考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷24

考研数学二(一元函数微分学)模拟试

卷24

一、选择题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

f(^)-/(g)_1

lhim2--1

］、设一(一a).则在x=a处()

A、f(x)的导数存在，且「(a)#).

B、f(x)取得极大值.

C、f(x)取得极小值.

D、f(x)的导数不存在.

标准答案：B

知识点解析：利用赋值法求解.取f(x)—f(a)=—(x—a)2,显然满足题设条件，而

此时f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点x=a处取得极大值，故选B.

2、设f(x)具有二阶连续导数，且1T),则()

A、f⑴是f(x)的极大值.

B、f(l)是f(x)的极小值.

C、(l,f(l))是曲线f(x)的拐点坐标.

D、f⑴不是f(x)的极值,(l,f(l))也不是曲线f(x)的拐点坐标.

标准答案：B

/"(#)="-I):取/(%)=^(4-1)4

知识点解析：选取特殊f(x)满足：224则f(x)满

足题中条件，且f(x)在x=l处取极小值，而其余均不正确.故选B.

3、设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()

5/(x)

A、若’・号丁存在,则f(0)=0.

B、若I工存在，贝lJf(0)=0.

C、若…”存在，则广(0)存在.

D、若…”存在，则?(0)存在.

标准答案：D

知识点解析：本题主要考查的是可导的极限定义及连续与可导的关系.由于己知条

件中含有抽象函数，因此本题最简便的方法是用赋值法，可以选取符合题设条件的

特殊函数f(x)判断.取特殊函数f(x)=Ixl,贝IJIX但f(x)在x=0

不可导，故选D.

/(a)(A-a)<(7(x)dx<(6-a)加)+/8)nI

4、设f(x)在⑶b］可导人2,则()

A、f+(a)=O.

B、f+(a)>0.

C、f+(a)<0.

D、f+(a)<0.

标准答案：D

/*；(<!)=lim且工)-「/(°)w0

知识点解析：由导数定义及题设得"EM…，故选D.

/(0)=0/加&)•=2

5、设f(x)在［a,b］上二阶可导，且f(x)>0,则不等式71-C。©成立

的条件是()

A、f(x)>0,f,(x)<0.

B、f(x)<0,f,(x)>0.

C、r(x)>0,广(x)>0.

D、f(x)<0,f,(x)<0.

标准答案：c

知识点解析：不等式的几何意义是：矩形面积〈曲边梯形面积〈梯形面积，要使上

面不等式成立，需要过点(a,f(a))平行于X轴的直线在曲线广f(x)的下方，连接点

(a,f(a))和点(b,f(b))的直线在曲线y=f(x)的上方(如图2—

质.于是当「(x)>0,「(x)>0成立时，上述条件成立，故选C.

6、设f(x)=3x3+x2Ixl,则使2)(0)存在的最高阶数n为()

A、0.

B、1.

C、2.

D、3.

标准答案:C

知识点解析：由于3x3任意阶可导，本题实质上是考查分段函数x2IX|在x=0处

的最高阶导数的存在性,事实上，由14?,420可立即看出1^)在乂=()处

的二阶导数为零，三阶导数不存在，故选C.

7、设f(x)在(-8,+00)可导,x(#0,(xo,f(xo))是y=f(x)的拐点,则()

A、xo必是P(x)的驻点.

(一xo，—f(xo))必是y=-f(—x)的拐点.

C、(一xo，-f(一xo))必是y=-f(x)的拐点.

D、对任意x>xo与xVxo，y=f(x)的凸凹性相反.

标准答案：B

知识点解析：从几何上分析，y=f(x)与y=一f(~■x)的图形关于原点对称.x(#0,

(xo,f(xo))是y=f(x)的拐点,则(一xo，-f(xo))是y二一f(一x)的拐点.故选B.

8、设函数f(x)=Ix，—1|(p(x),其中(p(x)在x=l处连续，则(p⑴=0是f(x)在x=l

处可导的()

A、充分必要条件.

B、必要但非充分条件.

C、充分但非必要条件.

D、既非充分也非必要条件.

