工程力学-项目4运动与动力分析

任务4.1运动与动力分析概述4.1.1运动分析概述运动学(Kinematics)是经典力学的一门分支，主要是从几何的角度(指不涉及物体本身的物理性质和加在物体上的力)上来描述和研究物体位置随时间的变化规律。以研究点和刚体这两个简化模型的运动为基础。点是指没有大小和质量、在空间占据一定位置的几何点。刚体是没有质量、不变形、但有一定形状、占据空间一定位置的形体。运动学包括点的运动学和刚体运动学两部分。掌握了这两类运动，才可能进一步研究变形体(弹性体、流体等)的运动。点的运动分析中主要是研究点的运动方程、轨迹、位移、速度、加速度等运动特征，这些都随所选参考系的不同而异;而刚体运动分析中主要是研究刚体本身的运动方程、角速度、角加速度等更复杂些的运动特征。刚体运动按运动的特性又可分为平动、绕定轴转动、平面平行运动、绕定点转动和一般运动。下一页返回任务4.1运动与动力分析概述4.1.2动力分析概述动力学(Dynamics)一也是经典力学的一门分支，主要研究运动的变化与造成这变化的各种因素。换句话说，动力学主要研究的是力对于物体运动的影响。运动学则是纯粹描述物体的运动，完全不考虑导致运动的因素。更仔细地说，动力学研究由于力的作用，物理系统怎样随着时间的演进而改变。动力学的基础定律是艾萨克·牛顿提出的牛顿运动定律。对于任意物理系统，只要知道其作用力的性质，引用牛顿运动定律，就可以研究这作用力对于这物理系统的影响。自20世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于工程技术应用方面的一个力学分支。动力学是机械工程与航空工程的基础。上一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析4.2.1点的运动的分析研究点的运动，就是研究动点在所选参考系上的几何位置随时间变化的规律。具体来说，就是要确定动点的运动方程、速度、加速度等运动规律。点所经过的路线称为轨迹。按轨迹形状的不同，点的运动可为直线运动和曲线运动。下面介绍两种常用的方法。1.自然法自然法是以点的轨迹作为自然坐标轴来确定动点的位置的方法。1)运动方程设动点M的轨迹为一已知曲线，如图4一3所示。在轨迹上任选一点O为原点，并规定O点的一侧为正向，另一侧为负向。当某一瞬时动点的位置至原点O的弧长s已知时，则动点在该瞬时的位置便可确定。弧长s是代数量，称为动点M轨迹上的弧坐标。下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析用自然法描述点的运动规律时，必须具有已知轨迹和运动方程两个条件。这里有几个概念要注意区分，动点在运动过程中，任一瞬时的弧坐标和路程有不同的含意。弧坐标是动点沿轨迹离原点的距离、，表明动点的位置所在，其值与所取原点的位置有关。路程则是动点在某一时间间隔内沿轨迹所走过的弧长，其值与原点位置无关。位移是指动点位置的移动，用从起始位置指向终止位置的有向线段表示。弧坐标是代数量，路程是算术量，位移是矢量。2)速度点的速度是描述点的运动快慢和方向的物理量。速度是矢量。如图4一4所示，动点沿曲线运动，在瞬时t位于M点,弧坐标为s,经过时间间隔△t，点由M点运动到M‘点，其弧坐标增量为△s，位移为。上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析综上所述可知，点做曲线运动的瞬时速度的大小等于动点弧坐标对时间的一阶导数，其方向沿轨迹的切线方向，指向动点运动的方向。3)加速度点的加速度是描述点的速度大小和方向随时间而变化的物理量。加速度是矢量。如图4一5所示，点作变速曲线运动，设在瞬时t位于M的动点的速度为v，经过△t时间后，动点位于M‘,其速度为v’。可见，动点的速度大小和方向都发生了变化。由于定义式中实际上包含了加速度的大小和方向两个量，所以通常把加速度分解为两个量:一个是由速度大小变化引起的加速度，称为切向加速度，用aτ表示;另一个是由速度向变化引起的加速度，称为法向加速度，一也称向心加速度(物理学中有过接触)，用an表示。