2026年高考数学全国一卷真题深度解读及答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年全国新高考一卷数学真题完全解读试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读试题分析2026年新高考全国I卷数学试题延续19题结构（单选8道、多选3道、填空3道、解答5道），总分150分。试卷整体难度适中偏上，以基础性考查为主轴，兼顾综合性、应用性和创新性。单选题前5题侧重基础概念与基本运算，第6题函数最值与第7题等差数列应用适当提升思维层次；第8题空间点集随机变量期望具有较强的抽象性。多选题第9题复数性质为基础题，第10题空间二面角与第11题直线与三圆位置关系综合程度较高，体现多选部分给分机制对知识盲区的零容忍。填空题第12题双曲线离心率、第13题三角函数性质为基础题，第14题数列最值问题需要构造与转化思想，区分度明显。解答题第15题立体几何证明与距离计算、第16题解三角形属于中档题；第17题概率分布列结合投篮情境，考查建模能力；第18题椭圆综合与第19题函数集合综合作为压轴题，计算量与思维量并重，尤其是第19题打破传统函数导数模式，融入集合论思想，探究性特征突出。整卷对数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养覆盖全面，第7题以宁夏一百零八塔为情境体现传统文化育人导向。试题亮点1.传统文化情境深度融合，凸显学科育人价值：第7题以宁夏青铜峡市一百零八塔为命题情境，将等差数列与历史文化建筑格局有机结合，要求学生在理解塔群排列规律的基础上运用等差数列前n项和与分组思想求解。这种以中华优秀传统文化为载体的命题方式，既考查了数学建模能力，又增强了文化认同感，体现数学学科的文化育人功能。2.知识交汇度显著提升，突出综合分析能力：第11题将直线与三个等圆的位置关系、弦长公式、距离公式及导数求最值熔于一炉；第19题以函数和集合为载体，打破函数与导数、集合论等模块壁垒，设置证明、存在性与单调性三问，层层递进。第10题空间几何中二面角与线面垂直的综合判断，同样需要跨知识点的灵活迁移。3.能力层级分明，强化思维品质考查：第8题空间点集随机变量期望问题，需要学生从抽象的64个空间点中提炼概率模型，利用对称性简化期望计算，对数学抽象素养要求极高；第14题数列最值问题需要构造三项块和，通过分类讨论与不等式放缩求得上界；第6题函数最值虽为单选题，但四种解法从特值验证到严格求导，为不同思维层次的学生提供了解题路径。命题趋势一、基础题送分到位但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：2026年新高考I卷单选前5题、填空前两题仍保持较低难度，但如第3题将集合运算与三角函数特殊角值结合，表面考查交集，实则要求准确记忆并运算特殊角的三角函数值；第4题切线方程并非简单套用公式，而是需要先正确求导再代入点斜式。未来命题将继续以基础题为基本盘，但会通过反套路设计和知识小交汇检验学生是否真正理解概念本质，而非仅靠题型记忆得分。二、解析几何与立体几何持续作为区分主战场：近三年新高考I卷均保持19题结构，解析几何与立体几何合计分值稳定在50分左右。2026年试卷中第10题二面角与空间位置关系、第11题直线与三圆位置关系、第12题双曲线离心率、第15题立体几何证明与距离、第18题椭圆综合，五道题共52分，占比超过三分之一。其中第11题和多选第10题的部分给分机制持续对知识盲区零容忍，预计这一结构将稳定延续。三、概率统计创新性与抽象性显著增强：第1题中位数为基础统计概念，第8题则以空间点集创设高度抽象的概率情境，要求学生从64个点的坐标特征中提炼对称性求期望；第17题以投篮练习为情境，考查离散型随机变量的分布列与条件概率证明。随着新课标对数学建模素养的强调，概率统计模块的分值和考查深度稳中有升，抽象化与创新化成为新趋势。四、压轴题探究性特征明显，函数与集合综合成为新方向：第19题以函数和集合为载体，设置求解析式、证明集合包含关系及单调性三问，第(2)(3)问需要学生自主构造辅助条件、利用反证法与条件递推。这种打破传统函数导数压轴模式、融入集合论与抽象代数思想的设计，体现了未来压轴题将继续淡化复杂计算、强化思维过程与探究能力考查的命题方向。考点细目表题号题型分值具体考点关键能力1单选5概率与统计→数据分析→中位数的计算数据分析2单选5平面向量与复数→平面向量→平面向量基本定理数学运算3单选5集合与常用逻辑用语→集合运算→交集运算与特殊角三角函数值数学运算4单选5函数与导数→导数的几何意义→求曲线的切线方程数学运算5单选5解析几何→抛物线→抛物线的标准方程与焦点坐标数学运算6单选5函数与导数→函数最值→利用导数研究函数最值逻辑推理、数学运算7单选5数列→等差数列→等差数列在实际情境中的应用数学建模、数学运算8单选5概率与统计→离散型随机变量→数学期望的计算数学抽象、数学运算9多选6平面向量与复数→复数→复数的模、共轭复数与运算数学运算10多选6立体几何→空间位置关系→二面角与线面垂直的综合直观想象、逻辑推理11多选6解析几何→圆→直线与圆的位置关系与弦