标准答案：A

"⑴芈=lim…臂

Ix-II-x-1

=1加=-3夕⑴=/：(1)

1-1-x-I

彳⑺二":】im，二

X-1«-I*X-1

=1加.-1)(..：+1)色9)-=3«(1)=/UD,

知识点解析：由于i・且由函数

f(x)在x=l处可导的充分必要条件为r(1尸年(1),可得一3<p⑴=3(p(l),即

<p(l)=O,故选A.

9、设函数f(x)在(一8,+00)上有定义，则下述命题中正确的是()

A、若f(x)在(一8,+8)上可导且单调增加,则对一切XW(—8,+00),都有f*(x)>

0.

B、若f(x)在点X0处取得极值，则r(xo)=O.

C、若L(xo)=O,则(xo,f(xo))是曲线y=f(x)的拐点坐标.

D、若r(xo)=O,P(xo尸Ofyxo)，O,则xo一定不是f(x)的极值点.

标准答案：D

知识点解析：若在(一8.+co)±f(X)>O,则一定有f(x)在(一oo,+8)上单调增加，

但可导函数f(x)在(一co,+oo)上单调增加，可能有P(x)X).例如f(x)=x3在(-8,

十⑼上单调增加，P(0)-0.故不选A.f(x)若在x()处取得极值，且r(xo)存在，则有

r(xo)=o,但当f(x)在X0处取得极值,在X0处不可导,就得不到r(xo)=o,例如

f(x)=IxI在xo=O处取得极小值，它在xo=O处不可导，故不选B.如果f(x)在X0

处二阶导数存在，且(xaf(xo))是曲线的拐点坐标，则F(xo)=O,反之不一定，例如

f(x)=x“在xo=O处「(0)=0,但f(x)在(一8,+8)没有拐点，故不选C.由此选D.

10、已知f(x)在x=0的其个邻域内连续，且

f(0)二二2

X—01-COSX则在点x=0处f(x)()

A、不可导.

B、可导且f(0)/).

C、取得极大值.

D、取得极小值.

标准答案：D

』-8-#，故极限条件等价邙2.从而

知识点解析：因当X-0时,

可取f(x)=x1显然满足撅设条件.而f(x)=x2在x=0处取得极小侑，故诜D.

11、设［0,4］区间上y=f(x)的导函数的图形如图2-1所示，则f(x)()

A、在［0,21单调上升且为凸的，在［2,4］单调下降且为凹的.

B、在［0,1］,［3,4］单调下降,在［1,3］单调上升,在［0,2］是凹的，［2,4］是凸

的.

C、在［0,1］,［3,4］单调下降,在［1,3］单调上升,在［0,2］是凸的，［2,4］是凹

的.

D、在［0,2］单调上升且为凹的，在［2,4］单调下降且为凸的.

标准答案：B

知识点解析：当x€(0,1)或(3,4)时r(x)V0,那么f(x)在［0,1］,［3,4］单调下

降.当x£(L3)时P(x)>0,那么f(x)在口,3］单调上升.又「(X)在［0,2］单调上

升，那么f(x)在［0,2］是凹的.r(x)在［2,4］单调下降,那么f(x)在［2,4］是凸

的.故选B.

12、设f(x)可导，F(x)=f(x)(l+IsinxI),则f(0)=0是.F(x)在x=0处可导的()

A、充分必要条件.

B、充分条件但非必要条件.

C、必要条件但非充分条件.

D、既非充分条件也非必要条件.

标准答案：A

知识点解析：令(p(x尸f(x)IsinxI,显然(p(0尸0.由于

，(0)=linl-y(9.)==］而四皿=/(0),

夕,（0）二lim必立二"二1而假■包⑹

▼'XwX-0Xf-X…”而由(p(x)

在x=0处可导的充分必要条件是(p+，(0)与(p+，(0)都存在且相等可知，若f(0)=0,贝I」

必有Q+'(0)=(p+'(0);若(p+'(0尸一f(0),即有f(0)=—f(0),从而f(0)=0.因此f(0)=0

是(p(x)在x=0处可导的充分必要条件，也是F(x)在x=0处可导的充分必要条件.故

选A.

y=—+ln(1♦<?)

13、曲线.“渐近线的条数为()

A、0.

B、1.

C、2.

D、3.

