北理工机械原理讲义第3章 平面连杆机构的运动分析

第三章

平面连杆机构的运动分析

一、基本要求

1)

正确理解速度瞬心的概念，会判断直接组成运动副的两构件的瞬心及运用“三心定理”确定平面机构中没有直接组成运动副的两构件间的瞬心。2）会用速度瞬心法对平面机构进行速度分析。3）会用相对运动图解法（矢量方程图解法）及矢量方程复数法对Ⅱ级机构进行速度及加速度分析。

二、基本概念和基础知识为了确定机器工作过程的运动和动力特性，往往需对机构进行运动分析。机构运动分析就是在已知机构的运动尺寸和已知原动件的运动规律的前提下，确定机构中其它构件或其他构件上的某些点的位置、速度、加速度等运动参数。机构运动分析的方法通常有矢量方程图解法和解析法。图解法形象直观，简便，精度较低；解析法精度高，但需进行大量的数学运算，一般需借助电子计算机来完成。1.

矢量方程图解法矢量方程图解法就是根据相对运动的原理列出机构中两点间的相对运动的矢量方程式，然后按一定的比例画出相应的矢量多边形，由此解出所需运动参数。此方法的关键是如何正确列出矢量方程式。建立矢量方程式时一定要注意将未知量分列于等式两端以便求解，另外每个矢量的角标一定要写清楚是哪个构件上的哪个点；画矢量多边形时由等式一边出发，先画已知量，画完等式一边的矢量后再画另一边的矢量，最后由矢量多边形求出所需未知量。下面分两种情况进行讨论。(1)

同一构件上两点间的速度和加速度关系。这种类型常用于求解同一构件上两个回转副之间的速度及加速度关系。需要注意的是加速度分析中的相对加速度通常由向心加速度与切向加速度两项构成，无哥氏加速度。①

.速度关系。图3-1（a）所示机构中，点B和C同为构件2上的点，根据相对运动的原理，可知点C的速度等于点B的速度和点C相对于点B的相对速度的矢量和。即

=

+

大小

？

？

方向

沿导路方向

⊥AB

⊥BC

图3-1

同一构件上两点的相对运动关系(a)机构简图;(b)速度多边形;(c)加速度多边形

由于一个矢量方程可转化为两个标量方程，故上面矢量方程含两个未知量，可解。下面就用图解法来解此方程。首先选取速度比例尺，

然后在平面内选取一点作为速度极点（代表机构中构件上速度为零的点），如图3-1（b）所示。

从点作代表B点的速度

，过b

作速度

的方向线

，然后过作的方向线，的方向线

与的方向线的交点为c，矢量即代表C点的速度

。

C点的速度大小

。矢量代表C点相对B点的相对速度。已知构件2上B点和C点的速度后，很容易求构件2上第三点D的速度。

=

+

=

+

大小

？

？方向

⊥AB

⊥BD

⊥DC上式中只有和的大小未知，故可解。如图3-1（b)所示，过b作的方向线，过c作的方向线，这两条方向线的交点为d,

矢量即代表D点的速度。D点的速度大小

。由分析知ΔBCD∽Δbcd

,且两三角形字母排列顺序相同，BCD和bcd均为逆时针排列，称Δabc为

ΔABC的速度影像。图3-1（b)中由各速度矢量所构成的多边形称为速度多边形。在速度多边形中，由极点向外发射的矢量代表对应点的绝对速度矢量，连接两个绝对速度矢端的矢量代表对应点的相对速度矢量（代表C点相对B点的相对速度），极点的速度为0

。如果知道同一构件上两点的速度，想求此构件上第三点的速度，可用影像法，即在速度多边形上作与机构简图中该三点所构成的三角形相似的三角形，要注意两三角形顶点字母排列顺序要相同。

②加速度关系。根据相对运动的原理，点C的加速度等于点B的加速度和点C相对于点B的相对加速度的矢量和。即

=

+

+

大小

?

