课时2正方形的判定课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形1.4正方形的性质与判定课时2正方形的判定OABCD复习导入正方形既是矩形，又是菱形.判定思路1：先有矩形，再补上菱形特征；判定思路2：先有菱形，再补上矩形特征.OABCD问题：哪些条件能把矩形或菱形进一步判定为正方形？新知探究一、矩形怎样变成正方形矩形已经有四个直角.如果再有一组邻边相等，那么它也具有菱形的边特征；判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形.ABCD几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.巩固训练1.如图，在矩形ABCD中，AB=BC.判断四边形ABCD的形状，并说明理由.ABCD解析：矩形已经具备四个直角；又有一组邻边AB、BC相等，符合判定方法1.答案：四边形ABCD是正方形.新知探究二、矩形的对角线条件矩形的对角线已经相等且互相平分.如果矩形的对角线再互相垂直，就同时具有菱形的对角线特征.OABCD判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形.几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形.巩固训练2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD，∴它符合“对角线互相垂直的矩形是正方形”.∴四边形ABCD是正方形.OABCD新知探究三、菱形怎样变成正方形菱形已经有四条边相等.如果再有一个角是直角，那么它也具有矩形的角特征.ABCD判定方法3：有一个角是直角的菱形是正方形.几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形.巩固训练3.判断：若菱形ABCD中，∠B=90°，则四边形ABCD是正方形.解析：菱形已经四边相等；再有一个角是直角，就满足正方形的判定方法3.答案：正确，四边形ABCD是正方形.ABCD新知探究四、菱形的对角线条件菱形的对角线已经互相垂直平分.如果菱形的对角线再相等，就同时具有矩形的对角线特征.OABCD判定方法4：对角线相等的菱形是正方形.几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，∴四边形ABCD是正方形.巩固训练4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，且AC=BD，∴它符合“对角线相等的菱形是正方形”.∴四边形ABCD是正方形.OABCD例题讲解例2.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.思路：先由两组对边分别平行证BECF是平行四边形；再证EB=EC得菱形；最后证一个角是直角.ABCDEF45°45°新知探究证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=45°，∠ECB=45°.∴EB=EC.∴四边形BECF是菱形.ABCDEF45°45°新知探究在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=180°-45°-45°=90°.又∵四边形BECF是菱形，∴四边形BECF是正方形.方法点拨：先证明“菱形”，再补上“一个直角”.ABCDEF45°45°巩固训练5.如图，在矩形ABCD中，AC平分∠DAB.求证：矩形ABCD是正方形.ABCD45°45°证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∠B=90°.又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°.∴∠ACB=45°，AB=BC.∴矩形ABCD是正方形.归纳总结方法梳理：看起点选路径1.已知矩形：再证明一组邻边相等，或对角线互相垂直；2.已知菱形：再证明一个角是直角，或对角线相等；3.已知一般四边形：通常先证明它是矩形或菱形，再判定正方形.易错提醒：不能只看到“边相等”或“角相等”就直接写正方形，必须补足判定路径.巩固训练6.判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）有一组邻边相等的四边形是正方形.（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.（3）有一个角是直角的菱形是正方形.解析：（1）错误，缺少矩形等前提；（2）正确；（3）正确.答案：（1）错误；（2）正确；（3）正确.课堂总结正方形的判定方法：1.有一组邻边相等的矩形是正方形；2.对角线互相垂直的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形；4.对角线相等的菱形是正方形.核心：正方形=矩形+菱形特征=菱形+矩形特征.当堂检测1.下列条件中，能判定矩形ABCD是正方形的是（）A.AC=BDB.AB∥CDC.AC⊥BDD.∠A=90°OABCD解析：矩形要成为正方形，可补上“对角线互相垂直”这一菱形特征。答案：C。当堂检测2.有一组邻边相等的______是正方形.3.对角线相等的______是正方形.4.菱形ABCD中，若∠A=90°，则四边形ABCD是______.ABCD解析：分别对应矩形方向、菱形方向和有直角的菱形判定.答案：矩形；菱形；正方形.当堂检测5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交