直线与圆课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

30.1直线与圆学习目标课时讲解1课时流程2直线与圆的位置关系切线的性质和判定切线长定理逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点直线与圆的位置关系1直线与圆的位置关系相离相切相交定义直线与圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离直线与圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切直线与圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交知1－讲感悟新知直线与圆的位置关系相离相切相交图示直线l

与⊙O

相离直线l与⊙O相切直线l

与⊙O相交知1－讲感悟新知直线与圆的位置关系相离相切相交公共点个数012圆心到直线的距离d

与半径r的关系d﹥rd=rd﹤r公共点名称切点交点直线名称切线割线总结直线l与⊙O

相离⇔d>r直线l

与⊙O

相切⇔d=r直线l与⊙O

相交⇔d<r感悟新知知1－讲要点提醒如果一条直线满足下列三个条件中的任意两个，那么第三个条件也成立：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线.感悟新知知1－讲特别解读1.只有当直线与圆相切时，直线与圆的公共点才叫切点.2.直线与圆的位置关系⇔圆心到直线的距离d与半径r之间的数量关系知1－练感悟新知[母题

教材P149例1]如图30.1-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，问直线AB与以点C为圆心，r

为半径的⊙C有何位置关系？(1)r=4cm；(2)r=4.8cm；(3)r=7cm.例1解题秘方：要判断直线AB与⊙C的位置关系，先求点C到直线AB的距离，再与圆的半径进行比较.知1－练感悟新知

知1－练感悟新知(1)当r=4cm时，CD﹥

r，∴直线AB与⊙C相离；(2)当r=4.8cm时，CD=r，∴直线AB与⊙C相切；(3)当r=7cm时，CD﹤

r，∴直线AB与⊙C相交.知1－练感悟新知1-1.已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙

O的半径为2，OA=3，OB=2，则直线AB与⊙O的位置关系为()A.相离

B.相交 C.相切

D.相交或相切1-2.在平面直角坐标系中，点A(3，4)，以A为圆心，4为半径作圆，则⊙

A

与y轴的位置关系是_______.D相交知1－练感悟新知

例2知1－练感悟新知思路导引：知1－练感悟新知

知1－练感悟新知

知1－练感悟新知2-1.[期中·宿迁宿豫区]如图，∠

BAC=45°，点O

在AC

上，

且AO=4，以点O为圆心，r为半径画圆，若∠

BAC

的边AB与⊙O有两个公共点，则r的取值范围为________.

感悟新知知2－讲知识点切线的性质和判定21.切线的性质和判定类别文字语言符号语言图示切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径∵⊙O与l

相切于点A，∴

OA

⊥

l..感悟新知知2－讲切线的判定方法(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线∵

OA

是⊙

O

的半径，l

经过点A

且l

⊥

OA，

∴

l

是⊙

O的切线(2)距离法：圆心到直线的距离d

等于半径r

的直线是圆的切线∵

d=r，∴

l

是⊙

O

的切线(3)定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线∵

l

与⊙

O

只有一个公共点，

∴

l

是⊙

O的切线感悟新知知2－讲类型依据作法简称已知切线切线的性质定理通常连接过切点的半径，得出切线和半径垂直的结论见切点，连半径，得垂直需证切线切线的判定定理通常连接过直线与圆的公共点的半径，证明该直线和半径垂直，得出切线的结论有公共点，连半径，证垂直切线判定的距离法通常过圆心作直线的垂线，证明圆心到该直线的距离等于半径，得出切线的结论无公共点，作垂直，证半径也称“有切点”也称“无切点”2.与切线相关的常见辅助线作法知2－讲感悟新知特别解读切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推出其他的结论时使用.它们是一个互逆的过程，不要混淆.知2－讲感悟新知拓宽视野切线的性质定理的推论：(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.感悟新知知2－练如图30.1-3，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD.(1)求∠D的度数.(2)若CD=2，求BD的长.例3

解题秘方：“见切点，连半径”，可得直角三角形和等腰三角形，再利用它们的性质解决问题.知2－练感悟新知解：(1)如图30.1-3，连接OC.∵

AO=CO，∴∠

OAC=∠

ACO.∴∠COD=∠OAC+∠ACO=2∠CAD.又∠

D=2∠

CAD，∴∠

D=∠COD.∵

PD

切⊙

O

于点C，∴OC⊥

PD，即∠OCD=90°.∴∠

D=45°.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知3-1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的⊙O