=

？方向

沿导路方向

B

→A

C→B

⊥BC下面画加速度多边形。首先，取加速度比例尺

，然后任取一点作为加速度极点π(见图3-1（c）)。从π出发画代表的矢量，然后由出发画代表的矢量，之后再由出发画代表方向的方向线，这样等式右边的各矢量全部画完，最后从极点π出发画代表方向的方的向线，的方向线与的方向线的交点为，

代表C点的加速度，C点的加速度大小。加速度多边形中，从极点π发出的矢量代表对应点的绝对加速度矢量，连接两个绝对加速度矢端的矢量代表对应点的相对加速度。已知同一构件上的两点的加速度，求第三点的加速度可用加速度影像法，具体操作同速度影像法。现要求构件2上的点D的加速度，在加速多边形图中作ΔBCD∽Δ，且的排列顺序同BCD的排列顺序，均为逆时针排列，代表D点的加速度,

D点的加速度大小。

(2)不同构件上两重合点间的速度和加速度关系。这种类型常用于两构件构成移动副时的运动分析。需要注意的是在建立不同构件上两重合点间加速度矢量方程时，若牵连运动是转动，有哥氏加速度。下面就具体情况讲解。图3-2（a）中，构件1以匀角速度作定轴转动，现要求构件3的运动参数。构件1与构件2构成转动中心在B点的转动副，因此，构件1上的B点的速度与构件2上的B点的速度相等；构件2与构件3构成移动副，构件2的角速度与构件3的角速度相等。即

机构中构件2为连杆，它是构件1与构件3联系的纽带，要想求得构件3的运动参数，就应在构件1、2、3上找一个重合点，通过这点将三个构件间的运动参数联系起来，显然B是最适合的点，因为构件1和构件2上的B点的速度和加速度是已知的，即。①速度关系。根据相对运动的原理，构件3上的B点的速度等于构件2上的B点的速度与构件3上的B点相对于构件2上的B点的相对速度的矢量和。即

图3-2同一构件上两点的相对运动关系(a)机构简图;(b)速度多边形;(c)加速度多边形

=

+

大小

？

?方向

⊥BC

⊥AB∥BC按前述方法画速度多边形，如图3-2（b）所示,

为代表构件3上B点速度的矢量，进一步可求得构件3上B点速度的大小。构件3的角速度，逆时针方向旋转。②加速度关系构件3上的B点的加速度等于构件2上的B点的加速度、构件3上的B点相对于构件2上的B点的相对加速度和哥氏加速度的矢量和。即=

+

=

+

+

大小

？

2

？方向

∥BC

⊥BC

∥AB

沿方向转900

∥BC

(由B指向C)

(由B指向A)

(⊥BC相上)

上式中，等号右边第二项为哥氏加速，大小等于牵连角速度与相对速度乘积的二倍，方向为相对速度绕牵连角速度方向转，第三项为相对加速度。另外，请再次注意：每个矢量的角标一定要写清楚是哪个构件上的哪个点。画加速度多边形如图3-2（b）,

为代表构件3上B点的向心加速度的矢量，为代表构件3上B点的切向加速度的矢量，为代表构件3上B点加速度的矢量，进一步求出构件3上B点的切向加速度的大小，则构件2和构件3的角加速度，逆时针方向。

2.

解析法解析法的特点是建立各运动参数与机构运动尺寸之间的代数关系式，然后借助计算机进行求解的一种方法。矢量方程复数法是一种常用的对平面机构进行运动分析的解析方法。矢量方程复数法的特点是：先列出机构的闭环矢量方程，然后将矢量方程中的各矢量用复数表示，然后进行求解。下面用此方法对图3-3的铰链四杆机构进行分析。已知原动件以等角速度逆时针方向转动，各构件的长度为。

图3-3

铰链四杆机构

（1）位移分析。机构中的各构件构成了一个矢量封闭多边形。得到矢量方程为

将上述矢量方程中的各矢量用复数表示，得到复数方程

（3-1）式中，

，2

，3，4）分别为各杆的复角。复角按如下规定度量，以

图3-3中轴正方向为起始线，将轴沿逆时针方向转至与某杆矢量重合，转过的角度即为该杆的复角且为正值，若轴顺时针旋转，得到的复角为负值。上面复数方程（3-1）可进一步表示为将实部与虚部分开，可得到如下两个方程

消去得

其中A=

,

B=

,

C=将

、带入上面公式得

（C-A）+2B+(A+C)=0解得

式中的“+”、”-“号依机构的装配形式而定。求出后，很容易求得

（2）速度分析。将公式（3-1）对时间求导得

（3-2）将上式左、右两边同时乘以，取实部，即可求得构件2的角速度=类似求得

=（3）角加速度。将公式（3-2）对时间求导得

将上式左、右两边同时乘以，取实部，即可求得构件2的角加速度

类似求得

3.

