第1章 相交线与平行线 锯齿模型专项练习 -2025-2026学年浙教版数学七年级下册

第1章相交线与平行线锯齿模型专项练习—2025-2026学年浙教版数学七年级下册一、选择题1．（2021七下·平湖期末）如图，已知AB//CD，则A．∠F+∠E−∠A−∠C=180° C．∠F+∠E−∠A+∠C=360° 2．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为()A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°3．如图，已知：AB∥EF，∠B=∠E，求证：BC∥DE．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（）A．延长BC交FE的延长线于点GB．连接BEC．分别作∠BCD，∠CDE的平分线CG，DHD．过点C作CG∥AB（点G在点C左侧），过点D作DH∥EF（点H在点D左侧）4．（2024七下·赤坎期中）如图，AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β−∠γ=90° D．∠β+∠γ−∠α=90°5．（2024七下·湖北期中）如图，AB//EF，设∠C=90°，那么x、y和z的关系是（）A．y=x+z B．x+y−z=90° C．x+y+z=180° D．y+z−x=90°6．（2023七下·南部期中）如图，AB∥EF，∠C=90°，则α，β，γ的关系是（）A．α+β−γ=90° B．β+γ−α=90°C．α+β+γ=180° D．β=α+γ二、填空题7．（2024七下·慈溪期中）如图，已知AB∥CD，点E,F分别在AB,CD上，点G,H在两条平行线AB,CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若8．（2024七下·慈溪期中）如图，已知AB∥CD，点E,F分别在AB,CD上，点G,H在两条平行线AB,CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH=84°，∠HFD=20°，则∠M＝．9．如图，AM∥EF，点B，C，D在平行线内部，连接AB，BC，CD，DE，若∠A+∠B+∠D=180°，则2∠A+∠C+∠E的度数为.10．（2023七下·名山期末）如图，AB∥EF，∠C=90°，则α，β和γ的数量关系是．三、解答题11．（2022七下·北仑期中）（1）如图1，l1∥l2，若∠P＝65°，计算并直接写出∠A+∠B的大小．（2）如图2，在图1的基础上，将直线PB变成折线PQB，请证明：∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°．（3）如图3，在图2的基础上，继续将直线BQ变成折线BMQ．请你写出一条关于∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的数量关系．（无需证明直接写出）12．（1）如图1，AB∥CD，试问∠2与∠1＋∠3的关系是什么？并说明理由；（2）如图2，AB∥CD，试问∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的关系是什么？请直接写出结论；（3）如图3，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的关系是什么？请直接写出结论.13．（2024七下·东西湖期中）AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上；点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=80°.（1）如图1，①若∠OFC=20°，求∠AEO的度数；②若∠OFC=α，请你直接写出∠OFC+∠AEO=；（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，求∠EMN−∠FNM的值.（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=80°，直接写出m的值.四、实践探究题14．（2024七下·新兴期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线AB∥CD，直线AC是直线AB，CD的第三条截线，AK，CK分别是∠BAC，∠DCA的平分线，并且相交于点K．问题解决：（1）∠BAC，∠DCA的平分线AK，CK所夹的∠K的度数为______；问题探究：（2）如图2，∠BAK，∠DCK的平分线相交于点K1，请写出∠AK1拓展延伸：（3）在图3中作∠BAK1，∠DCK1的平分线相交于点K，作∠BAK2，∠DCK2的平分线相交于点K315．（2024七下·廊坊期中）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于度；②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于度；③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系并选择其中一个证明．五、阅读理解题16．（2024七下·高州期末）【阅读探究】如图1，已知AB//CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM=45°，∠CFM=25°，求∠EMF的度数．

解：过点M作MN//AB，

因为AB//CD，

所以MN//CD，

所以∠EMN=∠AEM=45°，

∠FMN=∠CFM=25°，

所以∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°，

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

【方法运用】如图2，已知直线m//n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB．（1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系．（3）【应用拓展】

问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图4所示的样子，并提出了一个问题：

在图4中，AB//CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求∠BPQ的度数．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：过点E、F作EG∥AB，FH∥AB，∵AB//CD，

∴AB∥EG∥FH∥CD，

∴∠A=∠AEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠C=∠HFC，

∴∠EFC-∠CFH+∠AEF-∠AEG=180°，即∠EFC-∠C+∠AEF-∠A=180°，【分析】过点E、F作EG∥AB，FH∥AB，然后得到AB∥EG∥FH∥CD，即可得到∠A=∠AEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠C=∠HFC，进而可得∠EFC-∠CFH+∠AEF-∠AEG=180°即可解题.2．【答案】D【解析】【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG∥FH，∴∠1=∠AEG，∴∠GEF=∠2-∠1，∵EG∥FH，∴∠EFH=180°-∠GEF=180°-(∠2-∠1)=180°-∠2+∠1，∴∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-=∠3+∠2-∠2-180°，∵FH∥CD，∴∠4=∠3+∠2-∠1-180°，故选：D.【分析】先过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH，最后根据∠CFH=∠3-∠EFH，求得∠4即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：A．如图，

