2026年线性代数期末综合测试（二）

2026年线性代数期末综合测试（二）考试时间：120分钟满分：100分一、单项选择题（每题3分，共15分）设行列式D=|a11a12a答案：D

解析：n阶行列式中某行（列）元素乘以k，行列式值乘k；此处3行均乘2，故D1设矩阵A,B均为n阶方阵，下列结论正确的是（）

A.(A+B)2=A2+2AB+B2

B.AB=BA

C.答案：C

解析：A错误：矩阵乘法不满足交换律，(A+B)B错误：矩阵乘法无交换律；C正确：方阵行列式性质，乘积行列式等于行列式乘积；D错误：非零矩阵乘积可为零矩阵。向量组α1,α2,…,αs线性无关的充要条件是（）

答案：C

解析：向量组线性无关⇨秩=向量个数s；A、B是必要非充分条件，D是线性相关的等价表述。设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则方程组基础解系含向量个数为（）

A.rB.n−rC.nD.r−n答案：B

解析：齐次方程组基础解系维数=未知数个数−系数矩阵秩，即n−r。设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，则|A∗|=答案：C

解析：|A|=1×2×3=6；n阶方阵|A∗|=|A二、填空题（每题3分，共15分）行列式|1230450答案：24

解析：上三角行列式值=主对角线元素乘积，1×4×6=24。设A=(1234)，则A−1=答案：(−211.5−0.5)

解析：|A|=1×4−2×3=−2向量组α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3答案：3

解析：向量组构成的矩阵行列式=1≠0，故秩为3。非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是\\\\\\。答案：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩（r(A)=r(A二次型f(x1,x2,x答案：(110三、计算题（每题10分，共50分）计算4阶行列式：

D=|解：第2行+第4行，得r2+r行列式含零行，故D=0。设矩阵A=(123解：初等行变换化行阶梯形：

A→r2−2解线性方程组：

$\begin{cases}

x_1+2x_2-x_3=1\\

2x_1+x_2+x_3=0\\

-x_1+x_2+2x_3=-1

\end{cases}$解：增广矩阵初等行变换：

$\overline{A}=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&1&1&0\\-1&1&2&-1\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3+r_1}

\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-3&3&-2\\0&3&1&0\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_3+r_2}

\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-3&3&-2\\0&0&4&-2\end{pmatrix}$

回代求解：4x−3xx1通解：x1求矩阵A=(2解：特征方程：|λE−A|=|λ−2特征值：λ1当λ1=1：

(E−A)x=0⇒(−1−1−1−1当λ2=3：

(3E−A)x=0⇒(1−1−11设矩阵A=(101解：求特征值：

|λE−A|=|λ−10−10求特征向量：λ1=0：−Ax=0⇒xλ2=λ3=2单位化：

η正交矩阵：

Q=(四、证明题（每题10分，共20分）设A为n阶可逆矩阵，证明：