下面对这两个量分别进行说明。上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析综上所述可知:加速度是由切向加速度和法向加速度组成，切向加速度描述了速度大小随时间的变化率;法向加速度描述了速度方向随时间的变化率。因此，全加速度a等于切向加速度aτ和法向加速度an的矢量和，如图4一6所示。即2.直角坐标法点作曲线运动时，若点的轨迹未知，则研究点的运动应采用直角坐标法。上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析1)运动方程设动点M在平面内作曲线运动。取直角坐标Oxy作为参考系，则M点在任一瞬间的位置可由坐标x、y来确定。如图4-7所示，当动点M运动时，其坐标x、y随时间而变化，因此动点坐标x、y是时间的单值连续函数，即此式称为以直角坐标表示的点的运动方程。如从(4一13)两式中消去时间参数t，就得到动点的轨迹方程由此式逐点描绘即可得动点的轨迹图。上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析2)速度设点M在平面内做曲线运动，其运动方程为如图4一8所示，在瞬时t，动点位于M，其坐标位于x、y;经时间△t，动点位于M‘，其坐标为x’、y’。因此，在时间△t内动点的位移为MM’，动点在瞬时t的速度为此式表明:动点的速度在直角坐标轴上的投影，等于其相应坐标对时间的一阶导数。

上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析因此，若已知以直角坐标表示的动点运动方程，即可求出速度的大小方向，如图4一9所示。3)加速度如图4一10所示，设点M在平面内作曲线运动，在瞬时t,动点位于M，其速度为v，经时间△t，动点位于M‘，其速度为x’，则在△t时间内动点速度的改变量为动点在瞬时t的加速度为上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析按照速度投影的相似分析过程，由于v在x、y轴上的投影分别为△vx.△vy，且可得加速度a在x、y轴上投影为式(4一20)表明:动点的加速度在直角坐标轴上的投影，等于其相应速度对时间的一阶导数。

上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析4.2.2刚体的基本运动的分析在工程上常见的并不是点的运动，许多运动的物体一也不能简单地简化为点运动，而只能看成是刚体的运动。例如机器轴和齿轮的转动，机床工作台的移动，起重机臂的抬起和旋车令，车轮的滚动等。刚体的最简单的运动形式是平行移动和绕定轴转动。平行移动和绕定轴转动称为刚体的基本运动。研究刚体基本运动的目的，一方面是因为它在工程上有广泛的应用。另一方面一也是为以后研究刚体的复杂运动打下基础。1.刚体的平行移动刚体在运动过程中，刚体上任一直线始终与它原来的位置保持平行。这种运动称为平行移动，简称平动。如图4一14中的连杆AB属于曲线平动;图4一15中的滑块B属于直线平动。上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析当刚体作平动时，刚体上任意两点AB的运动轨迹如图4一16所示，A、B，A1、B1

、A2、B2

，为各不同瞬时在轨迹上的对应点，故有由于AB两点是任意选取的，所以可得结论:刚体作平动时，刚体上各点的速度和加速度完全相同。刚体上任一点的运动都能代表整个刚体的运动。因此刚体平动问题可归结为点的运动问题来研究，可用刚体上任一点的运动来表征，通常以刚体质心的运动来研究。上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析2.刚体绕定轴转动刚体运动时，体内(或其延伸部分)有一条直线始终保持不动，这种运动称为定轴转动。定轴转动时这条不动的直线称为转轴，刚体上其他各点都绕此轴作不同半径的圆周运动。刚体绕定轴转动在工程上应用甚多，例如带轮、飞轮、齿轮等。