2027届新高考数学一轮热点复习 不等式的性质

2027届新高考数学一轮热点复习不等式的性质1．(教材经典题)下列命题为真命题的是

(

)A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2B2．(教材经典题)不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为______．∅【解析】(－3,0]4．(教材经典题改编)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则a＋2b的取值范围为__________．【解析】

因为－2＜b＜－1，所以－4＜2b＜－2．又2＜a＜3，所以－2＜a＋2b＜1．(－2,1)5．(教材经典题)火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有_____种方案；若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，选用最节约成本的方案，运费为______万元．31【解析】【答案】3

311．不等式的性质(1)传递性：a＞b，b＞c⇒_________．(2)可加性：a＞b⇔_______________．(3)可乘性：a＞b，c＞0⇒___________；a＞b，c＜0⇒__________．(4)同向可加性：a＞b，c＞d⇒__________________．(5)同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒___________．(6)同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．a＞ca＋c＞b＋cac＞bcac＜bca＋c＞b＋dac＞bd2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表：

Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实数根无实数根(续表注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．

Δ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集_________________________ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集

_______________________________{x|x＜x1或x＞x2}R{x|x1＜x＜x2}∅∅目标1不等式的性质视角1

比大小

(1)(多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一定成立的是

(

)A．ac(a－c)＞0

B．c(b－a)＜0C．cb2＜ab2

D．ab＞ac【解析】

因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0，所以ac(a－c)＜0，c(b－a)＜0，cb2＜ab2，ab＞ac．BCD1－1

(2)(2025·黄冈期初调研)(多选)已知c＜0＜b＜a，则 (

)A．ac＋b＜bc＋a

B．b3＋c3＜a3【解析】

因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0，所以ac(a－c)＜0，c(b－a)＜0，cb2＜ab2，ab＞ac．1－1ABD判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误选项；(3)作差(商)法；(4)构造函数，利用函数的单调性．视角2

求代数式的取值范围

(1)已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，那么a＋3b的取值范围为_________.【解析】1－2

(2)若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是____________．【解析】1－2[15，19]求代数式的取值范围时应注意的事项在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围．目标2解不等式视角1

不含参的不等式解下列关于x的不等式．(1)－6x2－5x＋1＜0；【解答】2－1解下列关于x的不等式．【解答】2－1解下列关于x的不等式．【解答】2－1(2)简单的绝对值不等式：|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)．(3)解高次不等式，先分解成若干个因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正，然后将每一个根标在数轴上，再从最大根的右上方依次穿过每一个奇数次根，但不穿过偶数次根．视角2

含参的一元二次不等式解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．【解答】

若a＝0，则原不等式转化为－x＋1＜0，解得x＞1．2－2目标3三个二次之间的关系

(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是

(

)A．a＜0B．ax＋c＞0的解集为{x|x＞6}C．8a＋4b＋3c＜03【解析】【答案】

AD一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系：(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围．变式3

(1)(多选)若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，3)，则下列说法正确的是

(

)A．a＞0D．a＋b＜c【解析】【答案】

BCD变式3

(2)已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为_____．【解析】4目标4一元二次不等式恒成立问题

(1)如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为____________．4【解析】[0，4]

(2)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为_______．【解析】4－4

(3)(变更主元)若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为__________________．【解析】4(1)解决恒成立问题时可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．注意：对于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)，求解时不要忘记a＝0时的情形．(3)解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数在这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题．变式4已知函数f(x)＝x2＋ax＋3．(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；【解答】

因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2]．变式4已知函数f(x)＝x2＋ax＋3．(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；【解答】变式4已知函数f(x)＝x2＋ax＋3．(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．【解答】1．(2025·临汾二模)若3≤a≤5，－2≤b≤1，则2a－b的取值范围是 (

)A．[8，9]

B．[4，8]C．[5，8]

D．[5，12]DA．{x|－2≤x≤1}

B．{x|x≤－2}C．{x|－2≤x＜1}

D．{x|x＞1}C3．设a为实数，若关于x的不等式x2－ax＋7≥0在区间(2，7)上有实数解，则a的取值范围是

(

)A．(－∞，8)

B．(－∞，8]【解析】A4．(2025·三门峡期末)(多选)下列命题中，真命题是 (

)A．若a＞b＞0，c∈N，则ac2＞bc2B．若a＜b，则a3＜b3【解析】

对于A，若a＞b＞0，c∈N，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；对于B，由于y＝x3在R上单调递增，a＜b，则a3＜b3，故B正确；【答案】BC配套练习题A组夯基精练一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是 (

)【解析】D【解析】D3．(2025·济宁调研改)已知实数a，b满足a＞b2＋1，则下列不等关系不一定正确的是

(

)A．a＞2b

B．a＞2b＋1 C．a＞b－1

D．2a＞b2－b＋1【解析】

对于A，(b2＋1)－2b＝(b－1)2≥0，所以a＞b2＋1≥2b，则a＞2b，故A正确；对于B，(b2＋1)－(2b＋1)＝b2－2b，正负无法确定，取a＝2.5，b＝1，则满足a＞b2＋1＝2，但a＜2b＋1＝3，故B错误；BA．2

B．－2C．1

D．－1【解析】C二、多项选择题5．(2025·茂名一模)下列命题正确的是

(

)A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2D．若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8【解析】

对于A，取a＝1，b＝－2，满足a＞b，但是a2＜b2，故A错误；对于B，因为a＜b＜0，不等式两边同时乘以负数a，则a2＞ab，不等式两边同时乘以负数b，则ab＞b2，所以b2＜ab＜a2，故B正确；【答案】

BCDA．a＞0

B．c＜0C．a＋b＞0D．关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(－3，－1)【解析】不等式cx2＋bx＋a＞0即为cx2－4cx＋3c＞0⇒x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3，故D错误．【答案】

BC【解析】【答案】

ABD

【解析】(－∞，－1)∪(1，5)【解析】

由x2－x－2＞0，得x＞2或x＜－1．由x2＋(3－k)x－3k＜0，得(x＋3)(x－k)＜0，当k＝－3时，(x＋3)2＜0，无解，不合题意；当k＜－3时，k＜x＜－3，则原不等式组的解集中不包含－2，不合题意；当k＞－3时，－3＜x＜k，因为原不等式组的解集中只有一个整数－2，如图，结合数轴可知，－2＜k≤3，k∈Z，所以k∈{－1，0，1，2，3}．{－1，0，1，2，3}【解析】四、解答题11．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4．(1)求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；【解答】

由f(x)≥4＋2a，得x2－(a－2)x－2a≥0．令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以当a＜－2时，原不等式的解集为(－∞，a]∪[－2，＋∞)；当a＝－2时，原不等式的解集为R；当a＞－2时，原不等式的解集为(－∞，－2]∪[a，＋∞)．11．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4．(2)若对任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】12．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1．(1)当m＜0时，解关于x的不等式f(x)≥3x＋m－2；【解答】

不等式f(x)≥3x＋m－2即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1≥3x＋m－2，可化简为(m＋1)x2－(m＋2)x＋1≥0．①当m＝－1时，x≤1．12．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1．(2)若不等式f(x)≥x2＋2x对一切x∈[0，2]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]．(1)求此二次函数的解析式；【解答】

由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]，得a＞0且－1，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)(x－3)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，其对称轴为x＝1．而该函数的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，则y＝a(x＋1)(x－3)图象的顶点为(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3．13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]．(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围；【解答】

由(1)知不等式ax2＋bx＋c＜(m－1)x－m－3为x2－2x－3＜(m－1)x－m－3，整理得x2－(m