圆的有关性质课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

29．1圆的有关性质学习目标课时讲解1课时流程2垂径定理及其推论圆心角圆周角圆内接多边形逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点垂径定理及其推论11.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.圆的对称轴有无数条.注意不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.知1－讲感悟新知2.垂径定理及其推论文字语言符号语言图示垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧⇒⌒⌒⌒⌒知1－讲感悟新知文字语言符号语言图示垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧⇒⌒⌒⌒⌒知1－讲感悟新知文字语言符号语言图示拓展平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧⇒⌒⌒⌒⌒知1－讲感悟新知文字语言符号语言图示拓展弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧⇒⌒⌒⌒⌒知1－讲感悟新知说明符号“⇒”读作“推出”，“A⇒B”表示由条件A推出结论B.知1－讲感悟新知

这里指劣弧感悟新知知1－讲特别解读垂径定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段；“两条弧”指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.感悟新知知1－讲拓宽视野对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.知1－练感悟新知

例1知1－练感悟新知思路导引：知1－练感悟新知答案：B

知1－练感悟新知1-1.

如图，AB

是⊙O的直径，弦CD

交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为______

．感悟新知知1－练如图29.2－3，在⊙O

中，AB

为⊙O

的弦，C，D

是直线AB上两点，且AC=BD.求证：△OCD

为等腰三角形.例2思路导引：知1－练感悟新知证明：如图29.2－3，过点

O作OM⊥AB，垂足为点M.∵OM⊥AB，∴AM=BM.∵AC=BD，∴AM+AC=BM+BD，即CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD.∴△OCD

为等腰三角形.知1－练感悟新知2-1.如图，在⊙O中，A，B，C，D是圆上四点，且AB=CD，OE⊥AB

于点E，OF⊥CD

于点F.求证：OE=OF.知1－练感悟新知

感悟新知知1－练如图29.2－4，AB，CD

是⊙O

的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD.思路导引：例3

证明：如图29.2－4，连接OM，ON，OA，OC.∵O

为圆心，且M，N

分别为AB，CD

的中点，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN(HL)

.∴AM=CN.∴AB=CD.知1－练感悟新知知1－练感悟新知

感悟新知知1－练[母题教材P132习题T8]如图29.2－5，一条公路的转弯处是一段圆弧(

AB)，点

O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB的中点，半径OC

与AB

相交于点D，AB=120m，CD=20m，求这段弯路所在圆的半径.⌒⌒例4

知1－练感悟新知解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.

知1－练感悟新知⌒知1－练感悟新知4-1.半圆形纸片的半径为2cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O

重合，则折痕CD

的长为_______cm.知2－讲感悟新知知识点圆心角21.圆的旋转对称性：因为把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，所以圆具有旋转对称性.又因为旋转角可以是180°，所以圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.感悟新知

知2－讲感悟新知注意一条弧或一条弦所对的圆心角只有一个，反之，一个圆心角所对的弧或弦也只有一条.知2－讲感悟新知知2－讲弧、弦、圆心角之间的关系3.弧、弦、圆心角之间的关系文字语言符号语言图示定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等∠AOB=∠COD

⌒⌒知2－讲文字语言符号语言图示重要结论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等AB=CD

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等AB=CD

感悟新知⌒⌒⌒⌒⌒⌒弦所对的弧有两条，故不能说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”感悟新知知2－讲特别提醒不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图24.1－24，∠AOB=∠A′OB′，但AB≠A′B′，AB≠A′B′.⌒⌒知2－讲感悟新知拓宽视野在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧(同为优弧或劣弧)、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.感悟新知知2－练如图29.2－8，在⊙O

中，AB=CD，有下列结论：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD

中，其中正确的有()A.1个

B.2个C.3个D.4个⌒⌒⌒⌒例5

知2－练感悟新知答案：D解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间关系定理的推论判断.解：∵AB=CD，∴AB=CD，故①正确.∵AB=CD，∴AC=BD.∴AC=BD，∠AOC=∠BOD，故②③④正确.⌒⌒⌒⌒⌒⌒知2－练感悟新知5-1.如图，AB