标准答案：D

知识点解析：本题的解题思路是，先利用曲线渐近线的求解公式求出水平渐近线，

垂直渐近线和斜渐近线，然后再分别判

断.

因为limy=lim［―+In(1+eT)=+»,limy=limf—+ln(I+e*)=0,

1X-1X所

因为]imy=lim[—fln(I+e*)]=8

*-X>i-«0Lx

以y=0是曲线的水平渐近线;所以x=0是

曲线的垂直渐近线；

|e"

-+ln(1+c*).rxi上,

又因为lim上=lim--------------------=0.+lim--------=lim-=1

“一x*一••X，一X*一♦*

1

且lim(y-x)=lim[J-+ln(I+e)-x]=0,

所以y=x是曲线的斜渐近线.故选D.

广(0)=0Jim5^y=I,

14、设f(x)有二阶连续导数，且I1x1则()

A、f(0)是f(x)的极大值.

B、f(0)是f(x)的极小值.

C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.

D、f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线产f(x)的拐点.

标准答案：B

../"(%).

lim14-；■-=I

知识点解析：根据极限的保号性，由…可知，存在x=0的某邻域

UR(0),使对任意xEUMO)，都有，。即P(x)>0.从而函数F(x)在该邻域内

单调增加.于是当xvo时，有r(x)vf(0)=0；当x>o时f(x)>r(o)=o,由极值的

第一判定定理可知f(x)在x=0处取得极小值.故选B.

15、曲线,3+4()

A、既有垂直又有水平与斜渐近线.

B、仅有垂直渐近线.

C、只有垂直与水平渐近线.

D、只有垂直与斜渐近线.

标准答案：A

知识点解析：函数y的定义域为(一8,—3)U[0,+oo),且只有间断点x=-3,又

.lim>=+8

,所以x二-3是曲线的垂直渐近线.x>0时,

X

.3+x

1+x.---

VS-

则limy=1-义=-4•，即厂-;是曲线的水平渐近线(#-*+8).

4-3时,y=117(1于是

lim工=闻米-(j启)卜-2

%(7+2%)［则［1—(1-后曰］

35

啊…卓+T=2

因

此丁y=-2x+2-是曲线的斜渐近线(x一一8).故选A.

16、设函数f(x)满足关系式产(x)+［r(x)?=x,且F(D尸0,则()

A、f(0)是f(x)的极大值.

B、f(0)是f(x)的极小值.

C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.

D、f(O)不足f(x)的极值，(O,f(O))也不是曲线y=f(x)的拐点.

标准答案：C

知识点解析：在题设等式两端对x求导,得广(x)+2「(x)「(x尸1.令x=0,可得

「，(0)=1(因由上式可推得「＜x)连续).又广(0)=0,由拐点的充分条件可知，

(0,f(0))是曲线产f(x)的拐点.故选C.

।2x

：/(x)=arctanx--arccos----r(xN1)

21+x

17、设则()

A、f(x)在［1,+8)单调增加.

B、f(x)在［1,+8)单调减少.

C、f(x)在［1,十8)为常数4.

D、f(x)在［1,+8)为常数0.

标准答案：C

知识点解析：按选项要求，先求

(］♦/)(［7)

=0(%>1),

f(x).1+X2(x2-1)(1+x2)2又f(x)在［1,

+⑹连续，则'⑷=常数故选C.

18、设在［0,1］上『(x)>o,则r(o)r(i)f(i)—f(o)或f(o)—f⑴的大小顺序是()

A、f(l)>f(0)>f(l)-f(0).

B、f(l)>f(l)—f(0)>f(0).

C、f(l)-f(0)>f(l)>f(0).

D、f(l)>f(0)—f(l)>f(0).

标准答案：B

知识点解析：由已知P(x)>0,xG［0,1］,所以函数P(x)在该区间内单调增加，又

由拉格朗日定理,可得f(i)一f(o)=p0,乐(0,1).因此有r(o)vr(9vr(i),即

r(o)vf⑴一f(o)vf(i).故选B.

74+#,x>0,

0,z=0fF(x)=f/(Odr,

19、或1x<0,则()

A、F(x)在x=0点不连续.

B、F(x)在x=0点不可导.

C、F(x)在x=0点可导，F,(0)=f(0).

D、F(x)在x=0点可导,但F'(0)/f(0).

