圆的有关概念课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.1圆的有关概念学习目标课时讲解1课时流程2圆的定义及表示方法点和圆的位置关系圆的有关概念确定圆的条件三角形的外接圆反证法逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点圆的定义及表示方法1圆的定义描述性定义如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径集合性定义圆心为O、半径为r

的圆可以看成平面内所有到定点

O的距离等于定长r

的点的集合

感悟新知知1－讲圆的表示方法以点O

为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”拓展同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心(三点不共线)构成的三角形是等腰三角形

感悟新知知1－讲特别提醒1.确定一个圆需要“两个要素”：一是圆心，圆心定其位置；二是半径，半径定其大小.2.圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”,不能认为是“圆面”.3.“圆上的点”指圆周上的点.知1－练感悟新知[母题教材P115例题]两个斜边相等的直角三角尺(∠DAB=45°，∠BAC=30°，∠

ACB=∠ADB=90°)在同一平面内按如图29.1-1所示的方式摆放.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.例1知1－练感悟新知解题秘方：将证明几个点在同一个圆上转化为证明这几个点到某点(圆心)的距离相等“.到定点的距离相等(数量关系)的点在同一个圆上(位置关系)”是证明多点共圆问题的常用方法.知1－练感悟新知证明：如图29.1-1，取AB的中点O，连接OC，OD.∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠ACB=∠ADB=90°，∴OD,OC分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线.∴OD=OA=OB，OC=OA=OB.∴OA=OB=OC=OD.∴A，B，C，D四点在同一个圆上.知1－练感悟新知1-1.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，那么点E，F，G，H是否在同一个圆上？请说明理由.知1－练感悟新知

知2－讲感悟新知知识点点和圆的位置关系2点和圆的位置关系分三种(设⊙O

的半径为r，点P

到圆心的距离OP=d)：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内图示对应关系点P在圆外d>r

点P在圆上d=r

点P在圆内d<r感悟新知知2－讲拓宽视野类比圆的集合性定义可知，圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合，圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合．感悟新知知2－讲解题策略判断点和圆的位置关系的一般步骤：1.求出点到圆心的距离d和圆的半径r;2.比较d和r的大小；3.确定点和圆的位置关系.感悟新知特别提醒：(1)符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.(2)点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径之间的数量关系互相对应：由位置关系可以确定数量关系，同样由数量关系可以确定位置关系.知2－讲

知2－练感悟新知如图29.2-1，已知⊙O

的半径r=5cm，圆心O到直线

l的距离d=OD=3cm，在直线l上有P，Q，R

三点，且有PD=4cm，QD=5cm，RD=3cm，那么P，Q，

R三点与⊙O

的位置关系各是怎样的？例2知2－练感悟新知思路导引：知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

感悟新知知3－讲知识点圆的有关概念3定义注意弦连接圆上任意两点的线段叫作弦圆中有无数条弦，其中直

径是最长的弦，直径长是半径长的2倍直径经过圆心的弦叫作直径感悟新知知3－讲弧、

半圆、

劣弧、

优弧(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

(3)小于半圆的弧叫做劣弧；

(4)大于半圆的弧叫做优弧弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧感悟新知知3－讲等圆能够重合的两个圆叫作等圆.容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等前提知3－讲感悟新知图示：(如图29.1-3)知3－讲感悟新知特别提醒1.弦与直径的关系：直径是过圆心最长的弦，但弦不一定是直径.2.弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.3.弦与弧的关系：每条弧对一条弦，而每条弦对的弧有两条.感悟新知知3－练如图29.1-4，在⊙O中，_________是弦，_____是直径，_____________是优弧，____________是劣弧，半圆有_____个.例3

AB，BCAB2⌒CAB，ABC⌒AC，BC⌒⌒知3－练感悟新知解题秘方：紧扣圆的相关概念进行识别，理解直径和弦的关系，注意区分劣弧和优弧.解：观察图形，可知AB，BC