的切线互相垂直，垂足为D，AD和⊙O交于点E.知2－练感悟新知(1)求证：AC平分∠DAB；证明：如图，连接OC，∵CD与⊙O相切，∴∠OCD=90°.∵AD⊥CD,∴∠D=90°.∴∠D+∠OCD=180°,∴OC∥AD.∴∠DAC=∠OCA.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.∴∠OAC=∠DAC,即AC平分∠DAB.知2－练感悟新知(2)若DE=2，DC=4，求⊙

O的半径.解：如图，作OF⊥AD于点F,则∠OFD=90°,AF=EF.∴∠OFD=∠FDC=∠OCD=90°.∴四边形OFDC是矩形.∴OC=DF,OF=DC=4.设OC=r，则OA=DF=r,∴AF=EF=r-2.在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2，即r2=42+(r-2)2，∴r=5,即⊙O的半径为5.感悟新知知2－练如图30.1-4，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰好使∠ADC=∠B，求证：直线CD与⊙O相切.例4思路导引：知2－练感悟新知证明：如图30.1-4，连接OD.∵OA=OD，∴∠

A=∠ODA.∵

AB

为⊙O的直径，∴∠

ADB=90°.∴∠

A+∠

B=90°.∵∠ADC=∠

B，∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠CDO=90°.∴CD⊥OD.∵OD是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切.知2－练感悟新知4-1.[期中·南京建邺区]如图，

在△

ABC

中，AB=AC，以AB为直径作⊙

O交BC于点D，过点D

作DE

⊥

AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线.知2－练感悟新知证明：如图，连接OD，则OD=OB.∴∠ODB=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B.∴∠ODB=∠C.∴OD∥AC.又DE⊥AC于点E，∴∠ODE=∠DEC=90°.∴DE⊥OD.∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线.感悟新知知2－练[母题

教材P151例2]如图30.1-5，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D.求证：AC与⊙D相切.例5思路导引：知2－练感悟新知证明：如图30.1-5，过点D作DF⊥AC于点F.∵∠B=90°，∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC，∴DF=DB.∴AC与⊙D相切.知2－练感悟新知5-1.[期中·福州长乐区]如图，在Rt△

OAB

中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2.4为半径作⊙

O．

求证：AB是⊙O的切线．知2－练感悟新知

感悟新知知2－练如图30.1-6，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.例6

感悟新知知2－练(1)若AD=DB，OC=5，求AC的长；思路导引：(1)若AD=DB，OC=5，求AC的长；知2－练感悟新知解：如图30.1-6，连接CD.∵

BC

是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥

AB.∵AD=DB，∴

AC=BC=2OC=10.感悟新知知2－练(2)求证：DE是⊙O的切线.思路导引：知2－练感悟新知

知2－练感悟新知6-1.[中考·雅安]如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC

交BC

于点E，过点B

作⊙

O

的切线交OE的延长线于点D，连接DC

并延长交BA

的延长线于点F．知2－练感悟新知(1)求证：DC

是⊙

O

的切线；证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵OE∥AC,∴∠OEB=∠ACB=90°.∴OD⊥BC.∴OD垂直平分BC.∴DB=DC.∴∠DBE=∠DCE.∵OC=OB,∴∠OBE=∠OCE.∴∠DBE+∠OBE=∠DCE+∠OCE,即∠DBO=∠OCD.∵DB为⊙O的切线,OB是半径,∴DB⊥OB.∴∠OCD=∠DBO=90°，即OC⊥DC.又OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线.知2－练感悟新知(2)若∠

ABC=30°，AB=8，求线段CF

的长.

感悟新知知3－讲知识点切线长定理31.尺规作图——过圆外一点作圆的切线如图30.1-7，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线.作法：如图30.1-8所示.感悟新知知3－讲(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C；(2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点；(3)作直线PA，PB，即所求作的切线.感悟新知知3－讲说明因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切，所以需在⊙O上确定一点A，满足OA⊥AP，即∠OAP=90°.由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径.因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即为所要确定的点.感悟新知知3－讲2.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.特别提醒切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量.感悟新知知3－讲3.切线长定理文字语言符号语言图示从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角∵

PA

和PB

是⊙

O

的两条切线，

切点分别是A，B，

∴

PA=PB，∠

APO=∠

BPO感悟新知知3－讲拓展结论：因为直线PO是整个图形的对称轴，故直线PO两侧的图形完全重合，常见结论有：(1)三组全等三角形：△PAO≌△PBO；△PAC≌△PBC；△OAC≌△OBC.(2)两个等腰三角形：△