1)车令动方程如图4一17所示，通过轴线作一假想固定平面Ⅰ，再通过轴线作一假想动平面Ⅱ固结在转动体上。这两个平面间的夹角φ称为刚体的转角，角φ是代数量。转动刚体的位置由转角φ确定，对应一个转角，刚体便有一个确定的位置，刚体上各点在各自圆周上所走弧长所对应的中心角均等于转角。刚体转动时，转角随时间变化，即转角是时间的单值连续函数上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析式(4一23)称为刚体的转动方程，它表示刚体转动的规律，由转动方程可以确定任一瞬时的转角，一也就可以确定任一瞬时刚体绕定轴转动的位置。转角单位用rad，规定逆时针转动的转角为正值，顺时针的转角为负值。2)角速度角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量，常用符号ω表示，其值等于转角对时间的一阶导数，即角速度的方向与角位移增量方向一致。角位移增加的方向即为角速度正方向。上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析3)角加速度角加速度是表示角速度变化快慢的物理量，常用符号ε表示，其值等于角速度对时间的一阶导数，或等于转角对时间的二阶导数，即4)匀速及匀变速转动匀速及匀变速定轴转动是工程中常见的情况，可作为刚体绕定轴转动的特殊情况。匀速定轴转动:若刚体作定轴转动时角速度不变，则称为匀速转动，仿照点的匀速运动公式，可得上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析3.定轴转动刚体上点的速度和加速度1)速度如图4一18所示，刚体绕定轴O转动，刚体上各点的运动轨迹均为不同半径的同心圆，任取刚体上一点M，其半径()M为该点到轴线的距离。某瞬时的角速度为ω，角加速度为ε。在瞬时t开始，经过△t时间，刚体转过△φ角，M点经过△s到达M1处，所以M点在瞬时t的速度大小为式(4一31)表明:绕定轴转动刚体内任一点的速度，等于角速度与该点到转轴距离的乘积，其方向沿圆周的切线并与刚体的转向一致。如图4一19所示，刚体上各点的线速度与其半径成正比，点离转轴距离越远，则其线速度越大。上一页下一页返回任务4.2点与刚体的基木运动分析2)加速度如图4一18所示，M点作圆周运动，其加速度可分解为切向加速度和法向加速度。切向加速度的大小为aτ和ε有相同的正负号，aτ的方向是沿着点的圆周的切线，指向和。的方向一致当ε、ω同号时，a和v同向，为加速运动;反之当ε、ω异号时，aτ和v反向，为减速运动。如图4一20所示。绕定轴转动刚体内各点的全加速度，其大小与该点到转轴的距离成正比，方向与转动半径的夹角相同。如图4一21所示。上一页返回任务4.3点的复合运动分析4.3.1点的复合运动概述在工程上，把固定于地面的坐标系称为静参考系，或简称静系;把固定于相对于地面运动的物体上的坐标系称为动参考系，或简称动系。现在从物体相对于静系和动系的运动之间的关系，来说明合成运动的概念。如图4一32所示，研究沿地面作直线滚动的车轮轮缘上点M的运动，路上行人所观察到的，是相对于与地面固连的静参考系的运动，即车厢作直线运动，M点的轨迹是旋轮线;车厢中人所观察到的，是相对于与车厢固连的动参考系的运动，即M点运动是一圆周运动。实际上，圆周运动和平动是同时进行的，M点既跟随着动系一起平动，又在动系上作圆周运动，旋轮线就是这两个运动的合成结果。因此，轮缘上M点的运动就是两个简单运动的合成。下一页返回任务4.3点的复合运动分析如图4一33所示，桥式起重机起吊重物时重物M的运动。当起重机横梁不动时，起重机小车沿横梁水平行走，同时小车上卷扬机提升工件M向上运动。工件对小车(动系)来说，是沿垂直方向的直线平动，而小车对地面(静系)则是沿水平方向的直线运动。因此可以作出如下分析，先假设工件M相对于小车不动，只是随着小车一起水平运动到M点。然后小车不动，只是工件M相对于小车从M1上升到M2点，实际上小车和重物是同时运动的，亦即重物M的运动是上述两个简单运动的合成。