长问题数学运算、逻辑推理12填空5解析几何→双曲线→双曲线的标准方程与离心率数学运算13填空5三角函数与解三角形→三角函数性质→三角函数的周期性、奇偶性与单调性数学运算、逻辑推理14填空5数列→等比数列→等比数列性质与数列最值问题逻辑推理、数学运算15解答13立体几何→空间向量→线面平行的证明与点到平面的距离直观想象、数学运算16解答15三角函数与解三角形→解三角形→余弦定理与解三角形综合应用数学运算17解答15概率与统计→离散型随机变量→分布列与条件概率数学建模、数据分析18解答17解析几何→椭圆→椭圆的标准方程与几何性质综合数学运算、逻辑推理19解答17函数与导数→函数性质→函数单调性、奇偶性与集合论综合数学抽象、逻辑推理考点模块占比分析基础知识模块（约11%，16分）：重点考查集合运算、平面向量基本定理与复数的基本性质，对应第2、3、9题。其中第3题将集合与三角函数特殊角值结合，体现基础知识的交汇考查，要求学生既准确掌握集合运算规则，又熟练记忆特殊角的三角函数值。函数与导数模块（约18%，27分）：重点考查导数的几何意义、函数最值及函数性质综合，对应第4、6、19题。第4题直接考查导数的几何意义求切线方程；第6题通过分类讨论研究含参函数最值；第19题作为压轴题，将函数与集合论深度融合，体现极强的抽象性与探究性。平面解析几何与立体几何模块（约35%，52分）：重点考查抛物线、双曲线、椭圆、直线与圆的位置关系及空间几何，对应第5、10、11、12、15、18题。本模块分值占比最高，其中第10题二面角与空间位置关系、第11题直线与三圆综合、第18题椭圆综合均为高区分度题目。数列与三角函数模块（约20%，30分）：重点考查等差数列、等比数列及三角函数性质、解三角形，对应第7、13、14、16题。第7题以一百零八塔传统文化情境创设等差数列问题，体现文化育人导向；第14题数列最值需要构造三项块和利用不等式放缩求解。概率与统计模块（约17%，25分）：重点考查中位数、数学期望、离散型随机变量分布列，对应第1、8、17题。第1题为基础统计概念；第8题以空间点集创设抽象概率情境，创新性显著；第17题以投篮练习为情境，考查分布列与条件概率的综合应用。核心复习策略1.夯实基础，重视概念本质理解（1）回归教材，深入理解集合、函数、向量、复数等核心概念的本质定义，建立清晰的知识网络。如第3题需准确记忆特殊角的三角函数值，第4题需理解导数的几何意义而非机械套用公式。（2）通过变式训练检验概念理解的深度，避免仅靠题型记忆得分。关注不同模块知识点的内在联系，提高综合应用能力。2.强化解析几何与立体几何综合训练（1）系统掌握直线与圆、圆锥曲线的定义与性质，熟练运用弦长公式、距离公式、韦达定理等核心工具。如第11题需将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系。（2）加强空间想象能力的培养，通过作图、模型辅助理解二面角、线面关系等空间问题。第10题和第15题均需要在空间中准确判断位置关系。3.提升概率统计与数列的创新解题能力（1）关注概率统计中的新情境、新定义问题，培养从抽象情境中提取数学模型的能力。如第8题需从空间64个点中抽象出概率模型，利用对称性简化期望计算。（2）数列复习中注重构造法、转化思想的训练，掌握等差等比数列的性质及与其他知识点的交汇。如第14题需构造三项块和，通过分类讨论与不等式放缩求最值。避坑提醒（考试最易踩的雷）忽视定义域与特殊情况：如第6题求函数最值时需先确定定义域，再对参数进行分类讨论，避免遗漏导致错选。立体几何作图不规范导致逻辑混乱：第10、15题空间关系复杂，作图不清晰会影响后续推理，建议养成先作图再分析的习惯。解析几何计算失误：第11、18题涉及大量代数运算，需养成分步检验的习惯，尤其在联立方程和利用韦达定理时注意符号。×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。一、单选题1．样本数据6,8,4,5,12的中位数为（

）A．5 B．6 C．8 D．9命题透视►核心考点：中位数的概念与计算►命题分析：（1）情境创设：纯数学运算情境，直接给出样本数据，要求学生运用中位数的定义进行求解。（2）问题设计：直接设问，考查中位数的定义与排序运算，属于基础概念题。四个选项设置常见的混淆值，检验学生是否理解中位数与平均数、众数的区别。（3）考查目标：考查数据分析和数学运算素养，侧重基础概念的准确理解和基本计算能力。答案与解析【答案】B【分析】结合中位数定义可得.【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12，则中位数为6.知识总结①核心概念：中位数是将一组数据按大小顺序排列后位于中间位置的数；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数。②解题要点：先排序再找中间位置，注意区分中位数、平均数与众数。③拓展关联：中位数反映数据的集中趋势，相比平均数不受极端值影响，在实际统计中常用于收入、房价等数据的描述。2．已知平面向量a，b不共线，且2a+yA．x=2，y=−3 B．x=−2，y=3 C．