PAB；△OAB.感悟新知知3－讲(3)三组相等的角(直角除外)：∠OAB=∠OBA=∠APO=∠BPO；∠AOP=∠BOP=∠

PAB=∠PBA；∠AOE=∠BOE.(4)两组相等的弧：AD=BD；

AE=BE.(5)三组垂直：AB⊥PO；OA⊥

PA；OB⊥PB.(6)P，A，O，B四点共圆，圆心是PO的中点.⌒⌒⌒⌒知3－讲感悟新知特别解读经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段长相等.感悟新知知3－练如图30.1-9，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，点D在PA

上，点E在PB上.例7

知3－练感悟新知(1)若PA=10，求△PDE的周长；思路导引：知3－练感悟新知解：∵

PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，∴

PA=PB=10，DA=DC，EC=EB.∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.∴△

PDE

的周长为20.知3－练感悟新知(2)若∠P=50°，求∠DOE的度数.思路导引：知3－练感悟新知

知3－练感悟新知7-1.如图，PA，PB

是⊙

O的切线，A，B为切点，∠

OAB=30°.知3－练感悟新知(1)求∠

APB的度数；解：∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=30°.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠PAB=∠PBA=60°.∴△PAB是等边三角形，∴∠APB=60°.知3－练感悟新知(2)当AP=3时，求⊙

O的半径.解：如图，连接OP.∵PA，PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB.∴∠APO=∠BPO=30°.∴OP=2OA.∵AP=3，OP2=OA2+AP2，∴(2OA)2=OA2+32，解得OA=3(负值已舍去).∴⊙O的半径为3.感悟新知知3－练[母题

教材P154练习T1]如图30.1-10，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.例8

解题秘方：活用切线长定理中的有关性质进行证明.知3－练感悟新知求证：(1)∠APB=2∠ABC；

知3－练感悟新知(2)AC∥OP.证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.知3－练感悟新知8-1.[期中·南京高淳区]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E.求证：AB=AC.知3－练感悟新知

直线与圆直线与圆切线直线与圆的位置关系相离相切相交割线圆的切线切线的性质切线的判定切线长定理“有切点”“无切点”方法利用相等的角转化证明垂直来证明切线1[新视角

等角转化法]如图30.1-11，在△ABC中，AB=AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD的长为半径的圆过点B．求证：直线AB与⊙O相切.例9思路导引：证明：如图30.1-11，连接OB．∵

OD

⊥

AO，∴∠

DOC=90°．∴∠

D+∠

DCO=90°．∵OB=OD，AB=AC，∴∠OBD=∠D，∠ABC=∠ACB．又∵∠DCO=∠ACB，∴∠ABC=∠DCO．∴∠ABO=∠OBD+∠ABC=90°，即AB⊥OB．又∵OB是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切．方法总结证明直线与圆相切的常见辅助线：(1)若已知直线与圆的一个公共点，则连接这个点和圆心，证直线与这条半径垂直，简记为“有切点，连半径，证垂直”.(2)若直线与圆的公共点没有确定，则先过圆心作已知直线的垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“无切点，作垂直，证半径”.方法利用勾股定理的逆定理证明垂直来证明切线2[新考法

构造勾股定理模型法]如图30.1-12，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，C是半圆上的一点.若PC=3，PB=1，PA=9，求证：PC是半圆O的切线.例10思路导引：证明：如图30.1-12，连接OC.∵

PA=9，PB=1，∴AB=8.∴OB=OC=4.∴PO=5.又∵PC=3,∴PO2=PC2+OC2.∴∠PCO=90°，即PC⊥CO.又∵OC是半圆O的半径，∴PC是半圆O的切线.方法点拨若要证明的三角形的边长已知，则考虑利用勾股定理的逆定理来证明它是直角三角形，从而达到证明垂直的目的.方法利用平行线的性质证明垂直来证明切线3如图30.1-13，AB为⊙O的弦，C为AB

的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．例11⌒思路导引：(1)求证：CD是⊙O的切线；证明：∵OC是⊙O的半径，C为AB

的中点，∴OC⊥AB．∵CD∥AB，∴CD⊥OC．又OC

是⊙

O

的半径，∴

CD

是⊙

O

的切线．⌒(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面积．

解题通法在切线的判定中，若已知点在圆上，则关键就是证明垂直.除了通过计算求出角的度数或者利用勾股定理的逆定理判定直角外，还可利用转化思想，转化的方法一般有：(1)利用相等的角转化；(2)利用平行线的性质转化；(3)利用三角形全等的性质转化等.方法利用三角形全等证明垂直来证明切线4如图30.1-14，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于点E，连接CO.求证：PD是⊙O的切线.例12思路导引：证明：如图30.1-14，连接OD.∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC.∴∠OCP=90°.∵CO=DO，CD⊥OA，∴∠COA=∠DOA.又∵CO=DO，OP=OP，∴△OPC≌△OPD.∴∠ODP=∠OCP=90°.∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．方法点拨三角形全等的性质中“对应角相等”能起到转化角的作用.利用三角形全等可以将未知的直角向已知的直角转化.易错点混淆“两点之间的距离”与“点到直线的距离”导致判断直线与圆的位置关系时出错已知⊙

