2027届高考数学一轮复习7.1空间几何体的结构及其表面积和体积（课件）

考

情

清

单考点真题示例考向6年考频核心素养空间几何体的结构特征和表面积2023新课标Ⅰ，12正方体、圆柱的结构特征5考直观想象数学运算2023新课标Ⅱ，9圆锥的结构特征和表面积2022新高考Ⅱ，7球的表面积2021新高考Ⅱ，42021新高考Ⅰ，3圆锥的母线长考点真题示例考向6年考频核心素养空间几何体的体积2024新课标Ⅰ，5锥体体积的有关计算9考直观想象数学运算2022新课标Ⅰ，82022新高考Ⅱ，112021新高考Ⅰ，20(2)2020新高考Ⅱ，132023新课标Ⅰ，14棱台体积的有关计算2023新课标Ⅱ，142022新高考Ⅰ，42021新高考Ⅱ，5考点真题示例考向6年考频核心素养空间点、线、面的位置关系2025新课标，9棱柱中的垂直、平行3考直观想象2021新高考Ⅰ，122020新高考Ⅰ，16空间组合体考点真题示例考向6年考频核心素养直线、平面平行与垂直的判定与性质2023新课标Ⅰ，18(1)线线平行12考直观想象逻辑推理2024新课标Ⅱ，17(1)线线垂直2023新课标Ⅱ，20(1)2021新高考Ⅰ，20(1)2021新高考Ⅱ，102024新课标Ⅰ，17(1)线面平行2022新课标Ⅱ，20(1)2025新高考Ⅱ，17(1)2025新高考Ⅰ，17(1)面面垂直2021新高考Ⅱ，19(1)2020新高考Ⅰ，20(1)线面垂直2020新高考Ⅱ，20(1)考点真题示例考向6年考频核心素养空间向量及其应用2020新高考Ⅰ，4线面角15考数学运算直观想象逻辑推理2024新课标Ⅱ，72022新高考Ⅰ，92020新高考Ⅰ，20(2)2020新高考Ⅱ，20(2)2025新高考Ⅰ，17(2)考点真题示例考向6年考频核心素养空间向量及其应用2024新课标Ⅰ，17(2)二面角15考数学运算直观想象逻辑推理2024新课标Ⅱ，17(2)2023新课标Ⅰ，18(2)2023新课标Ⅱ，20(2)2022新高考Ⅱ，20(2)2022新高考Ⅰ，19(2)2021新高考Ⅱ，19(2)2025新课标，17(2)2022新高考Ⅰ，19(1)点到平面的距离【命题形式】本章内容为高考必考内容之一，多考查空间几何体的结构特征及表面积与体积的计算，多面体、旋转体与球的切、接问题，线面位置关系的判定和证明、距离、翻折、存在性等比较综合性的问题，若为选择题或填空题，则多考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征、判断线面关系等内容，要求考生有较强的空间想象能力和计算能力，能用转化与化归的思想解题；若为解答题，则考查利用立体几何的知识证明线、面关系，利用空间向量解决立体几何问题(如空间中的位置关系、空间角与距离等)，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题．第一讲空间几何体的结构及其表面积和体积知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形名称棱柱棱锥棱台结构特征①有两个面互相____________，其余各面都是______________.②每相邻两个四边形的公共边都互相________有一个面是__________，其余各面都是有一个公共顶点的__________的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，________和________之间的部分平行且全等平行四边形平行多边形三角形截面底面名称棱柱棱锥棱台侧棱______________相交于________但不一定相等延长线交于________侧面形状________________________________平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形知识点二旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，____于底面相交于________延长线交于________

垂直一点一点名称圆柱圆锥圆台球轴截面全等的________全等的______________全等的__________________侧面展开图________________________

矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环知识点三圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝________S圆锥侧＝________S圆台侧＝_______________2πrlπrlπ(r1＋r2)l知识点四柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积S底h4πR2知识点五直观图直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为_______________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面________.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍_______________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度为______________45°或135°垂直平行于坐标轴不变原来的一半归

纳

拓

展1．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．2．柱体、锥体、台体体积间的关系：台体的体积常化为两锥体体积之差求解．3．多面体的外接球与内切球常用的结论：双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(

)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

)(3)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)×题组二走进教材2．(必修2P119T1)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(

)[答案]

B[答案]

ACD题组三走向考场[答案]

B考点突破·互动探究基本立体图形——自主练透1．(多选题)若正三棱锥V－ABC和正四棱锥V1－A1B1C1D1的所有棱长均为a，将其中两个正三角形侧面△VAB与△V1A1B1按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是(

)A．五面体 B．七面体C．斜三棱柱 D．正三棱柱[答案]

AC[解析]

新的组合体如图所示，故选AC.2．(多选题)(2026·湖南常德起点考试)下列说法中不正确的是(

)A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D．棱台的各侧棱延长后必交于一点[答案]

ABC[解析]

对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错误；对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错误；对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错误；对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确，故选ABC.名师点拨：空间几何体结构特征的判断技巧1．紧扣各种空间几何体的定义及结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．2．说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．【变式训练】(多选题)下列结论错误的是(