和CD是⊙

O的两条弦，圆心O

到它们的距离分别为OM

和ON，若AB>CD，则下列结论正确的是()A.AB<CDB.AM<CNC.OM>OND.∠AOM>∠COND⌒⌒感悟新知知2－练如图29.2-9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC的中点，则∠OCD的度数为______

例6

55°⌒知2－练感悟新知思路导引：知2－练感悟新知

⌒⌒⌒知2－练感悟新知6-1.如图，在⊙O

中，AB

=AC,∠A=30°，则∠B

的度数为_______⌒⌒75°感悟新知知2－练[新考法构造法]如图29.2-10，AB，CD是⊙O的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE=OF.求证：AC=BD.例7

⌒⌒知2－练感悟新知思路导引：知2－练感悟新知证明：如图29.2-10，过点O作OG⊥AB于点G.∵OA=OB，OE=OF，OG⊥EF于点G，∴∠AOG=∠BOG，∠EOG=∠FOG.∴∠AOG-∠EOG=∠BOG-∠FOG，即∠AOC=∠BOD.∴AC=BD.⌒⌒知2－练感悟新知方法点拨证明弧、弦、圆心角之间的关系常用的作辅助线的方法：在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角及弦心距中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外三组量中的一组量相等，一般有多种证法，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角、等弦心距是常用的作辅助线的方法.知2－练感悟新知7-1.如图，∠AOB=90°，C，D

是AB

的三等分点，AB

分别交OC，OD

于点E，F.求证：AE=BF=CD.⌒知2－练感悟新知证明:如图,连接AC,DB.∵C,D是AB的三等分点，∴AC=CD=DB.∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠DOB.又∵∠AOB=90°,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°.∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠OAB=∠OBA=45°.∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°.∵在△AOC中，OA=OC，∠AOC=30°，∴∠ACO=75°.∴∠AEC=∠ACO.∴AE=AC.同理可得BF=DB.∴AE=BF=CD.⌒⌒⌒⌒知3－讲感悟新知知识点圆周角31.圆周角：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角可以是锐角、直角或钝角.

注意圆周角必须同时具备两个条件：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交.知3－讲感悟新知2.圆心角和圆周角的区别与联系名称圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系角的两边都与圆相交

知3－讲感悟新知3.圆周角定理及其推论

文字语言符号语言图示定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半∵∠A是BC所对的一个圆周角，∠BOC是BC所对的圆心角，∴∠A=∠BOC

前提条件⌒⌒知3－讲感悟新知

文字语言符号语言图示推论同弧或等弧所对的圆周角相等∵∠C，∠D

都是AB所对的圆周角，∴∠C=∠D⌒知3－讲感悟新知

文字语言符号语言图示推论半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径∵AB为直径，∴∠C=∠D=90°；∵∠C=90°(或∠D=90°)，∴AB为直径 知3－讲感悟新知

特别提醒1.定理中的圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧，这是定理成立的条件，也是运用定理时容易出现错误的地方.2.“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.知3－讲感悟新知

拓宽视野在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.知3－练感悟新知下列图形(如图29.2-11)中的角是圆周角的是()例8知3－练感悟新知解：选项A中的角的顶点在圆上，但是两边不都与圆相交；选项B中的角的顶点在圆上，但是两边都不与圆相交；选项D中的角的顶点不在圆上，故它们都不是圆周角.选项C中的角满足圆周角必须同时具备的两个条件，因此是圆周角.解题秘方：紧扣圆周角必须同时具备的两个条件来判断.答案：C知3－练感悟新知8-1.下列图形中的角是圆周角的是()B感悟新知知3－练如图29.2-12，点A，B，C

在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A=35°，则∠C的度数是(

)A.20°B.25°C.30°D.35°例9

知3－练感悟新知解题秘方：先根据圆周角定理求出∠O的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解.解：∵∠A=35°，∴∠O=2∠A=70°.∵AC⊥OB，∴∠CDO=90°.∴∠C=90°－∠O=90°－70°=20°.答案：A知3－练感悟新知9-1.[中考·宜宾]如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=________°．50感悟新知知3－练[中考·广东]如图29.2-13，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=(

)A.20° B.40°C.50° D.80°思路导引：例10知3－练感悟新知答案：B解：∵

AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠B=90°.∵∠BAC=50°，∴∠B=40°.∴∠D=∠B=40°.知3－练感悟新知10-1.