4.3.2相对不同参考系点的运动分析为了便于进一步研究这些运动，我们引入下列定义:绝对运动一动点相对于静系的运动;相对运动一动点相对于动系的运动;牵连运动一动系相对于静系的运动。上一页下一页返回任务4.3点的复合运动分析从上述定义可知:动点的绝对运动和相对运动都是动点的运动，只是相对的参考系不同而已;而牵连运动是参考体对静系的运动，一也就是固连着动参考系的刚体的运动，其运动可能是平动、转动或者是其他较复杂的运动。一般而言，作牵连运动刚体(即动系平面上)上的各个点的运动速度是不相同的。在某一瞬时，动系上与动点位置相重合的点称为牵连点。随着动点在动系平面上运动，牵连点的位置在不断的改变。不同瞬时有不同的牵连点，各个牵连点连续地在动系平面上所形成的曲线即是相对轨迹。在分析上述三种运动时，首先必须确定动坐标系、静坐标系和被研究的动点。绝对运动可以认为是由相对运动和牵连运动合成的运动，故相对运动和牵连运动被称为分运动，绝对运动是它们的合成运动。即:绝对运动一牵连运动+相对运动上一页下一页返回任务4.3点的复合运动分析4.3.3点的速度合成分析现在研究点的绝对运动、相对运动、牵连运动三者之间的关系，首先观察三种运动的位移之间的关系。如图4一34所示，运动平S上有一曲线槽AB,槽内有动点M沿槽运动，静参考系Oxy固连在地面上，动参考系以O’x‘y’固连在运动平面S上。动点的绝对位移是牵连位移和相对位移的矢量和。式(4一38)即为点的速度合成定理:即动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。式中三个速度矢量，共包含大小、方向6个量，如已知其中4个，即可用速度平行四边形解出其余两个未知量。上一页返回任务4.4刚体的平面运动分析4.4.1描述刚体平面运动的方法刚体运动时，刚体内任意点与某一固定平面的距离始终保持不变，则此运动称为刚体的平面平行运动，简称为平面运动。刚体平面运动的实例有很多，例如沿直线轨道滚动的车轮;如图4一50所示，柱体在平面上的滑动;如图4一51所示，内燃机连杆的运动等。刚体的定轴转动和平动都是平面运动的特殊情况。在图4一52中，一刚体作平面运动，刚体上各点到固定平面1的距离保持不变，在刚体内任取一个和固定平面1平行的横截面S，则此截面S始终在平面1l内运动，又过截面S上任意点A作一条与固定平面1垂直的直线A‘AA’’，则此直线将作平行于自身的运动，并且直线A‘AA’’上各点的运动与截面S上的A点的运动完全相同。由此可见，截面5上的各点的运动就代表了整个物体的运动。因此，刚体的平面运动可以简化为截面图形S在自身平面内的运动。下一页返回任务4.4刚体的平面运动分析如图4一53所示，要确定平面图形S的位置，只需要确定图形上任一线段(例如O’A)的位置就可以了。由于图形内各点相对于此线段的位置是一定的，只要此线段O’A位置确定，图形的位置一也就确定。因此，平面图形的运动可以用图形上任一线段的运动来表示。4.4.2平面图形内各点的速度分析通过学习，我们已经知道描述刚体平面运动的方法，即将刚体的平面运动简化为截面图形在自身平面内的运动，而平面图形的运动可分解为随同基点的平动和相对于基点的转动两个运动来研究。但是，在工程中平面图形内点的速度分析一也是非常有必要的，下面我们就平面图形内点的速度开始分析研究。平面图形内点的速度分析的方法我们常用的主要有三种，即速度合成法、速度投影法、速度瞬心法上一页下一页返回任务4.4刚体的平面运动分析1.速度合成法由方程组(4一39)可知，当平面图形5运动时，若角甲保持恒值不变，则刚体作平面平动;若x’o和y’o保持不变，即基点O不动，则刚体作定轴转动。在一般情况下，x’o和y’o都随时间而变，因此平面运动的刚体是在同时进行随基点的平面平动和绕基点的转动，即平面运动是平面图形随基点平动和绕基点转动的合成运动。如图4一54所示，平面图形S在时间间隔△t内，由位置I运动到位置II，这一运动过程，既可以看作平面图形S以任意点A为基点平动到A1点，再以A1点为中心转到角度φ到位置II;一也可以看作引任意点O为基点平动到分点，再以O’1点为中心转动角度φ到位置II。