人教版2025年 八年级数学下册 一次函数应用题 选择方案专题强化练习

同学们，一次函数是我们初中数学学习中的重要工具，它不仅能帮助我们刻画现实世界中变量之间的线性关系，更在解决实际问题，尤其是方案选择类问题中发挥着巨大作用。面对生活中常见的收费方式比较、购物优惠选择、资源调配等问题，如何运用一次函数的知识找到最优方案，是我们需要重点掌握的能力。本专题将通过对知识要点的梳理、典型例题的剖析以及针对性的强化练习，帮助同学们提升运用一次函数解决选择方案问题的实战能力。一、知识要点回顾与方法指导在解决一次函数选择方案问题时，我们通常遵循以下思路：首先，要仔细审题，明确问题中涉及的两种或多种方案，以及每种方案中变量之间的关系。通常，我们会遇到以“费用”、“工作量”、“利润”等为因变量，以“数量”、“时间”、“路程”等为自变量的情况。其次，根据题意，分别为不同的方案建立一次函数模型，即列出函数关系式。这里要特别注意自变量的取值范围，它可能受到实际问题的限制，例如不能为负数，或者只能取整数等。然后，通过分析函数的性质（主要是一次函数的增减性），或者求出不同函数图象的交点坐标，来比较不同方案的优劣。交点坐标的意义往往是两种方案效果（如费用、工作量）相同的临界点。最后，根据自变量的实际取值范围以及比较结果，做出最优方案的选择。有时，可能需要分情况讨论，根据不同的自变量取值区间，选择不同的最优方案。二、典型例题精析例题1：通讯收费方案选择某通讯公司推出两种手机流量套餐：套餐A：月租费20元，含1GB流量，超出部分按0.3元/MB计费（1GB=1024MB）。套餐B：月租费50元，含5GB流量，超出部分按0.2元/MB计费。假设小明每个月的流量使用量为xMB（x为正整数），请你帮小明分析选择哪种套餐更划算。分析与解答：首先，我们需要明确两种套餐的费用与流量使用量x之间的函数关系。注意单位的统一，以及套餐内包含流量的处理。对于套餐A：当0<x≤1024时，费用yA=20元。当x>1024时，费用yA=20+0.3(x-1024)。对于套餐B：当0<x≤5120时，费用yB=50元。当x>5120时，费用yB=50+0.2(x-5120)。接下来，我们需要分情况讨论：1.当x≤1024时：yA=20元，yB=50元。显然20<50，所以此时选择套餐A更划算。2.当1024<x≤5120时：yA=20+0.3(x-1024)，yB=50元。我们令yA=yB，即20+0.3(x-1024)=50解得：0.3(x-1024)=30→x-1024=100→x=1124。所以，当1024<x<1124时，yA<yB，选择套餐A；当x=1124时，yA=yB，两种套餐费用相同；当1124<x≤5120时，yA>yB，选择套餐B。3.当x>5120时：yA=20+0.3(x-1024)，yB=50+0.2(x-5120)。我们比较yA和yB的大小。可以先计算yA-yB：yA-yB=[20+0.3x-0.3×1024]-[50+0.2x-0.2×5120]=20+0.3x-307.2-50-0.2x+1024=(0.3x-0.2x)+(20-307.2-50+1024)=0.1x+686.8因为x>5120，所以0.1x>512，0.1x+686.8>512+686.8>0，即yA-yB>0，yA>yB。所以此时选择套餐B更划算。综上所述：当每月流量使用量小于1124MB时，选择套餐A更划算；当每月流量使用量等于1124MB时，两种套餐费用相同；当每月流量使用量大于1124MB时，选择套餐B更划算。例题2：运输方案选择某公司要将一批货物从甲地运往乙地，有A、B两种型号的货车可供租用。已知A型货车每辆每次的运费是300元，可装载货物20吨；B型货车每辆每次的运费是400元，可装载货物30吨。现需运输的货物总量为140吨，且要求租用的货车总数不超过5辆。在满足运输要求的前提下，怎样租车才能使总运费最少？分析与解答：设租用A型货车x辆，B型货车y辆。总运费为W元。根据题意，我们可以列出以下关系式：1.装载量约束：20x+30y≥140（确保货物全部运完）2.车辆总数约束：x+y≤5（租用货车总数不超过5辆）3.x,y为非负整数。总运费W=300x+400y。我们的目标是求W的最小值。首先，我们可以尝试用含一个变量的式子表示另一个变量，或者直接列出所有可能的租车方案（因为车辆数较少，总数不超过5辆，枚举法是可行的）。