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2025年大学必修课概率论与数理统计期末考试题及答案一、单项选择题（每小题4分，共20分。每题只有一个正确答案，请将正确选项的字母填在题后括号内）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则下列关于X的方差说法正确的是（）A.与期望无关B.等于C.等于λD.等于12.设X∼N(0,A.标准正态分布B.自由度为1的卡方分布C.自由度为2的卡方分布D.指数分布3.设,,…,为来自总体N(μA.NB.NC.ND.t4.在假设检验中，若显著性水平α增大，则（）A.第一类错误概率减小B.第二类错误概率增大C.检验功效增大D.拒绝域减小5.设二维随机变量(Xf(x则P(A.1B.1C.1D.2【答案】1.C2.B3.B4.C5.C二、多项选择题（每小题5分，共15分。每题有两个或两个以上正确答案，多选、少选、错选均不得分）6.下列关于相关系数的说法正确的有（）A.若=0，则XB.若X,YC.若Y=aD.相关系数具有对称性，即=7.设,,…,为来自总体UA.是θ的充分统计量B.是θ的最大似然估计C.ED.是θ的无偏估计8.设总体X∼N(μ,:的检验，下列说法正确的有（）A.检验统计量为TB.拒绝域为|C.当n很大时，可用z检验近似D.若为真，则T服从自由度为n的t分布【答案】6.BCD7.ABC8.ABC三、填空题（每小题4分，共20分）9.设随机变量X的密度函数为f(x其中θ>0未知，则10.设X∼B(n,p)，若E11.设,,…,为来自N(μ12.设随机变量X的矩母函数为(t)=exp213.设总体X的密度函数为f则θ的Fisher信息量为I(【答案】9.−10.n11.0.9512.313.四、计算题（共30分）14.（10分）设二维随机变量(Xf(x（1）求常数k；（2）求边缘密度函数(x（3）求条件密度函数(y（4）求E[【解答】（1）由归一性∈（2）(（3）(（4）E15.（10分）设总体X的密度函数为f（1）求θ的最大似然估计θ^（2）判断θ^【解答】（1）似然函数L对数似然ℓ令导数为零=（2）计算期望：令=−ln，则∼E可见θ^θ则E[16.（10分）某生产线袋装奶粉标称质量为500g。随机抽取16袋测得平均质量x¯=498.2g【解答】检验假设:检验统计量T单侧拒绝域T<因−1.8<−五、综合应用题（共15分）17.（15分）某城市共享单车系统每日故障数X服从泊松分布，参数λ未知。随机抽取50天的数据，得总故障数∑=（1）求λ的最大似然估计λ^（2）构造λ的近似95置信区间；（3）若管理部门希望故障率不超过8次/天，请基于上述数据给出检验结论（α=【解答】（1）似然函数L解得λ^由MLE渐近正态性，λ（2）用λ

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