是弦，其中AB

是直径；大于半圆的弧是优弧，有CAB，ABC，小于半圆的弧是劣弧，有AC，BC；直径AB

将该圆分成2个半圆.⌒⌒⌒⌒知3－练感悟新知3-1.如图，在⊙O中，线段______________是⊙O的半径；有_____条弦，其中最长的弦是_____；________是劣弧.OA，OB，OC3AC感悟新知知3－练下列命题中是真命题的有()①弦是直径；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦；⑥半圆所对的弦是直径.A.3个

B.4个

C.5个

D.6个例4

知3－练感悟新知解题秘方：③是易错点，判断两弧是否是等弧时，首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆，再看弧的长度是否相等.知3－练感悟新知解：答案：A序号判断理由结论①弦不一定过圆心，所以弦不一定是直径假命题②当弦是直径时，它将圆分成两个半圆假命题③长度相等的弧若不能重合，就不是等弧假命题④半径相等的圆大小一样，能完全重合，是等圆真命题⑤圆中直径的两个端点间的距离最长真命题⑥直径将圆分成两个半圆，所以半圆所对的弦是直径真命题知3－练感悟新知4-1.下列说法：①直径是弦；②经过圆心的弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④直径相等的两个圆是等圆；⑤弧是半圆.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个

D.4个D知4－讲感悟新知知识点确定圆的条件41.过已知点作圆条件作法作圆的个数图示过一点A

作圆以点A

以外的任意一点为圆心，以该点与点A

的距离为半径作圆无数个感悟新知知4－讲过两点A，

B作圆连接AB，作线段AB的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆无数个过不在同

一条直线

上的三点

A，B，C作圆连接AB，BC，分别作线段AB，BC

的垂直平分线DE

和FG，DE

和FG

相交于点O，以O为圆心，以OA(或OB，OC)的长为半径作圆，⊙O

就是所求作的圆一个感悟新知知4－讲方法点拨经过不在同一条直线上的任意四点不一定能作出圆，要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上；否则，第四个点不在圆上.感悟新知2.确定一个圆的条件(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆.(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.知4－讲“确定”是“有且只有”的意思.感悟新知3.确定一个圆的圆心的方法作出此圆任意两条弦(不平行)的垂直平分线，交点即为圆心.知4－讲感悟新知知4－练如图29.1－5，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB

外，则经过其中的任意三个点，最多可画出圆的个数是()A.3

B.4

C.5

D.6例5

知4－练感悟新知解题秘方：紧扣两点：(1)同一直线上的三个点不能作圆；(2)四个点中任取两个点的组数．解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，点A，B，C，D均在直线l上，则在这四个点中任取三个点都不能确定一个圆，所以可从这四个点中任取两个点，再加上点P

即可确定一个圆．所以能确定圆的三个点分别是：P，A，B；P，A，C；P，A，D；P，B，C；P，B，D；P，C，D，共6组．所以最多可画出圆的个数为6．知4－练感悟新知答案：D知4－练感悟新知5-1.[期中·嘉兴秀洲区]过同一平面内的A，B，C

三点作圆，可以作出圆的个数为()A.0 B.1 C.2 D.0或1D知4－练感悟新知5-2.坐标系内的三个点A(－1，－2)，B(1，2)，C(3，6)，______确定一个圆(填“能”或“不能”).不能感悟新知知4－练如图29.1-6，要把残破的圆片复原完整，已知弧上的三点A，B，C，试确定经过A，B，C三点的圆的圆心O.例6

知4－练感悟新知解题秘方：根据任意两条不平行的弦的垂直平分线的交点即为圆心解题即可.知4－练感悟新知解：如图29.1-6，连接AB，AC，分别作线段AB，AC的垂直平分线，交点为O，则点O即为所求的经过A，B，C三点的圆的圆心.知4－练感悟新知6-1.如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知点A

的坐标是(-3，5)，则该圆弧所在圆的圆心P

的坐标是_______.(-1,0)感悟新知知5－讲知识点三角形的外接圆51.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.感悟新知知5－讲2.三角形的外心 (1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心.(2)性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形外接圆的半径.知5－讲感悟新知特别解读1.一个三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形,其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合，即这些三角形的外心都是这个圆的圆心.2.要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指圆在三角形外.感悟新知知5－讲3.