∵AB∥EF，

∴∠B=∠G，∵∠B=∠DEF，

∴∠G=∠DEF，

∴BC∥DE，故此选项不符合题意；B．如图，

∵AB∥EF，

∴∠ABE=∠FEB，∵∠ABC=∠FED，

∴∠CBE=∠DEB，

∴BC∥DE，故此选项不符合题意；C．如图，

由CG平分∠BCD，DH平分∠CDE，没有条件说明∠BCD与∠CDE相等，也没有条件说明CG与DH平行，∴此辅助线的作法不能说明BC与DE平行，故此选项符合题意；D．如图，延长BC交DH于点M，

∵AB∥EF，CG∥AB，DH∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF，

∴∠B=∠BMD，∠MDE=∠E，∵∠B=∠E，

∴∠BMD=∠MDE，

∴BC∥DE，故此选项不符合题意．

故答案为：C【分析】先根据平行线的性质得到∠B=∠G，等量代换得到∠G=∠DEF，再根据平行线的判定即可判断A；先根据平行线的性质得到∠ABE=∠FEB，等量代换得到∠CBE=∠DEB，进而根据平行线的判定即可判断B；根据角平分线的定义结合题意得到没有条件说明∠BCD与∠CDE相等，也没有条件说明CG与DH平行，故此辅助线的作法不能说明BC与DE平行，从而判断C；根据平行公理及其推论得到AB∥CG∥DH∥EF，进而根据平行线的性质得到AB∥CG∥DH∥EF，等量代换得到∠BMD=∠MDE，再根据平行线的判定结合题意即可判断D.4．【答案】C【解析】【解答】解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，

∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠α=∠BCM，∠MCD=∠NDC，∠NDE=∠γ，∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，又∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠α+∠β=90°+∠γ，即∠α+∠β−∠γ=90°．故选：C．【分析】本题主要考查了平行线的性质，由两直线平行⇔同位角相等⇔内错角相等⇔同旁内角互补，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，根据平行线的性质，得到∠α+∠β=∠BCD+∠γ，可求得答案．5．【答案】B【解析】【解答】解：延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，如图：

∵AB∥EF，

∴∠BGC=∠EHD.

∵∠BCD=90°，∠CDE=y，∠BCD是△BCG的外角，∠CDE是△DEH的外角，

∴∠BGC=90°－x，∠EHD=y－z.

∴90°－x=y－z.

∴x+y－z=90°.

故答案为：B.

【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由二直线平行，内错角相等，得∠BGC=∠EHD，利用三角形外角的性质得∠BGC=90°－x，∠EHD=y－z，代入即可得到结论.6．【答案】A【解析】【解答】如图，分别过点C、D作AB的平行线，即AB∥MN∥PQ∥EF，根据平行线的性质得，α=∠BCN，∵∠CDP+∠PDE=β，∴∠CDP=β−∠PDE，又∵∠BCN+∠NCD=90°，∴∠BCN+∠CDP=90°，即α+β−γ=90°，故选：A．【分析】本题考查了平行线的性质，分别过点C、D作AB的平行线，得到AB∥MN∥PQ∥EF，由平行线的性质，得到α=∠BCN，∠NCD=∠CDP，∠PDE=γ，根据∠BCN+∠NCD=90°，取得∠BCN+∠CDP=90°，结合7．【答案】32°【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，

∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，

∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，

∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，

∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，

∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，

∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，

∴∠AEM=12∠AEG，∠MHF=12∠FHG，

∴∠AEM+∠MHF=12∠AEG+12∠FHG=12∠AEG+∠FHG=12×104°=52°，

∵∠KHF=∠HFD=20°，

∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，

∵MP∥AB，AB∥KH，

8．【答案】32°【解析】【解答】过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，∵GN∥AB，∴∠AEG=∠EGN，∵GN∥KH，∴∠NGH=∠GHK，∵KH∥CD，∴∠HFD=∠KHF，∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，∴∠AEG+∠GHF=104°，∵EM和MH分别是∠AEC，∠CHF的角平分线，∴∠AEM+∠MHF=52°，∵∠HFD=∠KHF=20°，∴∠AEM+∠MHK=32°，∵MP∥AB∥KH，∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，∴∠EMP+∠PMH=32°，∴∠EMH=32°．故答案为：32°.【分析】过点G，M，H作GN∥AB,MP∥AB,KH∥AB，利用锯齿模型可得∠AEG+∠GHF=∠EGH+∠HFD=104∘,9．【答案】180°【解析】【解答】解：如图所示，分别延长CB交AM于点G、延长CD交EF于点H.