标准答案：B

知识点解析:不必求出F(x).利用已知结论判断，设Kx)在⑶b］连续,则

F(x)=JxoKf(t)dt在［a,b］可导，且F'(x)=f(x)(xW［a,b］),xo是［a,b］某定

点.

F(x)=f斤T7小(X20),477在［0,+8)连续，那么F；(0)=4T7=2.

F(X)=f*>/\-<dt(xwo),yi-1在(-o©,0］连续，则(0)=yi-x=1.

刀i>0

由于F+YO)HF「(O),所以F(x)在x=0不可导，故选B.

20、设函数f(x)在(一co,+8)存在二阶导数，且f(x)=f(—x),当xVO时有r(x)v

0,f,(x)>0,则当x>0时，有()

A、f(x)<0,f,(x)>0.

B、f(x)>0,f,(x)<0.

C、f(x)>0,广(x)>0.

D、f(x)<0,f,(x)<0.

标准答案：C

知识点解析：由f(x)=f(一x)可知,f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数

的导数是偶函数，即F(x)为奇函数「(X)为偶函数，因此当XV0时，有r(x)v

0,fXx)>0,则当x>0时，有r(x)>0,『(x)>0.故选C.

二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

y=

21、曲线石的斜渐近线方程为.

3

V=“+爹

标准答案：

知识点解析：结合斜渐近线方程公式.因为

f(X)].(1+幻一]

a=rlim八4=lim2-------f—=I

-x«-*-

b=lim[f(x)-ax]=lim(1+工=

62

故所求斜渐近线方程为7=#♦看

x2arctan—,x<0,________d,,,

p(x)=4%)可导,则2九M")]

2

22、设ln(1+x),4N0,

fx2arctan-j•(2xarctan——FT?),x<0,

广(ln(l+/))•占，

420

标准答案:1+JC

知识点解析：先考查(p(x)的可导性并求导.(p(x)在x=0处的左导数为

..小、x2arctan-

lim平⑴二幽2=lim-------------=0.

X-0-x-4)-X(p(x)在x=0处的右导数为

，1.ln(l+/)

夕.(c0)、吧、丁1.二2x=0,

1°所以

当4>0时,<(父)=(ln(l+/))'=]+/；

当"<0时，q'(x)=(x2arctan—)'=2jrarctan-------j-

(p5(0)=0.xx1+x因此

》"(%))=/'(夕⑴)“(与)

f/^x2arctan(2xarcUn+-1,(无<。)，

L(ln(l+/))•舌?，(xN°).

x+4sinx

Y=--------------

23、曲线5#-2co故的水平渐近线方程为

y=­1

标准答案：5

知识点解析：直接利用曲线的水平渐近线的定义求解,由于

[+4sinx

一丁因此曲线的水平渐近线为

24、曲线7=工:彳的斜渐近线方程为.

标准答案：9=%十

知识点解析：设所求斜渐近线方程为丫=a*+卜因为

彳=-

—-ax]=—lim2九(，2x：.l[)"4T所以所求斜渐近线方程y为=42^"44',

25、设尸§布4*,贝IJ丫⑺=.

LAID_2""COS(2#+苧)+4-，4”1cos(4#+等)

标准答案：I2I2\2/

sin4x=(L二；91孑)=-i-(1-2cos2x+cos22x)

---5cos2K+-g-(1+coMx).

知识点解析：先将原式分解为

再归纳余弦函数的”阶导数，即（co皿），=_Qsiruw=acos（ax+y）

cosax)”=-a\in(az+学)=a~cos(ax+IT),

(COSOX)⑺=(TCOS(QX+詈),

因此得y⑺=-J(ccs2x)《n)+J(cos4x)⑺

4O

1.-i(Anir\

=-21cos(2x+詈)+y•4acos(4xJ.

26、曲线婷+尸=’在点（W°）处的切线方程为

标准答案：7

处的切线的斜率为.二

知识点解析:在点在曲线方程两端分

24

铲/=0,

y=

别对x求导,得因此，所求的切线方程

），即y

为

x+9

y=------

27、曲线x+5的过原点的切线是

标准答案：x+25y=0与K+y=O

知识点解析：显然原点(0,0)不在曲线上，首先需求出切点坐

设切点为卜。%+9卜则

因此切线方程为

加+94、

y_------z=----------或7t(4—x<)),

标.“。+5(与+5)把(0,0)代入

=/=-1;

1«-3

,，1

«2=r=一记

上式，得xo=—3或xo=-15.则斜率分别为J*”所以切线方

程为x+25y=0与x+y=0.