三角形外接圆的作法步骤作法图示(1)定圆心如图，作AC，BC

的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心(2)定半径，

画圆如图，以点O为圆心，以点O与点A(或点B或点C)的距离为半径作圆，则⊙O

即为△ABC的外接圆.作图题中，这句话不可缺少感悟新知知5－讲4.三角形外心的位置三角形类型锐角三角形直角三角形钝角三角形外心位置三角形的内部直角三角形的斜边中点处三角形的外部图示感悟新知知5－练如图29.1-7，在△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，求△ABC的外接圆半径的长度.例7思路导引：知5－练感悟新知解：如图29.1-8，作AD⊥BC于点D，∵在△ABC中，AB=AC=13cm，∴AD所在直线即为BC的垂直平分线.作AB的垂直平分线l交AD于点O，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O即为△ABC的外接圆.连接OB，设OA=OB=Rcm.知5－练感悟新知

知5－练感悟新知7-1.(1)如图，已知△ABC，用尺规作图.画出△ABC

的外接圆⊙O(不写画法，保留作图痕迹)；解：如图，⊙O即为所作.知5－练感悟新知(2)若△ABC

是直角三角形，且∠C=90°，AB=5，则△ABC

的外接圆的半径为______

.

感悟新知知6－讲知识点反证法61.反证法：先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法.当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法感悟新知知6－讲2.用反证法证明命题的一般步骤(1)否定结论：假设命题的结论不成立；(2)推出矛盾：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)肯定结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.常见的有三种类型：与定义、基本事实、定理、性质、推论相矛盾;与已知条件相矛盾;自相矛盾(与假设相矛盾)知6－讲感悟新知归纳总结反证法中常用的结论词与反设词：结论词反设词至少有一个一个也没有最多有一个至少有两个至少有n

个最多有(n-1)个最多有n

个至少有(n+1)个都是不都是一定是不一定是感悟新知知6－练利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角.例8

解题秘方：(1)假设否定的是命题的结论，不是已知条件；(2)在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.知6－练感悟新知证明：假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设∠A，∠B为钝角，则∠A+∠B>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立.因此，原命题成立.知6－练感悟新知8-1.用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应假设：_________________________三角形的三个内角都大于60°圆点在圆外点在圆上点在圆内圆点与圆的位置关系确定圆的条件三角形的外接圆有关概念弦弧等圆(弧)定义表示方法题型利用圆的半径比较线段的大小1如图29.1-9，点A，D，M

在半圆O

上，四边形ABOC、四边形DEOF、四边形HMNO

均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是(

)A.a﹥b﹥cB.a=b=cC.c﹥a﹥bD.b﹥c﹥a例9思路导引：解：如图29.1-9，连接OA，OD，OM.∵四边形ABOC、四边形DEOF、四边形HMNO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c.∵点A，D，M都在半圆O上，∴OA=OD=OM.∴a=b=c.答案：B方法点拨巧用圆的半径的性质比较线段的大小的方法：本题巧妙地运用矩形的两条对角线相等，将没有任何关联的三条线段转化为圆的三条半径，再根据“同圆的所有半径都相等”，比较出了线段的大小关系.题型利用同圆的半径相等求角的度数2如图29.1-10，AB

为⊙O

的直径，CD

为⊙O

的弦，AB，CD

的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC

的度数.例10思路导引：解：如图29.1-10，连接OD.∵AB

为⊙O

的直径，OD

为⊙O

的半径，