如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD

于点E，连接AB，AC，若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是(

)A.50° B.40°C.70° D.60°D知3－练感悟新知如图29.2-14，AB是⊙O

的直径，BD

是⊙O

的弦，延长BD到点

C，使AC=AB.求证：BD=CD.例11

知3－练感悟新知证明：如图29.2-14，连接AD.∵AB

是⊙O

的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.解题秘方：紧扣“直径所对的圆周角是直角”，结合等腰三角形“三线合一”的性质求解.知3－练感悟新知11-1.如图，AB是⊙O的直径，D

是弦AC的延长线上一点，且CD=AC，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE.求证：CD=CE．证明：如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD.

又∵CD＝AC，∴BC垂直平分线段AD.∴AB＝BD.

∴∠A＝∠D.∵∠A＝∠E，∴∠D＝∠E.∴CD＝CE.感悟新知知3－练如图29.2-15，在平面直角坐标系xOy中，⊙P

经过点O，与y

轴交于点A(0，6)，与x

轴交于点B(8，0)，则OP

的长为_________.解题秘方：连接AB，通过题意判断出AB为⊙P

的直径，且圆心P

在AB

上，根据勾股定理计算出AB的长，从而得出结果.例125知3－练感悟新知

知3－练感悟新知12-1.

[中考·日照]一圆形玻璃镜面损坏了一部分，

为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为_______.感悟新知知4－讲知识点圆内接多边形4圆内接多边形的概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质文字语言圆内接四边形的对角互补符号语言如图，∠A+∠C=180°，∠B+∠ADC=180°拓展圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.如∠1=∠B.相邻内角的对角知4－讲感悟新知注意每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.知4－讲感悟新知拓宽视野弦所对的圆周角的关系：在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧时相等，异侧时互补.如图29.2-16，∠C，∠D，∠E

都是弦AB所对的圆周角.因为∠C，∠D在弦AB的同侧，所以∠C=∠D;因为∠D，∠E在弦AB的异侧，所以∠D+∠E=180°.知4－练感悟新知[母题教材P131例4]如图29.2-17，圆心角∠AOB=120°，P是AB上任意一点(不与点A，B重合)，点C在AP的延长线上，求∠BPC的度数.例13⌒知4－练感悟新知解题秘方：欲求∠BPC的大小，关键是要求出∠APB的大小，而已知角为∠AOB，所以构建AB所对的圆周角∠AEB，即可将∠APB与∠AOB联系起来.⌒知4－练感悟新知

知4－练感悟新知13-1.

如图，四边形ABCD内接于⊙O.过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC=50°，则∠ABC的度数是_______130°圆的有关性质圆的有关性质圆周角圆周角定理及其推论圆内接四边形的性质轴对称性旋转对称性垂径定理及其推论弧、弦、圆心角之间的关系方法分类讨论思想在垂径定理中的应用1已知⊙O

的直径为10，AB，CD

是两条平行的弦，且AB=6，CD=8，求AB，CD

之间的距离.例14思路导引：解题关键题中没有明确弦AB，CD在圆中的位置，解答问题时要考虑弦AB，CD在圆心O的同侧与异侧两种情况.

要点解读1.解决关于弦的问题时，常作“垂直于弦的半径(或弦心距)”这一辅助线，然后连接圆心和弦的一端(即半径)构造直角三角形.2.当题目中图形不明确时，应注意进行分类讨论,画出所有可能存在的图形，防止漏解.方法分类讨论思想在垂径定理中的应用2如图29.2-20，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN

是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN

于点F，P

为EF

上的任意一点，则PA+PC

的最小值为________.例15

解题秘方：利用轴对称，将同侧两点转化为异侧两点求解.解题通法1.圆是轴对称图形，结合垂径定理可知，“垂直于弦的直径”这个条件中，弦的两个端点关于这条直径