甘肃省陇南市武都区部分学校2026届高三下学期5月模拟数学试卷

甘肃省陇南市武都区部分学校2026届高三下学期5月模拟数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知集合,,则集合的真子集的个数为(

)A.8 B.7 C.4 D.3答案：D解析：由解得,即,故,则集合的真子集的个数为.2．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知抛物线:（）的焦点到其准线的距离为3,是C上一点,O是坐标原点,则(

)A. B.6 C. D.3答案：A解析：由抛物线（）的焦点到其准线的距离为3,得,则由是C上一点,得,点,所以.3．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知函数的部分图象如图,则的解析式可能为:(

)A. B.C. D.答案：A解析：由图可知,关于原点中心对称,且不是R上的单调函数;对于B,是偶函数,不符合,排除B;对于C,的定义域不含,不符合,排除C;对于D,由复合函数的单调性知是R单调递增函数,排除D;所以A正确.4．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知无穷等比数列的公比为q,则“且”是“数列为递增数列”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：由题意可得,且,则,且单调递增,则数列为递增数列,充分性成立;若数列为递增数列,,则或,必要性不成立;“且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.5．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知等差数列的前n项和为,且,则(

)A.0 B.10 C.15 D.30答案：C解析：数列是等差数列,,所以,则.故选C.6．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]在棱长均为2的正三棱柱中,M是棱的中点,N是侧面内任意一点(包含边界),则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是(

)A. B. C. D.答案：D解析：如图,正三棱柱棱长均为2,取的中点为O,则平面,当点N是靠近点A的四等分点时,,则平面,此时直线与平面所成角的正弦值最大为1;当点N与重合时,此时最长,即,因为正三棱柱中,M是棱的中点,所以点M到平面的距离为,此时直线(即)与平面所成角的正弦值最小,为,所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.故选:D.7．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]正n边形有n条边,它们对应的向量依次为,则这n个向量(

)A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等答案：D解析：正n边形n条边相等,故这n个向量的模相等.故选:D.8．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心,则(

)A. B. C. D.答案：A解析：,时,,因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心,故,解得.故选:A二、多项选择题9．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]天道酬勤,主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测,每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况,若某内容每道题失分都不超过7分,则认定该内容为“复习效果达标内容”,已知四个内容失分情况的相关数据信息如下,则一定为“复习效果达标内容”的是(

)A.函数内容的10道题失分记录的中位数为3,极差为4B.三角内容的10道题失分记录的平均数为2,众数为2C.数列内容的10道题失分记录的平均数为3,方差为2.4D.立几内容的10道题失分记录的平均数为3,第65百分位数为6答案：AC解析：对于选项A,假设函数内容有一道题失分大于等于8分,则由极差为4可知,函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4,则失分记录的中位数不可能为3,与题设中位数为3矛盾,故假设不成立,所以函数内容每一道题失分都不超过7分,故函数内容为“复习效果达标内容”,所以A正确;对于选项B,设三角内容这10道题失分记录为0,0,1,1,2,2,2,2,8,满足题设失分记录的平均数为2,众数为2的条件,由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”,所以B错误;对于选项C,设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为,则由平均数为3,方差为2.4可知,,从而,若,则,所以,故数列内容为“复习效果达标内容”,所以C正确;对于选项D,设立几内容这10道题失分记录为0,0,0,0,0,0,6,6,6,12,满足题设平均数为3,第65百分位数为6的条件,由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”,所以D错误;故选:AC10．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知为等比数列,其前n项和为,公比为q,则下列说法正确的是(

)A.若,,则B.若,则C.若,则D.若,,则答案：BCD解析：对于A,为等比数列,,则,,故A错误;对于B,因为等比数列,则,又,因,故,即B正确;对于C,当时,因,,所以,故C正确;对于D,由,得,则,所以,又,即,又因为,即,因,则得,故D正确.11．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知双曲线（）的上、下焦点分别为,,下顶点为A,P是双曲线C上第一象限内的动点.当时,的面积为3,则下列说法正确的是(

