【解析几何中最值问题分析1800字】

解析几何中最值问题分析解析几何当中的最值问题内涵丰富、灵活多变，具有较强的综合性，能够考查学生的数学素养和创新思维能力，在高考当中也时常能碰到.利用不等式处理此类问题是一种常见的方法，当题目中有明确的不等式时，则比较好解决，当题目中没有现成的不等式时，往往学生在寻找不等式时，感到有一定的困难，进而无从下手.例题1当点,椭圆的离心率为，是椭圆的焦点，且直线的斜率为，为坐标原点.（1）求出的方程；（2）假设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求出的方程.分析：（1）由直线的斜率为，可求，并结合求得，再利用求，进而可确定椭圆的方程；（2）依题意直线的斜率存在，故可设直线方程为，和椭圆方程联立得.利用弦长公式表示，应用点到直线的距离求的高.从而三角形的面积可表示为关于变量的函数解析式，再求函数最大值及相应的值，故直线的方程确定.解法：（1）设，由条件知，得.又，所以，故的方程.(2)根据题意当轴时不符合题意，故假设直线，设把代入，得出，当，即时，，可得又因为点到直线的距离为，则的面积，假设，则有当且仅当等号成立，并且满足所以当的面积最大时，的方程为：或者.例题2当抛物线的焦点为,是上不同于原点的任意一点，通过点的直线与相交于另一点,同时交轴的正半轴于点,并且有.当点的横坐标是时，是正三角形.（1）求出的方程；（2）当直线，并且和有且只有一个公共点，（i）求证直线过一个定点，并写出此定点的坐标；（ii）问的面积是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由.解法：（1）根据抛物线的定义可得：,或.当时，经检验直线与只有一个交点，不符合题意；的方程是：（i）假设，直线的斜率假设直线的方程是直线与只有一个交点.当时，可得到直线的方程是由于，整理得到直线恒过点.当时，直线的方程为，过点则有直线过定点.（ii）根据(i)可知，直线过焦点,则有假设直线的方程为因为所以代入抛物线方程当中可得，所以可求出所以点到直线的距离是则的面积当且仅当则时，等号成立.所以的面积的最小值为16.例题3当椭圆的焦距是4，且短轴的两端点和长轴的一端点共同组成正三角形.（1）问椭圆的标准方程；（2）当为椭圆的左焦点，是直线上任意的一点，过作的垂线同时交椭圆于点（i）求证：平分线段；（ii）若取最小值时，写出点的坐标.解法：（1）根据条件则有椭圆的标准方程为(2)(i)假设又设中点为由于,则有直线的方程为：.即于是所以即所以三点共线，即平分线段(其中是坐标原点).（ii）所以令则有（当且仅当时可取“=”），所以当最小时，即有或者-1，此时点的坐标是或者.例题4已知分别是椭圆的左、右焦点关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点.(1)求圆的方程；(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为.当最大时，求直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为.当最大时，求直线的方程.解法：（1）先求圆关于直线对称的圆,由题知圆的直径为,所以圆的圆心,半径，圆心与圆心关于直线对称圆的方程为：（2）由（1）知,据题可设直线方程为：.这时直线可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.圆到直线的距离在圆中，由勾股定理得：设直线与椭圆相交于点联立直线与椭圆方程，整理得：由椭圆的焦半径公式得：令在上单调递增，在上单调递减.令当时，取得最大值，这时直线方程为所以当取最大值，直线方程为教法研析：在指导学生解决解析几何最值问题时，首先可以引导学生解决此类型问题一般是利用不等式处理的，从而为学生提供解题思路，增强学生解题信心.在题目中有明确的不等式时，则较好解决，当题目中无现成的不等式时，就需要学生自己寻找不等式，进而求解出问题的答案.在引导解析几何中最值求法时，就需要将函数的思想刻在心中，把求解的问题表示成一变量函数，最后再应用代数方法来解决，此为引导学生解决解析几何当中的最值问题时所用到的的重要方法之一.同时也可以利用方程将方程进行适当的变形，使得其成为某个变量的二次方程，最后再利用二次方程有根的条件限制来求解出相关参数的最值；我们在应用基本不等式求解问题表达式时需要进行恒等变形，进而应用基本不等式求最值，在用此方法的时候应当提醒学生注意讨论等号成立的条件；在应用曲线定义与平面几何知识解决解析几何当中的最值问题时，首先需要利用曲线的定义，再将