∵AM∥EF

∴∠C=∠1+∠2

∵∠ABC=∠1+∠A、∠CDE=∠2+∠E

∴∠ABC+∠CDE=∠A+∠1+∠2+∠E=∠A+∠C+∠E

∵∠A+∠ABC+∠CDE=180°

∴2∠A+∠C+∠E=∠A+∠A+∠C+∠E=∠A+∠B+∠D=180°

【分析】先分别延长CB和CD交AM、EF于点G、H，构造“拐角”模型，从而可推导出∠A+∠C+∠E等于∠B+∠D，再利用已知条件整体代入即可.10．【答案】∠α+∠β−∠γ=90°【解析】【解答】解：如图，分别过点C，D作CM∥AB,DN∥EF，

∵AB∥EF，∴CM∥AB∥DN∥EF，∴∠BCM=∠α,∠DCM=∠CDN,∠EDN=∠γ，∴∠β=∠CDN+∠EDN=∠CDN+∠γ①∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠α+∠DCM②由①-②得：∠β−∠BCD=∠γ−∠α，∵∠BCD=90°，∴∠α+∠β−∠γ=90°．故答案为：∠α+∠β−∠γ=90°．【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，分别过点C和D作CM∥AB,DN∥EF，得到CM∥AB∥DN∥EF，根据平行线的性质，得到∠BCM=∠α,∠DCM=∠CDN,∠EDN=∠γ，求得∠β=∠CDN+∠EDN=∠CDN+∠γ，∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠α+∠DCM，两式相减，得到∠β−∠BCD=∠γ−∠α，结合∠BCD=90°，即可求解.11．【答案】（1）解：过P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝65°，即∠A+∠B＝65°（2）证明：过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l1∥QF∥l2，

∴∠A=∠1，∠B=180°-∠4，∠Q=∠3+∠4=∠2+∠4∴∠A+∠B+∠Q＝∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）＝∠1+∠2+180°=∠APQ+180°，∴∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°（3）解：∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5【解析】【解答】解：（3）如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵l1∥l2，∴PC∥QD∥ME∥l1∥l2，∴∠1＝∠APC，∠QPC＝∠PQD，∠DQM＝∠EMQ，∠EMB＝∠5，∴∠2＝∠1+∠PQD，∠4＝∠5+∠DQM，∴∠2+∠4＝∠1+∠PQD+∠5+∠DQM＝∠1+∠3+∠5，∴∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5．

【分析】（1）可作辅助线PE与l1、l2平行，根据“两直线平行，内错角相等”，则求∠A+∠B的问题将转化为求∠1+∠2的问题，而∠1+∠2+∠P=360°且∠P已知，即可求出∠A+∠B；

（2）参照（1）的思维方式、过程，过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，则求∠A+∠B+∠Q的问题将转化为求∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）的问题，整理即可；

（3）参照（1）、（2）的思维方式，可得到类似模型的结论.12．【答案】（1）解：∠2与∠1＋∠3的关系是∠2＝∠1＋∠3.理由：过点E作EF∥AB，如图所示.∵AB∥EF，AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠BEF，∠3＝∠CEF，∴∠2＝∠1＋∠3.（2）解：由(1)可得，∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的关系是∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.（3）解：由(1)可得，∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的关系是∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.【解析】【分析】(1)根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质即可得到∠2与∠1+∠3的关系；(2)由(1)中的结论可以直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的关系；(3)由(1)中的结论可以直接写出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的关系.13．【答案】（1）解：①证明：过点О作OG∥AB，如图所示又∵AB∥CD.∴OG∥CD.又∵∠OFC=20°∴∠GOF=∠OFC=20°∴∠EOF=80°∴∠EOG=∠EOF-∠GOF=80°-20°=60°∵AB∥OG∴∠AEO=∠EOG=60°；

②80°（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图所示：∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO.∴∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y则∠AEO=180°-2x∴∠OFC+∠AEO=180°-2x+2y=80°∴x-y=50°∴MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD∴AB∥MK∥NH∥CD.∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，∴∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠HNM+∠HNF)=x+∠KMN-∠HNM-y=x-y=50°.故∠EMN-∠FNM的值为50°；（3）解：m=4【解析】【解答】解：（1）②过点О作OG∥AB，如图所示