x=2，y命题透视►核心考点：平面向量基本定理►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以平面向量的线性表示为背景，考查向量基本定理的应用。（2）问题设计：给出向量不共线及线性等式，要求确定系数，考查向量基本定理中系数唯一性。选项设置对称的系数组合，检验学生是否掌握向量分解的唯一性原理。（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重平面向量基本定理的理解与代数运算能力。答案与解析【答案】A【分析】由平面向量基本定理可得.【详解】由题意可知平面向量a,b不共线，且则x=2知识总结①核心概念：平面向量基本定理指出，平面内任意向量都可由两个不共线向量唯一线性表示，即对于不共线的向量a,b，任意向量c存在唯一实数对(x,y)使c=xa+yb。②解题要点：将等式两边按同一组基底展开，利用系数对应相等列方程求解。③拓展关联：平面向量基本定理是空间向量基本定理的特例，也是解析几何中坐标法的基础。3．已知集合A=sin7π6,cos5π3A．−32,−12 B．−3命题透视►核心考点：集合的交集运算与特殊角的三角函数值►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，将集合运算与三角函数特殊角值相结合，考查两个知识点的综合应用。（2）问题设计：以三角函数值为元素构造集合，要求求交集。题目将两个基础知识点交汇，表面简单但需准确计算多个特殊角的三角函数值。（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重特殊角三角函数值的准确记忆与集合交集运算的综合应用。答案与解析【答案】C【详解】因为sin7π6=sinπ+π即集合A=−12,知识总结①核心概念：集合的交集是由同时属于两个集合的所有元素组成的集合；特殊角的三角函数值包括sin、cos、tan在0、pi/6、pi/4、pi/3、pi/2等角处的值。②解题要点：先分别求出两个集合的元素，再取公共元素。注意三角函数的诱导公式运用。③拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域、值域等结合考查，是高考基础题的重要载体。4．曲线y=5x+8lnx在点A．y=3x+2 B．y=5x 命题透视►核心考点：导数的几何意义——求曲线的切线方程►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以对数函数与一次函数的复合函数为背景，考查导数的几何意义。（2）问题设计：给出曲线方程和切点坐标，要求求切线方程。属于导数几何意义的直接应用，但涉及对数函数求导，需要准确运用求导法则。（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重导数计算和点斜式方程的熟练运用。答案与解析【答案】D【详解】因为y=5x+8lnx，则y′所以曲线y=5x+8lnx在点即y=13知识总结①核心概念：函数在某点处的导数等于曲线在该点处切线的斜率；切线方程可用点斜式y-y0=f'(x0)(x-x0)表示。②解题要点：先求导得斜率，再代入点和斜率写点斜式，最后化为一般式或斜截式。③拓展关联：导数的几何意义还可拓展到求法线方程、两条曲线的公切线问题、切线不等式证明等。5．已知抛物线C1:y2=2p1x（p1>0）和C2A．12 B．45 C．6 D．命题透视►核心考点：抛物线的标准方程与焦点坐标►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以两条不同类型的抛物线为背景，考查抛物线标准方程与焦点坐标的综合应用。（2）问题设计：给出两条抛物线均经过同一点，要求求两焦点之间的距离。需要先确定参数再求焦点坐标，最后计算距离，步骤清晰但需细心运算。（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重抛物线标准方程的求解和两点间距离公式的综合应用。答案与解析【答案】D【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数p1【详解】∵抛物线C1:y∴将x=4,y=8代入C1的方程得82∴C1的焦点坐标为F1p∵抛物线C2:x∴将x=4,y=8代入C2的方程得42∴C2的焦点坐标为F20,根据两点间距离公式，F1与F|F知识总结①核心概念：抛物线y^2=2px的焦点坐标为(p/2,0)，抛物线x^2=2py的焦点坐标为(0,p/2)。②解题要点：将已知点代入抛物线方程求参数p，再写出焦点坐标，最后用距离公式计算。③拓展关联：抛物线的定义是平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，此定义在解决焦点弦问题时非常有效。6．已知函数f(x)=x+2A．12 B．1 C．32命题透视►核心考点：利用导数研究含参函数的最值►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以对数型分式函数为载体，考查含参函数最值的求解方法。