刚体平面运动可看作是随同基点平动和绕基点的转动的合成。若取固接在基点作平动的动坐标系，则图形上任一点，便具有和基点相同的牵连速度和绕基点转动的相对速度，因此可利用速度合成原理求得该点的绝对速度。上一页下一页返回任务4.4刚体的平面运动分析如图4一55(a)所示，设已知平面图形S上任一点O的速度vo和转动角速度ω，求图形S上任一点M的速度。由于O点速度为已知，故取O点为基点，并将动系固接在O点上，M就等于基点O的速度ve，如图4一55(b)所示;又由于平面图形S的转动角点的牵连速度vr速度、为已知，故M点的相对速度认就是M点绕基点O转动的线速度vMO，如图4一55(c)所示。根据速度合成定理可得M点的绝对速度，如图4一55(d)所示。式(4一40)表明:平面运动的刚体上任一点的速度，等于基点速度与该点绕基点的转动线速度的矢量和。这种方法称为基点法或速度合成法。上一页下一页返回任务4.4刚体的平面运动分析2.速度投影法如前所述，平面图形S上任意A与B的速度存在着确定的关系，为根据矢量投影定理:合矢量vB在某一轴x上的投影，等于它的各分矢量vA和vB在同轴上投影的代数和。故从式(4一41)可得:投影轴是可以任意选取的。如图4一58所示，如选AB连线为投影轴，因vBA垂直于AB连线，故,则式(4一42)可写成为:上一页下一页返回任务4.4刚体的平面运动分析式(4一43)表明:平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，称为速度投影定理。这个定理的物理意义是明显的，它表明刚体上任意两点的距离是不变的，所以这两点的速度在两点连线方向的分量必须相等，否则两点的距离不是拉开，便是缩短，这是不可能的。所以速度投影法在本质上是刚体上任意两点距离不变性质的一种反映，在原理上是基点的一个投影式。3.速度瞬心法由基点法知，平面运动刚体上任一点的速度，等于任选基点的移动速度与该点转动速度的矢量和。由此可以推想，若基点选在该瞬时速度为零的点上，则平面运动刚体上任一点的速度只等于该点绕基点转动的速度。速度为零的基点就被称为平面运动刚体在此瞬时速度中心，简称瞬心。利用瞬心去求任一点速度的方法称为瞬心法。由于基点速度为零，故可避免矢量合成的运算过程。上一页下一页返回任务4.4刚体的平面运动分析刚体作平面运动时，在任何瞬时有而且仅有一个速度为零的瞬时速度中心。根据不同的已知条件求瞬心的位置，有如图4一63所示的多种情况。①如图4一63(a)所示，已知A,B两点的速度方向，通过这两点作垂直于其速度的两条直线，则两条直线的交点就是速度瞬心。②如图4一63(b),(c)所示，若A,B两点速度大小不等，其方向与AB连线垂直，则瞬心位置可根据速度与其转动半径成正比的关系确定。③如图4一63(d)(e)所示，若任意两点A,B的速度vA平行于vB，且vA=vB，则瞬心在无穷远处，平面图形作瞬时平动。①如图4一63(f)所示，物体沿固定面作无滑动的滚动(称为纯滚动)，物体上只有接触点的速度为零，故该点为瞬心。上一页下一页返回任务4.4刚体的平面运动分析平面运动可以分解成平动和转动，利用瞬心的概念，又进一步将平面运动简化成绕瞬心的转动。应特别指出，刚体作平面运动过程中，作为瞬心那一点的位置不是固定的，而是随时间不断地变化。速度瞬心在某一瞬时的速度为零，该点的加速度不为零。下一瞬时该点的速度便不再为零了。这就是瞬心与刚体绕定轴转动的转动中心的不同点。定轴转动中心位置是固定不变的，该点的速度、加速度均恒为零。上一页返回任务4.5动力学分析4.5.1动力学分析预备知识的学习动力学是对物体的机械运动进行全面的分析，研究物体的受力与物体的运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍定理。现在我们来看看在动力分析中几个常用的基本概念。1.质点与质点系动力分析中，将会涉及质点与质点系这两种抽象模型。当忽略物体的几何形状和几何尺寸，而不影响研究问题的结果时，此物体即可抽象为质点。例如研究人造地球卫星的运行轨道时，可将卫星抽象为质点;又如物体平动时，由于物体上各点的运动完全相同，故可以不考虑物体的几何形状和几何尺寸，而将物体简化为一质点。