速度瞬心法（1）速度瞬心的概念。

两个相对运动构件间的等速重合点称为它们的速度瞬心。如果两构件中有一个构件是静止不动的，则其瞬心称为绝对速度瞬心；若两个构件都是运动的，这称为相对速度瞬心。（2）瞬心的数目。

机构中若有N个构件，由于每两个构件间都有一个瞬心，因此机构共有个瞬心，其中N-1个为绝对速度瞬心。（3）瞬心求法。①两个构件以转动副相连接，它们的速度瞬心就在转动副中心；②两个构件以移动副相连接，它们的速度瞬心在垂直移动副导路的无穷远处；③如两构件以高副相连接，若两构件在接触点处作纯滚动，则接触点即为速度瞬心，否则，瞬心应在接触点的公法线上；

④若两个构件没直接用运动副相连接，它们的瞬心可借助三心定理来求得，三心定理的内容为：相互作平面平行运动的三个构件间的三个瞬心必位于同一条直线上。

三、学习重点及难点（1）学习重点

对Ⅱ级机构进行运动分析。（2）学习难点

对机构进行加速度分析，特别是两构件重合点间含有哥氏加速度时的加速度分析，包括如何建立相对运动加速度矢量方程、画加速度多边形进行求解等。

四、例题精选例题3-1求图3-4(a)所示五杆机构的全部瞬心，已知各杆长度均相等，且与回转方向相反。解：五杆机构瞬心数为

。有些瞬心可直接确定，有些不能一下确定，可借助瞬心多边形（图3-4（b））依次确定各瞬心。在瞬心多边形中，各顶点的数字代表机构中各构件的编号，代表机架的顶点用圆圈标出，各顶点间的连线就代表相应两构件间的瞬心，能直接确定的已知瞬心用实线表示，待求的瞬心用虚线表示。根据图3-4（a）中各构件的连接关系，可直接确定瞬心位置。根据已知条件且

转

向

相

反，因此可判定应

位

于

与

中间。由三心定理可知，在瞬心多边形中任一个三角形的三个边所代表的三个瞬心应在一条直线上。故可求其它瞬心如下：由知瞬心位于瞬心与的连线上；再由知瞬心位于瞬心与的连线上，上述两条线的交点即为瞬心的位置。同理由、

得；、

得；、

得

。10

个

瞬

心

详

见

图3-4（a）。

（a）

(b)

图3-4

例题3-1图

(a)机构简图;

(b)瞬心多边形

例题3-2

图3-5（a）所示示

机

构

运

动

简

图

取

比

例

尺

m/mm。

已

知

rad/s，

试

用

速

度

瞬

心

法

求

构件3

的

角

速

度

。解：由于构件1的角速度是已知的，因此欲求构件3的角速度，可借助构件1与构件3的速度瞬心。为方便求出所需瞬心，做瞬心多边形如图3-5（b）。在图示机构中，瞬心的位置已知。由三心定理可知，在瞬心多边形中任一个三角形的三个边所代表的三个瞬心应在一条直线上。故可求瞬心如下：由知瞬心位于瞬心与的连线上；再由知瞬心位于瞬心与的连线上，上述两条线的交点即为瞬心的位置。由

瞬

心

是

两

构

件

等

速

重

合

点

概

念

得，

因此有

rad/s，

逆

时

针

方

向。

（a）

（b）

图3-5

例题3-2图

(a)机构简图;

(b)瞬心多边形例题3-3

在

图3-6所

示

机

构

中，

已

知

，，，rad/s

，

试

求

、

。

(取)

图3-6

例题3-3图(a)机构简图;(b)速度多边形;(c)加速度多边形

解：本题欲求构件3上C点的速度与加速度、，由于构件3作平移运动，构件3上任意点的速度与加速度均相等。因此，可借助重合点B

的相对运动关系求解。（1）

速度分析。，

，

大小

？

？方向

沿BC

⊥AB

∥AB取作速度多边形，如图3-6(b)所示，由图可求得

(2)

