北理工机械基础课件第7章 直梁的弯曲

第7章直梁的弯曲

主要内容:1.直梁平面弯曲的概念

2.梁的类型及计算简图

3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）

4.梁纯弯曲时的强度条件

5.梁弯曲时的变形和刚度条件

平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。直梁平面弯曲的概念

1.梁弯曲的工程实例2.直梁平面弯曲的概念：

弯曲变形：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使杆的轴线由直线变为曲线。以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。梁弯曲的工程实例1FFFAFB梁弯曲的工程实例2F梁的轴线和横截面的对称轴构成的平面称为纵向对称面。梁的计算简图

在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。作用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式:1.集中力:2.集中力偶:3.分布载荷(均布载荷)

单位为N/m

简支梁：一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座。梁的类型外伸梁：一端或两端伸出支座之外的简支梁。悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁。梁弯曲时的内力：剪力和弯矩

求梁的内力的方法仍然是截面法。

F1F3F2mmxF3ABFAaFQMFQ

=

FA-

F3M=

FAx-F3(x-a)F2F1FBFQM梁内力的正负号规定2.从梁的变形角度剪力：顺时针为正逆时针为负弯矩：上凹为正下凹为负1.规定：BAqFA例：如图，任取一截面m-m，距离A端x,则m-m截面内力为:mmqCACFAFQMx(0≤X≤L)FBA点：MA=0中点：M=qL2/8B点：MB=0qL2/8抛物线剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标x表示截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可表示为x的函数，即：FQ=FQ(x)M=M(x)—剪力方程—弯矩方程弯矩图画法：以与梁轴线平行的x坐标表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小，正弯矩画在轴的上方，负弯矩画在轴的下方。例2：如图所示的简支梁AB，在点C处受到集中力F作用，尺寸a、b和L均为已知，试作出梁的弯矩图。x1FAFBx2FABaCbL解：1.求约束反力2.分两段建立弯矩方程

AC段：BC段：LFx1ABaCbx2M=FAX2-F(X2-a)

=-FX2+aFalFx1ABaCbx23.画弯矩图M=-FX2+aFal时，时，时，时，直线例3：如图所示的简支梁AB，在点C处受集中力偶M0作用，尺寸a、b和L均为已知，试作此梁的弯矩图。

解：1.求约束反力2.分两段建立弯矩方程

BACM0abLAC段：

x1x2BC段：

BACM0abLx1x23.画弯矩图BACM0abLx1x2弯矩图的规律

1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。

2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。

3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。求作弯矩图。解：1.求约束反力

FB=3kNFC=1kN2.作弯矩图

(无集中力偶，所以无突变）MA=0，MB=-2AB段为直线BC段为抛物线MBC=-(X-2X+4)/22CD段为直线MD=0，MC=-2x第7章直梁的弯曲主要内容:1.直梁平面弯曲的概念

2.梁的类型及计算简图

3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）4.梁纯弯曲时的强度条件

5.梁弯曲时的变形和刚度条件

梁纯弯曲时的强度条件

1.梁纯弯曲的概念

在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲为纯弯曲。平面弯曲剪力弯曲纯弯曲剪力FQ≠0弯矩M≠0剪力FQ=0弯矩M≠0平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。2.梁纯弯曲时横截面上的正应力

1）变形特点:横向线仍为直线，只是相对变形前转过了一个角度，但仍与纵向线正交。纵向线弯曲成弧线，且靠近凹边的线缩短了，靠近凸边的线伸长了，而位于中间的一条纵向线既不缩短，也不伸长。

如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，其中必定有一个既不缩短也不伸长的中性层（不受压又不受拉）。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性层与横截面的交线，称为中性轴，如图所示。变形时横截面是绕中性轴旋转的。

2）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律由平面假设可知，纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。分布如图所示。

3）梁纯弯曲时正应力计算公式在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为：MPa即：最大正应力为(MPa)：M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

M--截面上的弯矩(N.mm)Y--计算点到中性轴距离(mm)Iz--横截面对中性轴惯性矩Wz--抗弯截面模量梁纯弯曲时的强度条件强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即M—危险截面处的弯矩（N.mm）Wz—危险截面的抗弯截面模量（mm）

—材料的许用应力(Mpa)3提高梁强度的主要措施

合理安排梁的支承

1.降低最大弯矩数值的措施

合理布置载荷

提高梁强度的主要措施

提高梁强度的主要措施

合理布置载荷

提高梁强度的主要措施

2.合理选择梁的截面，用最小的截面面积得到大的抗弯截面模量。形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量不相同

。面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，承载能力最差。

2.合理选择梁的截面，用最小的截面面积得到大的抗弯截面模量。提高梁强度的主要措施

截面形状应与材料特性相适应。

对抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小于抗压强度的脆性材料，宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状。Y1和Y2之比接近于下列关系,最大拉应力和最大压应力便可同时接近许用应力。3.采用等强度梁等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，并充分发挥单位材料的抗弯能力，可使梁截面沿轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似相等，这种梁称为等强度梁。但等强度梁形状复杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等强度梁相近的变截面梁。如一些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数圆轴则制成了变截面的阶梯轴。

弯矩图