由有限或无限个质点所组成的系统，称为“质点系”或“质系”。质点系既包括物体，也可以包括变形固体，以至流体;既可以代表单个物体，一也可以代表若干物体的组合。因此质点系的动力分析可以概括机械运动的最一般规律。下一页返回任务4.5动力学分析2.动力分析所涉及的两类量动力分析中，将要涉及两类量:一类是与运动有关的量。例如动量、动量距和动能等均属于此，这些量与质量、速度或加速度有关;另一类是与力有关的量。例如冲量、冲量距以及功等，这些量与力、力作用的时间或力移动的距离有关。动力学普遍定理就是对这两类量之间的关系的描述，我们通过这些关系找到各个量之间的转换，从而解决要研究的问题。3.质点系的内力和外力对质点系作动力分析时，通常需要将作用在质点系上的力按两种不同方法加以分类。上一页下一页返回任务4.5动力学分析一种方法是将质点系上的力分为内力和外力。质点系以外的物体施加在质点系各质点上的力，称为“外力”;质点系各质点间的相互作用力，称为“内力”。外力与内力的区分是相对的。例如当研究由机车和车厢组成的列车运动时，这列车可视为由机车和车厢这些质点组成的质点系，这时机车与车厢之间的相互作用力为内力，但当分析机车或单节车厢的运动时，则机车与车厢之间的作用力，对于所研究的对象便变成为外力。另一种方法是将作用在质点系上的力分为主动力与约束力。作为约束的物体施加与被约束物体上的力，称为“约束力“。因为被约束物体的运动状态是变化着的，故约束力随着运动状态的变化而变化。所以这种约束力不同于静力分析的约束力，有时又称为“动约束力”或“动反力”。除约束力以外的力，称为“主动力”。上一页下一页返回任务4.5动力学分析4.动力分析的两类问题动力分析所涉及的问题比较广泛，但可归纳为两大类。第一类问题是，已知物体的运动，求作用在物体上的力。例如已知机器的运动规律，求其各零部件上受的力，或受地基的约束力等即属此类。第二类问题是，已知作用在物体上的力，确定物体的运动规律，包括位移、速度和加速度等。例如已知作用在炮弹、导弹上的推动力，求炮弹、导弹的弹道等即属此类。上一页下一页返回任务4.5动力学分析4.5.2质点动力学分析1.动力学基本定律动力学的全部内容是以动力学基本定律为基础的。动力学基本方程是牛顿运动定律的数学表示形式。质点动力学有三个基本定律，通常称为牛顿运动三定律。牛顿三大定律我们在物理学中早已学习过，并且做过大量练习。物理学中的学习在此都是适用的，为此在动力学内容的学习中，不再做更多练习和讲解，只做必要的深人和拓展。1)第一定律(惯性定律)任何质点如不受力的作用，则将保持其原来的静止或匀速直线运动的状态。物体保持其运动状态不变的特性称为惯性，所以第一定律又成为惯性定律，而质点的匀速直线运动又称为惯性运动。上一页下一页返回任务4.5动力学分析在生活和生产实践中，我们经常遇到惯性引起的一些现象。例如，汽车刚开时车上的乘客会向后仰，而刹车又会向前扑。这一定律还说明质点的运动状态如果发生变化，则质点必然受到力的作用，因此力是质点运动状态改变的原因。2)第二定律(力与加速度的关系定律)质点的质量和加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即式(4一44)是牛顿第二定律的数学表达式，它是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。当质点上受到多个力作用时，则式中的力是所受力系的合力。上一页下一页返回任务4.5动力学分析3)第三定律(作用力与反作用力定律)两个质点之间的相互作用力总是等值、相反、共线，且分别作用在对应的质点上。这个定律在静力学中学习过，在此重提的重要意义在于:这个定律不仅在物体平衡时成在物体运动时也是同样成立。第三定律给出了质点系中各质点间相互作用的关系。由我们能将质点动力学的原理推广应用到研究质点系动力学问题中去。2.质点运动微分方程将动力学基本方程投影于不同坐标系，可建立不同形式的质点运动微分方程。1)直角坐标形式的质点运动微分方程2)自然坐标形式的质点运动微分方程上一页下一页返回任务4.5动力学分析3.