甘肃省兰州市兰州新区基础教育2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷（含解析）

2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷一、单选题1．对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（

）A． B．C． D．2．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要条件3．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（

）A． B．C． D．4．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．5．甲同学准备去A、B两地游玩，去A地的概率为，去B地的概率为，在A地去爬山的概率为，在B地去爬山的概率为，则甲同学爬山的概率为（

）A． B． C． D．6．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（

）A． B． C． D．7．已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．8．已知平面内有四点，其中三点不共线，且为平面内一点，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（多选）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（

）A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数10．已知向量，，则下列结论中正确的有（

）A．若，则B．若，则C．不存在实数，使得D．若，则11．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（

）A．若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为的可能性最大B．若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为和的可能性相等C．若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利D．若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过的可能性获得冠军三、填空题12．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．13．一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________．14．已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________．四、解答题15．已知离散型随机变量的分布列为：12340.30.40.1(1)求的值；(2)求；(3)求.16．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．17．一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数．(1)若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率；(2)求X的分布列、期望和方差．18．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．(1)求证：平面．(2)求异面直线与所成的角．19．已知函数，其中.(1)当时，求的值；(2)当时，讨论函数的单调性.题号12345678910答案AABCBCDABCDBCD题号11答案BD1．A直接根据散点图及相关系数的性质判断可得.【详解】对四个散点图分析：对选项A：散点明显呈上升趋势，且非常接近一条直线，因此样本数据有较强的相关关系且；对选项B：散点呈下降趋势，且比较接近一条直线，所以，一定有​；对选项C、D：散点分布非常分散，线性相关性极弱，​都接近，都小于.因此相关系数最大的是.2．A结合可导函数极值的必要条件，分别验证两个条件的充分性和必要性是否成立即可.【详解】充分性：已知函数在定义域内处处可导，若在处取极值，所以，故充分性成立.必要性：若，无法推出在处取极值，例如：函数，其导函数满足，但在上单调递增，处不存在极值，故必要性不成立.因此“在处取极值”是“”的充分不必要条件.3．B【详解】在梯形中，，所以，所以.4．C【详解】，又在点处的切线与直线垂直，，解得．5．B根据全概率公式求解.【详解】设事件：甲同学去A地游玩，设事件：甲同学去B地游玩，设事件：甲同学去爬山,根据题意：，，，，根据全概率公式得,因此，甲同学爬山的概率为.6．C设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解.【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”，由题意得，，且，所以.故选：C.7．D建立坐标系，求出平面的法向量，利用点面距的向量公式可得答案.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则;;设平面的一个法向量为，则，取，则，得平面的一个法向量为，设到平面的距离为，则.故选：D8．A根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案.【详解】由于点P与共面,三点不共线,故存在实数，使得，则,即，而，故，解得，故选：A9．BCD二项分布需满足固定次数n次独立重复试验、每次试验只有两个对立结果、成功概率p恒定、随机变量表示成功的次数这四大核心条件，据此逐项分析.【详解】对于A：满足独立重复试验的全部条件，随机变量表示固定次数试验中成功的次数，服从二项分布；对于B：的取值是，，显然不符合固定次数和成功概率恒定，因此不服从二项分布；对于C:随机变量定义为“直到摸出白球为止的试验次数”，本质是刻画“首次摸到白球”的试验次数，并非二项分布要求的“固定n次试验中摸到白球的次数”，不符合二项分布的定义；对于D：试验为不放回抽样，每次试验的概率会随抽样结果变化，不满足二项分布“独立重复、概率恒定”的条件，故不服从二项分布．故选：BCD.10．BCD【详解】对于A，，解得，A错误；对于B，由，得，解得，B正确；对于C，假设存在实数，使得，则，由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足，C正确；对于D，，解得，所以，，所以，D正确．11．BD对于A，比较获胜和获胜的概率判断；对于B，分别求得获胜和获胜的概率判断；对于C，分别求得三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率判断；对于D，由前四局甲胜三局和前三局胜2局求解判断.【详解】对于A，若采用三局两胜制，甲以获胜的概率为，甲以获胜的概率为，故A错误对于B，若采用五局三胜制，甲以获胜的概率为，甲以获胜的概率为，故B正确对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为，采用五局三胜制甲胜的概率为，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为和，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误对于D，若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为，所以D正确．12．/【详解】由题意正态分布曲线关于对称，故.13．通过已知条件缩小样本空间，直接计算对应事件的条件概率.【详解】第一次取出红球为已知条件，该条件成立后，盒内剩余个红球、个白球，共个等可能抽取的球.因此，第二次取出白球的概率为.14．根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值.【详解】，，，，在上的投影向量为，所以，.15．(1)(2)(3)【详解】（1），；（2）；（3）.所以16．(1)(2)分布列详见解析，数学期望为（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案.（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望.【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.（2）的可能取值为，则，，，所以的分布列如下：所以.17．(1)(2)分布列：0123期望为，方差为．(1)分析摸出3个球得分大于3分的随机事件所包含的基本事件，利用超几何分布的概率公式计算即可；(2)随机变量X服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式计算X不同的取值对应的概率，列出分布列，代入期望和方差公式计算即可．【详解】（1）Y表示取出中白球的个数，事件A表示摸出3个球得分大于3分；则，其中，，互斥；故,，，故；（2）由题意知，，X的取值为：0，1，2，3，；；；；故X的分布列：0123；；故期望为，方差为．18．(1)证明见解析(2)【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，，底面，底面，，，平面，平面．（2）连接交于点，连接，在中，分别是中点，