（2）问题设计：已知函数最大值为1，求参数值。题目提供多种解法路径，从特值验证到严格求导，体现分层设问思想。选项设置引导学生从简单方法入手。（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重分类讨论思想、导数应用和函数最值分析能力。答案与解析【答案】B【详解】法1：（1）当a<0时，由ex+故函数f(x)①当a<−1e当x→ln(−a②当a=−1e2时，此时故最大值不为1，不合题意；③当−1e2当x→ln(−a（2）当a≥0时，则ex+a>0且由f(x)最大值为1即a≥x+2−设g(x)=当x<0时，g′(当x>0时，g′(故g(x)≤g(0)=1由a≥x+2−ex又当a>1时，恒有g(x故选：B.法2：f(由选项知a>0，则定义域为R故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为x0由f′则由f′(x且f(x0联立①②解得x0验证：当a=1时，f则f′设g(x)=−当x<−2时，g′(x)>0当x>−2时，g′(x)<0g(x)且当x→−∞，g(x)→0；当作出函数g(当x<0时，g(x)>0,f当x>0时，g(x)<0,f则f(x)法3：由选项知a>0，则定义域为R由f(0)=21+同法2验证可得，故a=1法4：由选项知a>0，则定义域为R由f(0)=21+验证：当a=1时，由不等式ex≥故f(x)=故a=1知识总结①核心概念：函数最值可通过求导找极值点，再结合端点值和定义域确定；含参函数需对参数分类讨论。②解题要点：先确定定义域，再求导找临界点，分析单调性，最后比较极值和端点值确定最值。③拓展关联：函数最值问题常与不等式恒成立、存在性问题结合，是高考压轴题的重要考查方向。7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为ai(i=1,2,⋯,12)，其中a1=1，a2=a3=3，a4=a5=5，且a6A．2 B．4 C．6 D．8命题透视►核心考点：等差数列在实际情境中的应用►命题分析：（1）情境创设：以宁夏青铜峡市一百零八塔为真实情境，将等差数列与历史文化建筑格局相结合。该塔群共108座塔，依山势自上而下排成12行，各行的塔数构成等差数列。（2）问题设计：将108座塔按行分组，每行塔数构成等差数列，再将各组之和构成新的等差数列，要求求新数列的公差。情境信息丰富，需要学生从中提取数学模型。（3）考查目标：考查数学建模和数学运算素养，侧重从真实情境中提取数学模型、运用等差数列性质解决实际问题的能力。答案与解析【答案】B【分析】由条件求出数列an的前12项的和，设新数列为bn，设其公差为d，由条件可得【详解】由已知a1=1，a2=a3=3所以数列an的前12项的和为1+6+10+设新数列为bn，n由已知数列bn为等差数列，设其公差为d，d又an的前12项都为奇数，b由已知d为正偶数，b1则6b1+若d=2，则b若d=6，则b若d=8，则b若d=4，则b1=8，此时可取b1=b4=a3+知识总结①核心概念：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2；若将等差数列按固定项数分组，各组之和可能构成新的等差数列。②解题要点：先根据总项数和首项、公差求出原数列，再按要求分组，利用新数列的等差性质列方程求解。③拓展关联：等差数列与等比数列是数列的基础模型，在实际问题中常用于描述均匀增长或等距分布的现象。8．设U=x1,x2,x3xi∈−2,−1,1,2,i=1,2,3为空间中64个点构成的集合，点P1,1,1A．−121 B．−163 命题透视►核心考点：离散型随机变量的数学期望►命题分析：（1）情境创设：以空间中64个点构成的集合为抽象情境，定义随机变量为点到三个坐标平面的距离之和，考查数学期望的计算。（2）问题设计：创设高度抽象的概率模型，要求计算随机变量的数学期望。题目提供三种解法，分别对应直接计算、对称性分析和坐标和总和法，体现多路径解题思想。（3）考查目标：考查数学抽象和数学运算素养，侧重从抽象情境中建立概率模型、利用对称性简化计算的能力。答案与解析【答案】A【分析】由题意可知nΩ=63.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得PX【详解】由题意可知：nΩ=4×4×4−1=63，且随机变量X的取值为−6，−5，−4，−3，−2，解法一：依题意，可得PXPXPX=−3=PX=−2=所以EX解法二：根据对称性可知：PX=−6=PX=6，PX又PX=−3=所以EX解法三：因为xi∈−2,−1,1,2对于任意一点x1,x因为P1,1,1，样本空间Ω=可知样本空间Ω中存在唯一点−1,−1,−1与点P1,1,1所以Ω中所有点的坐标和的总和为−1−1−1=−3，故E(知识总结①核心概念：离散型随机变量的数学期望E(X)=sum(xi*Pi)，反映随机变量取值的平均水平。②解题要点：解法一直接列举所有取值及概率；解法二利用对称性发现E(X)=E(Y)=E(Z)；解法三利用所有点坐标和为0的性质。③拓展关联：数学期望是概率统计的核心概念，在风险评估、决策分析、机器学习等领域有广泛应用。二、多选题9．设z=3+2i，则（