O

的半径为5，点A

在直线l

上，且OA=5，则直线l

与⊙

O

的位置关系是()A.相离

B.相切

C.相交

D.相切或相交例13错解：B正解：∵⊙O的半径为5，OA=5，∴点A在⊙O上.∴点O到直线l的距离等于或小于5.∴直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.答案：D诊误区：出现错误的原因是把OA=5当成圆心O到直线l的距离，事实上，圆心O到直线l的距离等于或小于5.[新趋势学科内综合中考·镇江]已知一次函数y=kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r

为半径作⊙O.若对于符合条件的任意实数k，一次函数y=kx+2的图象与⊙O总有两个公共点，则r

的最小值为_______.考法利用直线与圆的位置关系求半径的取值1例142试题评析：本题考查一次函数的图象、直线与圆的位置关系，解题关键是充分理解直线与圆相交满足的条件.解：∵

y=kx+2的图象经过第一、二、四象限，∴

k<0，y

随x

的增大而减小.∵直线y=kx+2过定点(0，2)，∴当圆经过(0，2)时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点.∴

r

的临界值是2，即r

的最小值是2.[中考·

福建]如图30.1-15，PA

与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P=30°，则∠BCP的大小为()A.30° B.45°C.60° D.75°考法利用切线的性质定理求角的度数2例15试题评析：本题考查切线的性质定理、等边三角形的判定和性质，“连半径”构造等边三角形是解题的关键.解：如图30.1-15，连接OA，OB，则OA=OB=OC.∵

PA

与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP.∵∠P=30°，∴∠POA=90°-30°=60°.∵AB∥PC，∴∠OAB=∠POA=60°.∴△AOB为等边三角形.∴∠AOB=60°.∴∠BOC=180°-∠POA-∠AOB=60°.∴△BOC为等边三角形.∴∠BCP=60°.答案：C[中考·东营]如图30.1-16，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是BE

的中点，AE⊥CD，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F．考法利用切线的判定定理证明圆的切线3例16⌒试题评析：本题主要考查切线的判定、勾股定理的应用、直角三角形的性质等知识，“见切点，连半径，证垂直”是解题关键.(1)求证：CD是⊙O的切线；证明：如图30.1-16，连接OC.∵点C是BE

的中点，∴BC=CE.∴∠BAC=∠CAE．∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC.∴∠OCA=∠CAE.∴OC∥

AE．∵

AE

⊥CD，∴OC⊥CD.又OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．⌒⌒⌒

[中考·

泸州]如图30.1-17，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=()A.56° B.60°C.68° D.70°考法利用切线长定理进行计算4例17试题评析：本题考查圆内接四边形的性质、切线长定理、等腰三角形的性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．解：如图30.1-17，连接AD.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°.∵∠BAE+∠BCD=236°，∴∠BAE+∠BCD-(∠BAD+∠BCD)=236°-180°=56°，即∠

BAE-∠BAD=56°.∴∠EAD=56°.∵EA，ED是⊙O的切线，∴

EA=ED.∴∠EDA=∠EAD=56°.∴

∠

E=180°-∠

EAD-∠

EDA=180°-56°-56°=68°．答案：C1.已知⊙O的半径是一元二次方程x2-5x-6=0的一个根，圆心O到直线l

的距离d=5，则直线l

与⊙O的位置关系是(

)A.相交

B.相切C.相离

D.相交或相切A2.[中考.福建]如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为AB

的中点，则∠ACM等于(

)A.18° B.30°C.36° D.72°A⌒

B4.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①

PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心.其中正确说法的个数是(

)A.1 B.2C.3 D.4C5.如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，则∠P=________.70°6.[新趋势跨学科中考·北京]如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠

IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI

所成的锐角)的大小为

_______°．437.[新趋势学科内综合中考·广州]已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.点P与圆心O的距离为d，则d

的取值范围是_______；若过点O作OC∥

PA

交直线PB于点C(点C不与点B重合)，线段OC与⊙O交于点D．设PA=x，CD=y，则y

关于x

的函数解析式为__________

．d>6

8.如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm.(1)若以点C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？

(2)若直线AB与半径为r

的⊙C相切，求r的值.解：∵直