高一数学第三次月考卷01（全解全析）（人教A版）

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据复数的模计算公式和复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】.所以.2．在中，内角所对的边分别为，若，则（

）A． B． C． D．或【答案】D【详解】由，，则，故，由正弦定理，可得，又，则，故或，若，有，符合题意；若，有，符合题意；综上：或.3．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格：直径/mm464748495051525354频数58121520181264由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定共有个数小于等于，再结合百分位数定义求结论.【详解】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个，且，所以这个零件的直径的第百分位数为．4．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（

）A．， B．，C．，， D．，，，【答案】C【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D．【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误；对于B：由，，则可能有，或，故B错误；对于C：由，，，则，故C正确；

对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误．故选：C5．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（

）A．20 B．24 C． D．【答案】B【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积.【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为，其中，故，所以，又，由勾股定理得，其中，由勾股定理得，故梯形的面积为，其侧面积为.故选：B6．在中，，，设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过向量的线性运算，将目标向量用基底表示，再利用平面向量基本定理建立方程组求解参数，进而得到结果.【详解】由，得为中点，故.由，得，故.将、代入，得，整理得.由与不共线，得，解得，，故.7．已知球O是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心O到平面ABC的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正三棱锥的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD，显然球心O在直线PM上，由可得外接球半径，从而得解.【详解】设正三棱锥的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD，显然球心O在直线PM上，设球O的半径为R，因为，所以球心O到底面ABC的距离为，，由，得，，所以球心O到平面ABC的距离为．故选：A8．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（

）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值.【详解】取中点为，由，因为，所以，若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，,若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界），此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立，因为，所以，故的最大值为，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（

）A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为【答案】AB【分析】根据平均数，方差，标准差，极差的定义及性质可得答案.【详解】因为一组大小不等的数据的平均数为，而，所以数据的平均数为，所以A正确；数据的方差为，由方差的性质可得数据的方差为，所以B正确；标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据的标准差为，所以C错误；极差为最大值减最小值，所以原数据极差，新数据的极差应为，所以D错误.10．已知为复数，下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若是方程的两根，则【答案】AD【分析】设，，应用复数的模的计算公式，复数的乘法运算法则判断A；取，，代入检验判断B；取，判断C；由方程复数根的性质、韦达定理判断D.【详解】对于A选项，设，，，所以所以，A选项正确；对于B选项，不妨取，，则，由，得，显然不成立，故B选项错误；对于C选项，若，不妨取，，此时，但不成立，故C选项错误；对于D选项，若是方程的两根，则根据韦达定理可知，则，故D选项正确．11．已知正方体的棱长为2，平面和平面与体对角线分别交于点，，下列说法正确的有（

）A．平面和平面都垂直B．，是线段的三等分点C．异面直线与所成的角为D．为中点，动点，则最小值为【答案】ABD【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A的真假；利用体积法求的长度可判断B的真假；作出异面直线所成的角，求角的大小，可判断C的真假；将空间问题转化为平面问题，利用两点之间线段最短，可判断D的真假.【详解】对A：如图，

连接，因为底面为正方形，所以，因为为正方体，所以平面，平面，所以，又平面，，所以平面.又平面，所以，同理可得.因为平面，，所以平面.同理，平面，故A正确；对B：由A选项可知，平面，由，又，，所以.又，所以，所以为的三等分点.同理也是的三等分点.故B正确；对C：因为，所以为异面直线与所成的角.因为为等边三角形，所以，所以C错误；对D：如图，

将平面展开，与平面在同一平面上，则当点三点共线时，的值最小，为，故D正确.故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______.【答案】【分析】利用斜二测画法画出原图，求出，即可求解.【详解】如图，运用斜二测画法画出原图，原图为平行四边形.由，得，所以，所以平行四边形的面积为.13．已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________.【答案】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】，因此是直角三角形，如下图所示：过作，垂足为，因为，所以，又因为为的中点，所以为的中点，所以，所以向量在向量上的投影向量为.14．落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米．【答案】【分析】设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.【详解】设，因为，，则，又，，所以，，在中，，即①，在中，，即②，因为，所以由①②两式相加可得：，解得：，则.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量，且与向量共线.(1)求的值；(2)若与垂直，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量线性运算坐标表示公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】（1）.因为与共线，所以，解得；（2）由（1）知，所以，由与垂直，得，所以，解得.16．（15分）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计：女同学成绩频数分布表成绩值区间合计频数34102120男同学成绩频率分布直方图(1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小；(3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）.参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则.【答案】(1)(2)平均数小于中位数(3)【分析】（1）利用频率分布表的性质求解平均数即可.（2）利用频率分布直方图的性质求解平均数和中位数，再比较大小即可.（3）先求出样本平均数，再结合样本方差公式求解方差即可.【详解】（1）由题意得.（2）因为小长方形面积和为1，所以，解得，设平均数为，中位数为，由题意得，，因为，所以中位数在中，由中位数性质得，解得，而，可得中位数大于平均数.（3）因为男同学与女同学的人数之比为，且女生有20人，所以男生有人，由题意得，则样本方差为.17．（15分）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且.(1)证明：平面.(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论；（2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离.【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF，因为四边形是正方形，，所以，，因为四边形是正方形，，所以.因为，所以，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为在四棱台中，两底面均为正方形，所以，所以，所以，所以，又，设点到平面的距离为h，由等体积法得，即，解得，所以点到平面的距离为.18．（17分）在中，角所对的边分别是，且.(1)求；(2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；(3)若是的角平分线，，，求的长.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得；（2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可；（3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可.【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故；（2）解：因为是边上靠近的三等分点，所以，所以，又因为，，，所以，化简得，即，解得或（舍去），所以；（3）解：已知平分，且，故，由得；将，代入得，解得∵∴19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.

(1)求证：平面平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)当时，求二面角的正切值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先证明，继而根据面面垂直的性质推出平面，可得，再结合线面以及面面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）利用等体积法求出D到平面的距离，再根据线面角的定义即可额求得答案；（3）根据二面角定义作出二面角的平面角，解三角形求出相关线段长，即可推出二面角平面角的正切值的表达式，