A．z=3−2i B．z=5 C．z2命题透视►核心考点：复数的基本运算与性质►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以复数的代数形式为背景，考查复数的共轭、模、乘除运算等基本性质。（2）问题设计：给出复数z的具体值，要求判断四个关于复数性质的命题。选项涵盖共轭复数、模、乘方、除法运算，全面考查复数的基础知识。（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重复数基本运算的准确性和对复数性质的全面理解。答案与解析【答案】ACD【详解】对于A选项，复数z=a+bi对于B选项，复数的模|z|=a对于C选项，∵z=3+2i∴z2对于D选项，∵分子z+3=3+2i+3=6+2i，分母z∴z+3z−i=6+2i知识总结①核心概念：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为sqrt(a^2+b^2)；复数的乘除运算可转化为代数运算。②解题要点：先确定复数的实部和虚部，再逐项验证各选项。注意i^2=-1的运算规则。③拓展关联：复数与平面向量一一对应，复数的模对应向量的模，复数的乘法对应旋转和伸缩变换。10．在空间中，A、B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1．若二面角C−AB−D为A．∠CAD≥60° C．当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD D．当AB⊥命题透视►核心考点：二面角与空间位置关系的综合判断►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以空间中两条异面直线和动点轨迹为背景，考查二面角、线面垂直、线面平行等空间位置关系的综合判断。（2）问题设计：设置动点到两条直线的距离条件，结合二面角的大小，判断四个关于空间位置关系的命题。选项涉及距离、线面垂直、平面重合等，需要较强的空间想象能力。（3）考查目标：考查直观想象和逻辑推理素养，侧重空间图形的分析、二面角的理解和空间位置关系的综合判断能力。答案与解析【答案】BC【分析】做出满足条件的图，过点C作CE⊥AB，E为垂足，过点D作DF⊥AB，F为垂足，过点E作EG//FD，由条件可得∠CEG=60∘，解三角形可得CG=3，由此判断B，当点A与点E的距离无限大时，可得∠CAD趋向于0∘，排除A，先证明AB⊥平面CDG，结合AB⊥CD，证明D【详解】不失一般性作图如下，过点C作CE⊥AB，E为垂足，过点D作DF⊥过点E作EG//FD，EG=则EG⊥AB，因为二面角C−所以∠CEG=60所以CG2=4+1−2×2×1×cos故CG⊥EG，当点A与点E的距离无限大时，CA，AD无限大，CA,CD无限靠近此时∠CAD趋向于0因为AB⊥CE,AB⊥EG，所以AB⊥平面CEG，又CG⊂平面CEG，所以若AB⊥CD，D,G不重合，结合CG∩可得AB⊥平面CDG，DG⊂平面所以AB⊥DG，矛盾，所以因为AB⊥CG，CG⊥EG，EG∩所以CG⊥平面EFDG，故CD⊥平面因为AB⊥平面CEG，若AB⊥平面则平面CEG与平面ACD重合，此时点A与点E重合，点D与点G重合，故AC与AD的夹角为60∘知识总结①核心概念：二面角是两个半平面所成的角；线面垂直的判定定理要求直线垂直于平面内两条相交直线；点到直线的距离是垂线段的长度。②解题要点：通过作辅助线构造二面角的平面角，利用解三角形判断距离关系，结合线面垂直的判定与性质进行推理。③拓展关联：空间向量法是解决立体几何问题的有效工具，可将几何关系转化为代数运算。11．已知圆C1:(x+1)2+y2=1，圆C2:(x−1)2+y2=1，圆C3:x2+A．k可以取任意实数 B．满足s1=s2=C．满足s1+s2+s3=3的直线l多于3命题透视►核心考点：直线与圆的位置关系与弦长问题►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以三个等圆和一条公共直线为背景，考查直线与圆的位置关系、弦长公式及最值问题。（2）问题设计：三个等圆的圆心位置确定，直线与三圆均相交，要求判断弦长相关的四个命题。题目将弦长公式、距离公式、导数求最值等多维知识熔于一炉，计算量较大。（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重弦长公式的灵活运用、代数运算能力和最值问题的求解方法。答案与解析【答案】BCD【分析】已知三个圆均为半径r=1的等圆，圆心分别为C1(−1,0)、C2(1,0)、C3(0,3)【详解】记直线l:y=kx+b到C1,C∵直线与三个圆均有两个交点，∴d1<1，d2<1，A：∵解d1<1，得解d2<1，得不妨取k>0∵k+∴k−1+k解d3<1，得3−当3−1+k2≥−此时不存在这样的直线l与三个圆都相交.∴k不能取任意实数，A错误.B：∵s1∴d1由d1=d2得|b−k①当k=0时，直线为y=b，由d1=此时d1=3②当b=0时，直线为y=kx，由d1=此时d1=3综上，共3条直线满足条件，B正确.C：令b=0∴s1=s令t=k2∴s1令s1+s平方整理可得5t2−16t+11=0，解得t=11经验证，此时d1,d2,d3D：当b=0时，d1=∴s1=s令t=k2∴s1设f(t)=令f′(t)=0得t=∴s1+s