质点动力学第一类基本问题质点动力学第一类问题是:已知质点的运动，求作用于质点上的力。点的运动方程或速度函数是已知的，只需将其代人质点运动微分方程，用力。求解这类动力学问题的步骤，可大致归纳如下:①选取研究对象，画受力图。②分析运动。根据所给条件，分析某瞬间的运动情况。③根据研究对象的运动情况，确定采用何种形式的运动微分方程。①列运动微分方程，求解未知量。上一页下一页返回任务4.5动力学分析4.质点动力学第二类基本问题质点动力学第二类问题是:已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题比较复杂，因为作用于质点上的力是常力，一也可以是与许多物理因素相关的变量。求解这类动力学问题的步骤，可大致归纳如下:(1)选取研究对象，画受力图。(2)分析运动，确定指点运动的初始条件。(3)列运动微分方程，求解未知量。上一页下一页返回任务4.5动力学分析4.5.3刚体定轴转动动力学分析通过前面的学习我们知道，刚体(质点系)有两简单运动形式:平动和定轴转动。因为刚体平动时，刚体内各点的运动状态完全相同，可以简化成质点的运动，习惯上用刚体质心的运动来代表刚体的平动。所以可以用质点运动微分方程求解刚体平动时的动力学问题。1.刚体绕定轴转动的动力学微分方程设有一个刚体，在外力系F1,F2..Fn作用下绕定轴z转动，如图4一85所示，某瞬时刚体转动的角速度为ω，角加速度为ε。在刚体上任取一质点Mi，其质量为mi，转动半径为ri，则有上一页下一页返回任务4.5动力学分析故有因为所有法向力都通过z轴，它们对z轴的力矩的代数和必等于零，若以表示所有外力对z轴的力矩的代数和，则有上一页下一页返回任务4.5动力学分析式(4一48)中称为刚体对z轴的转动惯量，它是刚体各质点的质量与其对应的转动半径平方的乘积的总和。式(4一48)称为刚体绕定轴转动的动力学基本方程，角加速度的转向与转动力矩的转向相同。2.转动惯量的计算刚体的转动惯量具有明确的物理意义，由式(4一48)可以看出，不同的刚体受到相等的力矩作用时，转动惯量大的刚体角加速度小，转动惯量小的刚体角加速度大，即转动惯量大的刚体不易改变其运动状态。所以转动惯量是转动刚体惯性的度量。上一页下一页返回任务4.5动力学分析4.5.4质点与质点系动量分析动力学基本方程是解决动力学问题的基本方法，但是在工程中，有时用动力学普遍定理(动量定理、动量矩定理、动能定理)解题会更方便。此外，这些定理中提出的动量、动量矩、动能等概念，一也都有明确的物理意义，了解这些概念对更深人地理解物体机械运动的特性十分有利。1.质点的动量定理1)质点的动量由物理学已经知道，动量是表征质点机械运动强度的一个物理量。设质点的质量为m，其速度为v，则质点的动量可由质点的质量与其速度的乘积来表示，即在该瞬时质点的动量为mv。动量是矢量，它的方向与质点的速度方向相同，动量的单位是kg·m/s。上一页下一页返回任务4.5动力学分析2)冲量我们已经知道，力在一段时间间隔内作用的累积效应称为冲量。当作用力为F在时间间隔t内的冲量I为冲量是矢量，它的方向与力的方向相同，冲量的单位是N·S3)质点的动量定理设质量为m的质点M在合力F的作用下运动，其速度为v，根据动力学基本方程有上一页下一页返回任务4.5动力学分析由于质点的质量为常量，上式亦可写成可以看出，式中mv为质点的动量。因此式(4一53)表明:质点动量对时间的变化率等于该质点所受的合力。这就是微分形式的质点的动量定理。将式(4一53)分离变量后，两边积分得式(4-54)表明:质点动量在任一时间间隔内的改变，等于在同一时间间隔内作用在该质点上的合力的冲量。这就是积分形式的质点的动量定理，又称为冲量定理。上一页下一页返回任务4.5动力学分析2.质点系的动量定理质点系的动量对时间的变化率，等于质点系所受外力的矢量和，这就是微分形式的质点系的动量定理。式(4一57)表明:质点系的动量在任一时间间隔内的变化，等于在同一时间间隔内作用在该质点系上所有外力的冲量的矢量和。这就是积分形式的质点系的动量定理。