)A．过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱[答案]

BCD[解析]

在如图所示的平行六面体中，侧面ADD1A1及侧面BCC1B1都是矩形，且平面ABB1A1及平面DCC1D1都与底面ABCD垂直，故D错误；截面BDD1B1可能为矩形，故A正确；将菱形沿一条对角线折起所得三棱锥各面都是等腰三角形，但该棱锥不一定是正棱锥，故B错误；侧面都是矩形但底面为梯形的直四棱柱不是长方体，故C错误．故选BCD.空间几何体的直观图——师生共研已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(

)[答案]

D[引申]若已知△ABC的平面直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为________.名师点拨：2．在原图形中与x轴或y轴平行的线段，在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．【变式训练】(2025·湖北部分学校开学考)如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与x′轴和y′轴平行)，O′B′＝2O′D′＝6，O′C′＝8，则△OAB的面积为(

)[答案]

C几何体的表面积与侧面积——师生共研[答案]

B2．(2026·河南漯河高中检测)已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于________.名师点拨：空间几何体表面积的求法1．旋转体的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意其轴截面及侧面展开图的应用．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．【变式训练】[答案]

A[答案]

8πR2几何体的体积——多维探究角度1直接利用公式求体积(2025·广西名校模拟)已知正四面体的高等于球O的直径，则正四面体的体积与球O的体积之比为(

)[答案]

A角度2割补法求体积1．(2026·江苏南京调研)与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为________.[答案]

3π2．(2025·北京大兴三模)《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF∥平面ABCD，EF＝2，其余棱长都为1，则这个几何体的体积为(

)[答案]

D角度3等体积法求体积已知三棱台ABC－A1B1C1中，三棱锥A－A1B1C1的体积为4，三棱锥A1－ABC的体积为8，则该三棱台的体积为(

)[答案]

B名师点拨：求空间几何体的体积的常用方法【变式训练】[答案]

A2．(角度2)(2025·浙江数海漫游模拟)已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝2BB′＝4，则四面体AB′CD′的体积是(

)[答案]

A[答案]

14球与几何体的切、接问题——师生共研[答案]

52π[答案]

A名师点拨：几何体外接球问题的处理解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.特别的：1．若四面体的两个面是有公共斜边的直角三角形，则其外接球球心为斜边中点，半径为斜边的一半．2．有三条棱两两垂直或相对的棱相等的四面体可补成长方体或正方体，其外接球半径为体对角线长的一半．3．有一侧棱垂直底面的锥体可补成直棱柱，其球心为棱柱上、下底面外接圆圆心连线的中点，可利用球心到各顶点距离相等求得半径．注意：不共面的四点确定一个球面．几何体内切球问题的处理1．解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．特别提醒：正多面体的中心为其内切球、外接球的球心，并非所有的多面体都有内切球(或外接球)．【变式训练】如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AV＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为(

)[答案]

C名师讲坛·素养提升最值问题1．(2025·广东中山一中等四校联考)圆锥顶点A，底面半径为1，母线AB＝4，AB的中点为M，一只蚂蚁从底面圆周上的点B绕圆锥侧面一周到达M的最短路线中，其中下坡路的长是(

)[答案]

B2．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(

)[答案]

C3．(2026·广西邕衡名校联盟调研)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，其中AB＝AC，BC＝2，AB⊥AC，点P为球O上一个动点，则三棱锥P－ABC体积的最大值为(

)[答案]

B名师点拨：立体几何中最值问题的解法1．观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．2．设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．3．几何体表面两点间路程最值问题，“展平”处理．转化为平面内两点间距离问题．【变式训练】1．(2025·安徽一模)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝5，E，F，G分别为侧棱BB1，CC1，DD1上一点，则AE＋EF＋FG＋GA1的最小值为(

)[答案]

A2．(2025·浙江名校协作体开学考试)已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为(

)[答案]

C提能训练练案[39]A组基础巩固一、单选题1．(2026·河南郑州模拟改编)下列说法中，正确的为(

)A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥[答案]

D[解析]

有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点在底面的射影不一定为底面等边三角形的中心，所以C错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确．故选D.[答案]

C3．(2025·浙江强基联盟联考)已知底面半径为2的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥SO侧面积的比值为(

)[答案]

C[答案]

C5．(2026·广东汕头期中调研)图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器ABC－A1B1C1，现往内灌进一些水，设水深为h.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为△A1B1C，如图2，则h＝(

)[答案]

B[答案]

C7．(2026·河南商丘九师联盟开学考试)已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥P－AMN，则三棱锥P－AMN外接球的表面积为(

)A．24π B．18πC．12π D．6π[答案]

A8．(2026·山西长治质检)已知三棱锥P－ABC的底面是边长为5的正三角形，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则三棱锥P－ABC的体积为(

)[答案]

B[答案]

B10．(2025·广东六校联考)将半径为R的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为(

)[答案]

B二、多选题11．(2026·河北邯郸模拟)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之