【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误.知识总结①核心概念：直线被圆截得的弦长公式为l=2*sqrt(r^2-d^2)，其中r为圆半径，d为圆心到直线的距离；点到直线的距离公式为d=|Ax0+By0+C|/sqrt(A^2+B^2)。②解题要点：先将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，再分情况讨论直线的方程形式，利用代数运算和导数求最值。③拓展关联：直线与圆的位置关系还可拓展到圆系方程、切线长问题、公共弦问题等。三、填空题12．双曲线5x2−6命题透视►核心考点：双曲线的标准方程与离心率►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以双曲线方程为背景，考查双曲线标准方程的化简和离心率的计算。（2）问题设计：给出双曲线的一般方程，要求求离心率。需要先化为标准形式，确定a和b，再利用c^2=a^2+b^2求c，最后计算e=c/a。（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重双曲线标准方程的识别和离心率公式的准确运用。答案与解析【答案】66【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定a2、b2，再利用双曲线中a,【详解】将双曲线5x2−6y2因此c2=a知识总结①核心概念：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=c/a，其中c^2=a^2+b^2，e>1；离心率反映双曲线的开口程度，e越大开口越宽。②解题要点：先将给定方程化为标准形式，确定a^2和b^2，再求c，最后计算e。③拓展关联：离心率是圆锥曲线的核心参数，椭圆0<e<1，抛物线e=1，双曲线e>1，三者可通过离心率统一描述。13．已知f(x)=2sinax+θ（a∈Z，0≤θ<2π）是偶函数，命题透视►核心考点：三角函数的周期性、奇偶性与单调性►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以正弦型函数的复合函数为载体，考查三角函数的周期、奇偶性和单调性。（2）问题设计：已知函数为偶函数且在指定区间单调递增，要求确定参数值。需要综合运用周期性、奇偶性和单调性三个性质，通过分类讨论缩小参数范围。（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重三角函数性质的综合运用和分类讨论思想。答案与解析【答案】3π2【分析】根据单调性和周期性可得a=1,2.解法一：根据偶函数可得θ=π2,3π2，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得f′0【详解】设函数fx的最小正周期为T，由题意可知a因为函数fx在0,π2内单调递增，则T可得2πa≥π，解得且a∈Z，a≠0解法一：因为函数fx则θ=k1π+π则k1=0,1，若θ=π2即fx=2cosx若θ=3π2即fx=−2cosx且f2π3=−2cos综上所述：θ=3π2解法二：因为f′若函数fx为偶函数，则f′0且0≤θ<2π，则若θ=π2，则f即f′x=−2sinx<0可知函数fx在0,若θ=3π2，则f即f′x=2sinx>0可知函数fx在0,且f2π3=−2cos综上所述：θ=3π2解法三：因为函数fx=2sinax+θ可知fx在x=0处取到极小值，则θ=2k2则k2=1，θ=即fx=−2cosx且f2π3=−2cos知识总结①核心概念：正弦型函数y=Asin(omega*x+phi)的周期T=2*pi/|omega|；偶函数满足f(-x)=f(x)；单调递增区间需通过导数或复合函数单调性判断。②解题要点：先由单调性确定周期范围，再由偶函数确定相位，最后结合单调区间验证。③拓展关联：三角函数的性质是高考重点，常与解三角形、向量、导数等知识点综合考查。14．设实数q满足：存在数列an，使得对于任意n∈ N∗，均有a1+a2+⋯+a3n=n2+n命题透视►核心考点：等比数列性质与数列最值问题►命题分析：（1）情境创设：纯数学情境，以递推数列和等比数列片段为背景，考查数列求和、等比数列性质及最值问题。（2）问题设计：给定递推关系和等比数列片段的条件，要求求实数的最大值。需要将连续9项按起始位置分类讨论，利用三项块和相等的性质建立方程，再通过不等式放缩求上界。（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重构造法、分类讨论和不等式放缩等数学思想方法。