使x1x2x3x为正整数，则2a4-a0=0．【答案】A【分析】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，方程的解【详解】解：①5=1+1+1+1+1=12+12+12③当M=0时，该方程存在4个实数根记为x1，x2，x3，x4，∴a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0=a4(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)，∴当x=0时可得a4x1x2x3x4=a0，即x1x2x3xx2x3x为正整数， 5-n2n-552所以2a4-a0=0，故③正确．224-25八年级上·上海宝山·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x-m2-m=0(m>0)．2025【答案】两个不相等实根【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键．【详解】解1）丫Δ=22-4´1´(-m2-m)=（2）设方程x2+2x-m2-m=0(m>0)的两个根为：x1,x2，…+a2025+β2025=1´2+2´3+3´4+…+2025´202620252025324-25八年级上·上海闵行·期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．(3)若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c均为常数）为“邻【答案】(1)【答案】(1)③(2)n=-1或n=-3(3)b2-4c=1，见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与可得到b，c的数量关系．丫x1-x2=1-(-1)=2，\方程x2-1±0不是“邻根方程”；②解方程x2-6x+9=0得：x1=x2=3，\方程x2-6x+9=0不是“邻根方程”；③解方程x2+3x+2=0得：x1=-1，x2=-2，丫丫x1-x2=-1-(-2)=1，\方程x2+3x+2=0是“邻根方程”．故答案为：③.（2）解：解方程(x+2)(x-n)=0得：x1=-2，x2=n，\-2-n=1或n-(-2)=1，解得：n=-3或n=-1．由韦达定理得x1+x2=-b，x1.x2=c．即(x1+x2)2-4x1.x2=1，代入得b2-4c=1．424-25八年级上·上海静安·期中）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0.x，由此可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若a，β是方程x2-x-1=0的两根，记S1=a+β,S2=a2+β2，...，Sn=an+βn．(2)当n为不小于3的整数时，求证：Sn=Sn-1+Sn-2；【答案】(1)【答案】(1)1，3【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数\a+β=1，aβ=-1，\S1=a+β=1，S2=a2+β2=(a+β)2-2aβ=1+2=3，故答案为：1，3；\a2=a+1，β2=β+1，（3）解：由（12）有：S2=3．12025·上海徐汇·模拟预测）若一元二次方程x2-4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是【答案】【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式Δ=b2-4ac来判断即可，当Δ>0时，22025·上海闵行·模拟预测）关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+3=0在实数范围内有实数根，则m的取值范围是()44A．m≤且m≠1B．m≤3C．m≥D．m≤且m≠1