课时1数字、几何问题课件2026-2027学年人教版版数学九年级上册

25.3实际问题与一元二次方程课时1数字、几何问题第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）.回顾解一元一次方程应用题的一般步骤：一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型问题1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？

探究1

数字问题1.如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2

个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为_________.

52问题2：有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－2)，这个两位数字是10(x－2)+

x.根据题意，得 10(x－2)+x=3x(x－2)，整理，得 3x2－17x+20=0，解得

x1=4，x2=(不合题意，舍去)，当

x=4时，x－2=2，∴这个两位数是24.2.已知两个相邻奇数的积是195，则较大的一个奇数是多少？解：设较大的奇数为x，则较小的奇数为(x-2).由题意得：x(x-2)=195，解得：x1=15，x2=-13(不符合题意，舍去)，所以较大的一个奇数是15.

探究2面积问题

方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？

思考

还有其它设未知数的方法吗？请你试着列方程求解.并比较这些设法，说说它们各自的特点.

设法设元思路方程形式特点从周长出发

从面积出发利用对称性利用半周长关系设元，面积关系列一元二次方程，思路最直接，最通用

利用长宽和为定值设元，面积关系列方程，可直接用平方差公式化简运算，计算最简便，也能直观体现解的对称性3.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？1m住房墙解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x

m，由题意得

x(25-2x+1)=80解得x1=5,x2=8当x=5时，26-2x=16>12(舍去）当x=8时，26-2x=10<12答：所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.1m住房墙建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的流程2032xx解：设道路的宽为xm．可列方程例

如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？还有其他列方程的方法吗？方法一：整理，得x2－52x＋100＝0，解得x1＝2，x2＝50．当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．∴x＝2．答：道路的宽为2m．解：设道路的宽为xm．可列方程(32－x)(20－x)＝540，整理，得x2－52x＋100＝0，解得x1＝2，x2＝50．当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．∴x＝2．答：道路的宽为2m．方法二：2032xx20－x32－x例

如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．一元二次方程解应用题审题、设元（未知数）、列方程、解方程、检验、作答.要检验根的合理性.数字问题关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.步骤类型几何问题运用常见几何图形的面积公式构建等量关系.1.如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是()A.

x2－41x＋180=0B.x2－41x＋225=0C.

x2－41x＋30=0D.

x2－41x－270=0A2.如图,某校课外生物小组的试验园是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意可列方程为().A.35×20−35x−20x＋2x2＝600;B.35×20−35x−2×20x＝600;C.(35−2x)(20−x)＝600;D.(35−x)(20−2x)＝600.C3.在学习一元二次方程的课堂上，老师设计了“猜数字”游戏.下面是小红同学给出的信息，请“猜一猜”小红所写的两位数是多少？规则：由一名同学写出一个两位数，然后告诉大家这个两位数个位与十位上的数字之和，再将之位置交换，告诉大家交换后的新两位数与开始的两位数的乘积，最后大家根据已知信息猜一猜原来的两位数是多少.信息1：个位与十位上的数字之和为3；信息2：个位与十位上的数字交换位置后组成的新两位数与开始写的两位数的乘积为252；信息3：原数个位上的数字小于十位上的数字.解：设小红所写的两位数十位上的数字为

x，则个位上的数字为(3-x)，交换位置前的两位数为10x+(3-x)=9x+3，交换位置后的两位数为10(3-x)+x=30-9x，由题意可知，(9x+3)