答案与解析【答案】3【分析】由前3n项和公式推出每连续三项的和Tn=2n.将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于2n【详解】令Tn=a因此每个三项块Bn的和为2设这9项为x,xq,xq下面按k除以3的余数讨论.若k=3得xC=2(m+1)，x于是q3=m若k=3m+2(m≥0)得xq2C=2(m若k=3m(m≥1)得xqC=2(m+1)，x综上q3≤32，所以q≤知识总结①核心概念：等比数列中任意连续三项满足等比中项性质；若an+1/an=q（常数），则数列为等比数列。②解题要点：先由递推关系发现每连续三项的和为常数，再将9项按模3分类，利用等比数列性质建立方程，最后通过不等式求最值。③拓展关联：数列最值问题常与函数、不等式结合，构造法和放缩法是解决此类问题的关键技巧。四、解答题15．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC(1)证明：DE//平面BC(2)设CC1=2，直线DE与平面ACC1A1命题透视►核心考点：线面平行的证明与点到平面的距离►命题分析：（1）情境创设：以直三棱柱为几何体背景，考查空间几何中的线面平行证明和点到平面的距离计算。（2）问题设计：第(1)问证明线面平行，通过中位线定理找到平行线即可；第(2)求点到平面的距离，可通过空间向量法（求法向量）或几何法（等体积法）求解。题目提供坐标系建系提示，降低几何法门槛。（3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重线面平行的判定定理和空间距离的计算方法。答案与解析【答案】(1)由题意证明如下：如图，作出符合题意的图形，连接BC在△ABC1中，D，E分别为AB，A∵DE⊄平面BCC1B1∴DE//平面BC(2)距离为1.【分析】（1）通过证明DE//（2）方法一：设出AC=BC=2tt>0，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量ED与面ACC1A1的一个法向量的表达式，根据直线DE与平面方法二：利用直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°，求出AC=【详解】（1）略（2）法一：由题意及（1）得，C在直三棱柱ABC−A1B1四边形ACC1A∴AC⊥BC，AC⊥建立空间直角坐标系，如下图所示，得到A2t,0,0，B0,2t,0，∴ED=0,t,−1，面∵直线DE与平面ACC1A设直线DE与平面ACC1∴sin解得t=1，∴A2,0,0，B0,2,0，C0,0,0，∵DE//面BCC1B1，∴由几何知识得，DE法二：由题意及（1）得，在直三棱柱ABC−A1B1四边形ACC1A∴AC⊥BC，AC⊥∵AC∩CC1=C，AC⊂平面ACC1∴BC⊥平面ACC1∴由几何知识得，∠BC1C即为直线直线DE与平面ACC1A在△ABC1中，D，E分别为AB，A∴直线BC1与平面ACC1A在Rt△BCC1中，∠BC∴AC=在Rt△ABC中，AC⊥BC△ABC为等腰直角三角形，过点D作DF则点F为BC中点，DF=12由几何知识得，DE到面BCC1B知识总结①核心概念：线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；点到平面的距离可转化为三棱锥的高，利用等体积法V=(1/3)*S*h求解。②解题要点：证明线面平行时找中位线或平行四边形；求距离时优先建立空间直角坐标系，用法向量法计算。③拓展关联：空间距离还包括线面距离、面面距离，均可转化为点到平面的距离；等体积法是立体几何中求高的常用技巧。16．已知在△ABC中，AB=3，BC=2(1)求cosA(2)设D，E两点满足：D在BA的延长线上，DE//BC，AE⊥AC．若命题透视►核心考点：余弦定理与解三角形的综合应用►命题分析：（1）情境创设：以三角形为背景，考查解三角形中的边角关系、余弦定理和向量垂直条件的综合应用。（2）问题设计：第(1)问已知两边及夹角，用余弦定理求第三边，再用余弦定理求角；第(2)问引入外部点，通过平行关系和垂直条件建立坐标系，利用向量坐标运算求解。（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重余弦定理的熟练运用、坐标法解几何问题的能力。答案与解析【答案】(1)1(2)3【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边AC，再用余弦定理求cosA（2）建立坐标系，设出点D坐标，由平行关系得点E的坐标，利用垂直条件求参数，由DE长度解出t，再计算CE.【详解】（1）在△ABC中，AB=3，BC=2由余弦定理可知AC故AC=3.再由余弦定理得cos（2）以A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系如图：则A(0,0)，B(3,0)，由AC=3，cosD在BA延长线上，设AD=t>0，则D(−t设DE=λ(−2,2由AE⊥AC，得AE⋅于是DE=已知DE=6，则33代入得E−42, 2故CE=知识总结①核心概念：余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA；正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。