加速度分析。

大小

？

？方向

沿BC

∥AB

⊥AB

向上

沿AB（沿方向转）取加速度比例尺作加速度多边形，如图3-6（c）所示，由图可求得

例题3-4

在

图

示

机

构

中，

已

知

mm，

mm，

mm

，,

rad/s。

求

从

动

件

2

的

角

速

度、

角

加

速

度

。

图3-7

例题3-4图(a)机构简图;(b)速度多边形;(c)加速度多边形解：本题为含有高副的平面机构的运动分析问题，首先应把高副机构进行低代，将

原

机

构

高

副

低

代后的运动简图见图3-7（b）。对低代后的机构（图3-7（b））进行运动分析有两种方法。一是构件2与构件4组成移动副，把点B作为重合点，建立构件2上的B点与构件4上的B点间的相对运动矢量方程，但由于构件4上B点的运动参数未知，而O点的运动参数（）已知，因此需再建立同一构件4上两个不同点与之间的相对运动矢量方程，利用运动约束条件，联立求解两矢量方程，最后求得及。二是直接将O作为构件2与构件4的重合点，建立相对运动矢量方程式，进行求解，这需将构件2扩大至包含点O，这种方法称为构件扩大法。第一种方法无论是建立方程，还是作矢量多边形求解都较复杂，不建议采用，灵活应用构件扩大法可简化解题过程，本题即采用此方法。（1）速度分析。求解构件2的角速度

。扩

大

构

件

2至包含O点，

将O点看成构件2与构件4的重合点，于是有

=

+

，

大小

？（）

？

方向

⊥OC

⊥OA

∥BC取

，作

速

度

多

边

形（图3-7（c）），图解得

m/s

rad/s，

逆时

针

方

向。

（2）加速度分析，求解构件2的角加速度。

=

+

=

+

+

大小

？

2

？方向

沿OC

⊥OC

沿AO

⊥BC向上

沿BC（沿方向转）式中

，

，

。

取

，

作

加速

度

多

边

形（图3-7（d））

,

图

解

得

,

顺时

针

方

向。

（a）

图3-8

例题3-5图

(a)机构简图;(b)速度多边形;(c)加速度多边形解：

取构件2与构件3上的B

点为重合点。

（1）求构件3的角速度及构件3上C点的速度。

大小

？（）

？

方向

⊥BD

⊥AB

∥BC

作速度多边形见图3-8(b),图解得

\

，

顺时针方向。

（2）求构件3的角加速度。

大小

？

2

？

方向

沿BD

⊥BD

沿AB

⊥BC向右

沿BC

（沿方向转）作加速度多边形见图3-8(c),图解得

\

,

顺

时

针

方

向。例题3-6

398在图3-9所示机构中，已知

rad/s，a1

=0，

。

求、。

（a）

（b）

（c）

图3-9

例题3-6图

(a)机构简图;(b)速度多边形;(c)加速度多边形

解：本题有两种解法。一是构件2与构件3组成移动副，把点C作为重合点，由于C在构件3上的速度，所以，再根据构件2上B点与C点的相对运动关系得,

进而求解。另一种方法是将

构件3扩大至包含点B，使点B成为重合点。本题采用第一种方法先求出构件2上C点的速度与加速度，然后用影像法求构件2上D点的速度与加速度。（1）

求

。

m/s，

作速度多边形如图3-9所示，图解得，

，，

，逆时针方向

。利用影像法求得

m/s

（2）

求

。

，

m/s2

，

又，

，

m/s2作

加

速

度

多

边

形，如图3-9（c）所示，由图得

，

。利

用

影像

法

求，见图。

m/s2

，

方

向

如

图

所

示

五、试题自测及答案1.下列哪几种情况取B点为构件2和3的重合点时有哥氏加速度。

图3-10

2.

图3-11

图3-12

图3-13

图3-14

图3-15

参考答案1.

解

：无、无、有、有、有、有、有、有

2.

解：

方法一：(1)

，

mm/s

，

作速度多边形如图3-18所示，由图得

rad/s，

顺

时

针

方

向。

=280mm/s

mm/s

，由影像法得

mm/s

(2)

，

，作加速度多边形（图3-18），由图得

，

逆

时

针

方

向

由影像法得

方法二

：

将构件3扩大至B点，直接将B点作为重合点，详解略。

图3-18

3.

解：(1)

速

度

分

析

m/s

作速度多边形如图3-19所示，由图得

，

m/s，

逆

时

针

方

向

(2)

加

速

度

分

析