)A.双曲线的离心率B.双曲线的渐近线方程为C.若过点P作双曲线C的切线与渐近线交于M,N两点,则的最小值为4D.答案：AD解析：对于A:由双曲线定义得,平方得,在中由余弦定理得,,代入,整理得,即,的面积,得,即,又因为,所以,则离心率,A正确;对于选项B:焦点在y轴的双曲线渐近线为,得,B错误;对于选项D:,设,满足,设,,则,代入,化简得,设,同理得,且,故,即,D正确;对于选项C:设点为双曲线C上任意一点,过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M,N两点,设,因为,则.又可得双曲线渐近线方程为:,将渐近线方程与直线方程联立,可得或,则,.则,则的最小值不是4,C选项错误.三、填空题12．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位,）,则z的虚部为__________.答案：解析：由题意得.复数z是纯虚数,,,的虚部为1.13．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]现有5名同学排成一排,其中甲不站最左边,则有________________种站法（用数字作答）.答案：96解析：先安排最左边的位置,有4种方法,然后剩余的4人在四个位置上排列,有种,故共有种.14．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知是函数的一个零点,且,则的最小值为________.答案：解析：因为是的一个零点,,将看作直线上一个点的坐标,则原题就变为:求当时,点到原点的距离的平方的最小值,原点到直线的距离为,,令,,当时,,是增函数,在时,;故答案为:.四、解答题15．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]在中,角所对的边分别为,且.（1）求C;（2）若,求的面积.答案：（1）（2）解析：（1）,利用正弦定理:,整理得:,由于,所以,因为,所以;（2）,,,即,解得（负值已舍去）,则,.16．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]如图所示,由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线,若与存在共同焦点,由图形特点,它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫,这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地,若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列,则称其为“等差椭圆”.（1）求“等差椭圆”的离心率;（2）在“七星瓢虫曲线”中,若是“等差椭圆”,且.（ⅰ）求与和都相切的直线的方程;（ⅱ）直线（）,且l与相交所得弦的中点为M,与相交所得弦的中点为N,证明:直线OM,ON（O为原点）的斜率之积为定值.答案：（1）;（2）（i）或;（ii）证明见解析.解析：（1）设椭圆的半焦距为c,因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列,所以,又,所以,则,两边同时除以,得,解得（舍去）.所以“等差椭圆”的离心率为.（2）（ⅰ）若是“等差椭圆”,且,则由,得,则,,解得.故,.易知与和都相切的直线斜率存在且不为0,设方程为:.联立消去y得,则,得;①联立消去得,则,得,②联立①②,解得或故和都相切的直线方程为或.（ⅱ）证明:设l与相交于,,线段CD的中点,则,,两式相减,得,所以,即,由已知,,所以,即,则联立得,又,则,故,所以中点的坐标为,可得,所以,为N定值.17．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]如图,三棱台中,侧面四边形为等腰梯形,底面三角形为正三角形,且,设D为棱上的点.（1）若D为棱的中点,求证;（2）若三棱台两底面间的距离为,且侧面底面,试探究是否存在点D,使直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.答案：（1）证明见解析（2）存在,D与点重合解析：（1）如图:取中点O,连接,因为四边形为等腰梯形,且D为中点,所以.又为正三角形,所以,平面,所以平面,又平面,所以.（2）解法1:延长三棱台侧棱交于点K,补成三棱锥,取中点M,中点N,连接;侧面为等腰梯形,故;侧面底面,交线为,平面,因此平面;已知两底面距离为,即;由相似比,得;底面为正三角形,,则,;在中,;在中,;设点到平面（即平面）的距离,由,即,,,代入得:,解得;设点到平面的距离,由相似比,得;设,点D到平面的距离,由相似性:,得,其中;作于G,则,,,由余弦定理:,,设直线与平面所成角为,则,代入得:,化简得,解得或（舍去）,即点D与重合,所以存在点D,当D与点重合时,直线与平面所成角的正弦值为.解法2:设中点为E,连接,则,又侧面底面,侧面底面侧面,所以底面,又底面,所以,又,所以两两垂直,故可以O为原点,所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.因为三棱台两底面间的距离为,即,又三角形为正三角形,且,则,设,则,设平面的法向量为,则,可取设直线与平面所成的角为,则,由,所以,故或（因为,故舍去）,此时与点重合,所以存在点D,当D与点重合时,直线与平面所成角的正弦值为.18．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]某AI实验室有6个不同的团队,需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行,每个团队只能承担一个项目,且每个项目至少交给一个团队.（1）若从中选出5个团队去,共有多少种不同的安排方案?（2）若6个团队都同时参与调研,且A、B两个团队同一个项目,共有多少种不同的安排方案?答案：（1）1440（2）240解析：（1）先从6个团队中选5个,有种选法,接下来将5个团队分配到4种项目,且每个项目至少1个团队负责,则5个团队分为:2,1,1,1四组,有种方法,再将这四组对应4种项目进行全排列,由分步计数原理,可得不同的安排方案有种.（2）先将A和B两个团队视为一个整体（一个元素）,此时相当于5个元素分配到4种项目,每个项目至少有一个团队,即分成元素个数分别为“2,1,1,1”四组,则有种方法,再将这四组对应4种项目进行全排列,有种方法,所以共有种不同的安排方案.19．[2026届·甘肃陇南·模拟考试联考]已知函数,直线与曲线相切.（1）求a的值;（2）若对任意,存在,使得不等式成立,求b的最大值;（3）若,求证:对任意,有.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：（1）