其在直角坐标的投影为上一页下一页返回任务4.5动力学分析式(4一58)表明:在某一时间间隔内，质点系的动量在坐标轴上投影的改变，等于作用在该质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量在同一轴上的投影的代数和。4.5.5质点与质点系动量矩分析1.动量矩工程中，把物体绕某点(轴)转动运动量的大小称为动量矩。1)质点对轴的动量矩设有质点M，其质量为m，它在与z轴垂直的平面内的速度为v，动量为mv，如图4-92所示，我们把质点的动量与质点的速度v到z轴的距离厂的乘积定义为质点对固定轴z的动量矩，以Mz(ma)表示,即上一页下一页返回任务4.5动力学分析2)质点系对轴的动量矩设质点系由n个质点组成，则所有质点对于固定轴z的动量矩的代数和为质点系的动量矩，记为Lz，即2.动量矩定理1)质点动量矩定理设在平面xy内有一质点M，此质点绕与平面xy垂直的z轴做圆周运动。如图4-93所示，已知质点的质量为m，某瞬时速度为v，加速度为a，其动量为mv，根据动力学基本方程F=ma，将此式向M点处的圆周的切线方向投影，得上一页下一页返回任务4.5动力学分析(2)质点系动量矩定理质点系对于某一固定轴的动量矩对时间的导数，等于质点系上所有外力对同一轴的力矩的代数和，这就是质点系的动量矩定理。如果作用于质点系的外力对某固定轴的矩的代数和等于零，则质点系对于该轴的动量矩保持不变。这就是质点系的动量矩守恒定律。4.5.6质点与质点系动能分析1.力的功由物理学已经知道，作用在物体上的力所做的功，表征了力在其作用点的运动过程中对物体作用的积累效果，其结果是引起了物体能量的改变和转化。上一页下一页返回任务4.5动力学分析1)常力在直线运动中的功设质点M在常力F作用下，物体从位置M1移动到M2，位移为s，如图4一95所示，则力所做的功为式中，a为力F与力作用点的位移、之间的夹角。功是代数量。功的单位是J(焦耳),1焦=1N·m。上一页下一页返回任务4.5动力学分析2)变力在曲线运动中的功设质点M在变力作用下沿曲线由M1移到M2，如图4一96所示，则变力在路程M1M2中所做的功为或

3)合力的功在任一路程中，作用于质点上合力的功等于各分力在同一路程中所做功的代数和。

4)几种常见力的功上一页下一页返回任务4.5动力学分析(1)重力的功:式中，h表示质点在始点位置与终点位置的高度差。若质点下降，重力的功为正;质点上升，重力的功为负。(2)弹性力的功:上式表明，弹性力的功等于弹簧的刚度系数h.与其始末位置变形的平方之差的乘积的一半。当初变形大于末变形时，弹性力的功为正，反之为负。上一页下一页返回任务4.5动力学分析(3)作用于定轴转动刚体上力矩的功:设定轴转动刚体上作用一常力矩M，则刚体转过φ角时力矩的功为当力矩与转角转向一致时，功为正值，反之为负。由于质点系的内力总是成对出现，且大小相等、方向相反。所以对于刚体而言，刚体内力的功的和等于零。在许多理想情况下，约束反力的功(或功之和)等于零，包括不可伸长的柔绳、光滑面约束、光滑铰链支座、中间铰链以及在固定面上作纯滚动的刚体。2.动能由物理学已经知道，所谓动能就是物体由于机械运动所具有的能量。上一页下一页返回任务4.5动力学分析1)质点的动能设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点在该瞬时的动能为2)质点系的动能质点系内各质点动能的总和为质点系的动能。刚体是不变质点系，由于刚体运动形式不同，其动能的计算公式也不同。现分述如下。刚体作平动时的动能:刚体平动时，其中各质点的瞬时速度都相同，设刚体质量为m，质心速度为vc，则平动刚体的动能上一页下一页返回任务4.5动力学分析刚体绕定轴转动时的动能:设刚体绕固定轴z转动，某瞬时的角速度为ω，转动惯量为Jz，则刚体的动能为此式表明:刚体绕定轴转动时的动能，等于刚体对定轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。刚体作平面运动时的动能:设作平面运动的刚体的质量为m，质心为C，角速度为ω，则刚体的动能