由x+y≤5，且x,y为非负整数，可能的(x,y)组合有：(0,0)显然不行，(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)(3,0),(3,1),(3,2)(4,0),(4,1)(5,0)但同时要满足20x+30y≥140。我们逐一筛选：(0,5):20×0+30×5=150≥140。W=0×300+5×400=2000元。(1,4):20+120=140≥140。W=300+1600=1900元。(2,3):40+90=130<140→不行。(3,2):60+60=120<140→不行。(4,1):80+30=110<140→不行。(5,0):100<140→不行。(0,4):120<140→不行。(1,3):20+90=110<140→不行。(2,2):40+60=100<140→不行。其他组合装载量更小，均不满足。所以可行的方案只有(0,5)和(1,4)。比较运费：1900元<2000元。因此，租用1辆A型货车和4辆B型货车时，总运费最少，为1900元。另一种思路（利用一次函数性质）：由x+y≤5，可得y≤5-x。代入运费W=300x+400y≤300x+400(5-x)=2000-100x。要使W最小，需使2000-100x尽可能小，即x尽可能大。但同时要满足20x+30y≥140，且y=5-x（因为要使运费最少，在满足约束的情况下，应尽量多租单位运费低的车，或者说，在车辆总数一定时，调整x和y使装载量刚好满足或略超）。尝试x=1，则y=4，20×1+30×4=140，满足条件，W=300+1600=1900。x=2，则y=3，20×2+30×3=130<140，不满足。所以x最大只能取1。这种思路与枚举法结论一致。三、专题强化练习题1.购物优惠方案：某商场准备在“五一”期间进行促销活动。现有两种促销方案：方案一：所有商品一律打八折销售；方案二：购物满300元减60元，满600元减120元，依此类推（即每满300元减60元）。小明的妈妈准备购买原价为x元的商品（x为正整数）。请你帮她分析选择哪种促销方案更合算。2.租车出行方案：某旅行社组织游客去某景点游览，可供选择的车型有两种：中巴车和大巴车。中巴车每辆可坐20人，每天租金1000元；大巴车每辆可坐35人，每天租金1500元。现有100名游客要出行，且要求租用的大巴车数量不少于中巴车数量。如何租车才能使每天的总租金最少？3.生产方案选择：某工厂生产A、B两种产品，已知生产一件A产品需耗原料甲3千克，原料乙1千克，可获利50元；生产一件B产品需耗原料甲2千克，原料乙2千克，可获利60元。该厂现有原料甲30千克，原料乙20千克。问：如何安排生产（即A、B产品各生产多少件），才能使该厂获得的总利润最大？（产品件数为整数）4.上网套餐选择：某网络服务提供商提供两种家庭宽带上网套餐：套餐甲：每月基本费60元，包含80小时上网时间，超出部分按2元/小时计费；套餐乙：每月基本费100元，包含200小时上网时间，超出部分按1元/小时计费。若某用户每月的上网时间为t小时（t≥0），请为该用户选择最经济的套餐。5.印刷费用比较：学校要印刷一批宣传册，有两家印刷厂可供选择。甲印刷厂：每份宣传册收印刷费0.5元，另收制版费100元；乙印刷厂：每份宣传册收印刷费0.8元，不收制版费。问：印刷多少份宣传册时，选择甲印刷厂更合算？印刷多少份时，选择乙印刷厂更合算？6.行程方案规划：小王家距离学校10千米。他每天上学有两种方式可选：方式一：骑自行车，速度为12千米/小时，途中不休息；方式二：先步行到公交站，步行速度为4千米/小时，再乘坐公交车到学校，公交车行驶速度为30千米/小时，步行到公交站的距离为a千米（0<a<10），公交车等待时间忽略不计。（1）分别写出两种方式下，小王从家到学校所花的时间t1（小时）、t2（小时）与a的函数关系式。（2）若a=1千米，哪种方式更快捷？（3）根据a的不同取值，小王应如何选择上学方式更快捷？四、解题思路与温馨提示解决一次函数选择方案问题，关键在于将实际问题转化为数学模型，即建立一次函数关系，并通过比较函数值的大小来确定最优方案。在解题过程中，同学们需要注意以下几点：1.仔细读题，明确变量：准确理解题意，找出问题中的自变量和因变量，以及影响方案选择的关键因素。2.正确建模，列出函数：根据各方案的具体规则，正确列出相应的函数关系式。特别注意分段函数的情况，如“不超过部分”与“超过部分”的计费方式不同。3.确定范围，考虑实际：自变量的取值范围要符合实际意义，例如人数、车辆数应为非负整数，时间、路程不能为负等。4.比较分析，寻求最优：可以通过解方程组找到函