②解题要点：已知两边及夹角时优先用余弦定理求第三边；涉及平行和垂直条件时，建立坐标系将几何关系转化为代数运算更简便。③拓展关联：解三角形常与三角函数、向量、解析几何结合，是高考解答题的重要考点。17．设整数N≥2．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为p0<p(1)当N=4，p=1(2)设k，m均为自然数．（i）当k≤N−1（ii）当k+m≤命题透视►核心考点：离散型随机变量的分布列与条件概率►命题分析：（1）情境创设：以投篮练习为实际情境，设置停止规则，考查离散型随机变量的分布列、数学期望和条件概率。（2）问题设计：第(1)问给定具体参数，求分布列；第(2)问分两部分，(i)求特定条件下的概率，(ii)证明不等式。题目将概率计算与条件概率、事件包含关系结合，第(ii)问需要利用(i)的结论和条件概率公式进行证明。（3）考查目标：考查数学建模和数据分析素养，侧重从实际情境中抽象概率模型、分布列的计算和条件概率推理能力。答案与解析【答案】(1)X的分布列如下图所示：X1234P1248(2)（i）P（ii）由题意及（2）（i）证明如下：P=即P(【分析】（1）求出X的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.(2)（i）PX>k等价于前k（ii）利用条件概率公式，结合(i)的结论与事件的包含关系即可证明结论.【详解】（1）由题意，整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，∴X的可能取值为1，2，3，4，当X=1时，表示第一次就投进球，P当X=2时，表示第2次投进球，第1次没有投进，P当X=3时，表示第3次投进球，前两次没有投进，P当X=4时，表示在第4次停止，此事件等价于前3次投篮均未投中，P作出X的分布列如下图所示：X1234P1248（2）（i）由题意及（1）得，整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，当k≤N−1时，X∴PX（ii）略.知识总结①核心概念：离散型随机变量的分布列列出所有可能取值及对应概率；条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)；事件的包含关系指若A发生则B一定发生。②解题要点：先明确随机变量的所有可能取值，再逐个计算概率，注意停止规则的理解；证明概率不等式时善用条件概率公式和事件包含关系。③拓展关联：概率问题中的停止规则、递推关系是竞赛和高考压轴题的常见模型，马尔可夫链是其进阶形式。18．已知椭圆C:x2a2(1)求C的方程；(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．（i）若△PQR的面积是△PFO的面积的3倍，求（ii）求tan∠PQR命题透视►核心考点：椭圆的标准方程与几何性质综合►命题分析：（1）情境创设：以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程、离心率、直线与椭圆的位置关系、三角形面积及最值问题。（2）问题设计：第(1)问根据焦点和离心率求椭圆方程；第(2)问(i)利用面积倍数关系求直线方程，(ii)求角的最小值。题目涉及联立方程、韦达定理、面积公式和基本不等式，计算量大，综合性强。（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重椭圆几何性质的理解、直线与椭圆联立方程的运算能力和最值问题的求解方法。答案与解析【答案】(1)x(2)（i）y=5【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解；（2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于∠PQR是直线PQ与直线RQ的夹角，根据tan∠【详解】（1）已知椭圆x2a2+y则c=1,e=ca因此椭圆方程为x2（2）解法一：设l:y=kx+1k联立直线l与椭圆方程y=kx由韦达定理得x1由于P,所以点R−x1（i）

由面积公式，S△又因为O是线段PR的中点，所以S△PQO=S△由于S△PQRS△PFO令u=k2，由x1+代入x1x2=4所以k=52，所以直线l（ii）直线QR的斜率为−y于是tan∠PQR=k故tan∠PQR的最小值为4解法二：（i）如图所示，设直线l的方程为x=my−1

设点Px1,y1根据椭圆的中心对称性可知，点R−联立直线与椭圆方程，得x=my−1由韦达定理可得y1因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点，因此S△PQO=由于S△PQR=3