28、曲线y=lnx上与直线x+y=l垂直的切线方程为.

标准答案：y=x—1

V，-(InrV-----!___1

知识点解析：由题十可知，所求切线的斜率为1.由，-‘，-%’得

x=l,则切点为(1,0),故所求的切线方程为y―0=1.(x—*1),即y=x-l.

29、曲线戈y=l在点D(l,1)处的曲率圆方程是_____________

标准答案:(x-2)2+(y-2)2=2

知识点解析：由题干可知，

则y=-i,r|=2.

那么。点处的曲率

则°=5=6

A

设D点曲率中心的坐标为(叫。)，那么

11

a-匕…*

。=("亨子,「1+41=2.

因此.所求方程为(4-2)2+(7-2)2=2.

三、解答题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

30、设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导致，且f(0)『(0)#),当h-0时,

若af(h)+bf(2h)-f(0)=o(h),试求a,b的值.

标涉答案：由题设条件知，

+bf(2h)-/(0)］=(a+6-1)/(0).

由于/(0)#0,故必有

a+/>—1=0.

又由洛必达法则

叭力)+爪2A)—/(0)

Ih

二］加丈㈤+2”,(2-

*-o1

=(a+26)/70)=0.

因/'(0)#0,则有a+26=0.

综上，得。=2,6=-1.

知识点解析：暂无解析

°\n2b—ln2a>A-(b-a)

31、设eVaVbVez,证明e2

对函数y=Hx在一,6］上应用拉格朗日中值定理，得

ln*6-ln:a=b-a),a<f<b.

设夕a)，则，a)=■—

当"。时“(】)<0,所以夕a)单调减少，从而MB>少(1),即

2

二ln，£、InIe・一2■

g£>e2e~2f

}n2b-ln2a>±(b-a)

故

e*

标准答案：

知识点解析：暂无解析

已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导,且f(O)=O,f(l)=l.证明：

32、存在。e(0,1),使得f⑴二1一。

标准答案：令F(x)=f(x)—1+x,则F(x)在［0,1］上连续，且F(0)=—IVO,F(l)=l

>0,于是由介值定理知，存在乐(是1),使得Fq=0,即熊)=1一4.

知识点解析：暂无解析

33、存在两个不同的点”，乐(0,1),使得r(n)r@=i.

标准答案：在［0,可和也，1］上对f(x)分别应用拉格朗口中值定理，知存在两个不同

的点］］£(0,◎，氏&1),使得

、/(£)-/⑼J(l-

/(耳)-(一0,/(,)-1_§,

于是

/，("(,)=限玲=1^,人/

知识点解析：暂无解析

34、设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大

值f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在乐(a,b),使得产©尸g''《).

标准答案：构造辅助函数F(x)=f(x)—g(x),由题设有F(A尸F(B)=0.又f(x),g(x)

在(a,b)内具有相等的最大值，不妨设存在X15X2，xi，X26(a,b)使得

/(阳)=M=max/(x),g(x2)=M=maxg(x).

la-61右X］=X2，令C=X］,则

F(C)=0.若X］Vx2，因F(xi)=g(x。一g(xi)N0,F(x1)=f(x2)—g(X2)《)，从而存在

cefxi,x2lc(a,b),使F(C)=0.在区间［a,c］,［c,b］上分别利用罗尔定理知，存在

^iG(a,c),及W(c,b),使得F，©)=F(g)=0.再对F，(x)在区间因,及］上应用罗尔定

理，知存在乐©,§2)c(a,b),有1(9=0,即r’《尸g'熊).

知识点解析：暂无解析

35、(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，则

存在美(a,b),使得f(b)・f(a尸/@(b—a).(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续,在

(0,3)(B>0)内可导,且煦/(”)则f+，(0)存在，且f+，(0)=A.

<p(x)=/(x)-/(a)~a)

标准答案：(1)作辅助函数