∵OG∥AB，AB∥CD，

∴AB∥OG∥CD，

∴∠AEO=∠EOG，∠CFO=∠GOF，

∴∠AEO+∠CFO=∠EOG+∠GOF=∠EOF=80°；

故答案为：80°；

（3）如图，设直线FH与EG交于点K，FH与AB相交于点H，

∵AB∥CD，

∴∠AHF=∠HFD，

∵∠AHF=∠EKH+∠HEK=∠EKH+∠AEG，

∴∠HFD=∠EKH+∠AEG，

∵∠EKH=∠NMF-∠ENM=80°，

∴∠KFD=80°+∠AEG，即∠KFD-∠AEG=80°，

∵∠AEG=m∠OEG，FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，

∴∠CFO=180°-∠DFH-∠OFH=180°-∠HFD-1m∠HFD，∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+1m∠AEG，

∵∠BEO+∠DFO=280°，

∴∠AEO+∠CFO=80°，

∴∠AEG+1m∠AEG+180°-∠HFD-1m∠KFD=80°，即(1+1m)(∠KFD-∠AEG)=100°，

∴(1+1m)×80°=100°，

∴m=4.

【分析】（1）①过点О作OG∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得OG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠GOF=∠OFC=20°，由角的构成可算出∠EOG=60°，进而再根据二直线平行，内错角相等，得∠AEO=∠EOG=60°；

②过点О作OG∥AB，如图所示，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥OG∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AEO=∠EOG，∠CFO=∠GOF，然后根据角的和差及等量代换可得答案；

（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线定义设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，则∠AEO=180°-2x，结合（1）中②的结论可求出x-y=50°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥MK∥NH∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，然后根据角的和差及等量代换可推出∠EMN-∠FNM=x-y，从而即可得出答案；

（3）设直线FH与EG交于点K，FH与AB相交于点H，由二直线平行，内错角相等，得∠AHF=∠HFD，由三角形外角性质、并结合已知、对顶角相等及等量代换可推出∠HFD=∠EKH+∠AEG，∠KFD-∠AEG=80°，结合已知及（1）中②的结论可得∠AEG+1m14．【答案】解：（1）90°

（2）∠AK理由：如图，过点K1作K由（1）可得∠BAK+∠DCK=12∠BAC+∠ACD=90°，∠AKC=90°.

∵∠BAK，∴∠BAK1=12∠BAK∵AB∥CD，K1∴K1G∥CD，

∴∠BAK1+∠AK1G=180°，DCK1+∠CK1G=180°，

∴∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=(∠BAK1+DCK1)+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，

又∵∠AK1C+(∠AK1G+∠CK∴∠AK∴∠AK1C=12∠AKC；

（3）由（2），可知∠AK1C=12∠AKC．

同理，可得∠AK2C=1【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∵AK，CK分别是∠BAC，∠DCA的平分线，并且相交于点K，

∴∠CAK=12∠BAC,∠ACK=12∠ACD，

∴∠CAK+∠ACK=12∠BAC+12∠ACD=12∠BAC+∠ACD=90°，（2）过点K1作K1G∥AB，由（1）得∠BAK+∠DCK=12∠BAC+∠ACD=90°，∠AKC=90°，由角平分线的概念得∠BAK1=12∠BAK，∠DCK1=12∠DCK，于是可求得∠BAK1+∠DCK1的度数，平行公理和平行线的性质得∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK15．【答案】（1）解：①70；②80；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．理由：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．（2）解：根据题意得：点P在区域①时，如图所示：根据解析（1）中的结论可知：∠EPF=∠AEP+∠DFP，∵∠AEP=180°−∠PEB，∠DFP=180°−∠PFC，∴∠EPF=∠AEP+∠DFP=360°−(点P在区域②时，如图所示：根据解析（1）中的结论可知：∠EPF=∠PEB+∠PFC；点P在区域④时，如图所示：∵AB∥CD，∴∠MEB=∠EFC，∵∠PEM=∠EPF+∠PFE，∴∠EPF=∠PEM−∠PFE=∠PEB−∠MEB−(∠PFC−∠EFC)=∠PEB−∠PFC；点P在区域③时，如图所示：∵AB∥CD，∴∠PMB=∠PFC，∵∠PMB=∠EPF+∠PEB，∴∠EPF=∠PMB−∠PEB=∠PFC−∠PEB．【解析】【解答】解：（1）①如图，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

又∵∠A=30°，∠D=40°，

∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，

∴∠AED=∠1+∠2=70°，

故答案为：70；

②过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

又∵∠A=20°，∠D=60°，

∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，

∴∠AED=∠1+∠2=80°，

故答案为：80；【分析】（1）①过点E作EF∥