2023-2024学年新疆阿克苏一中高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年新疆阿克苏一中高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）A．14 B．64 C．72 D．802．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2+a5+a8＝30，则S9＝（）A．30 B．60 C．90 D．1803．（5分）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；③某派出所一天内接到的报警电话次数X；④某同学上学路上离开家的距离Y．其中是离散型随机变量的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中．已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且ŷ=0.8x+â，现有一对测量数据为（30，色差x21232527色度y15181920A．23.4 B．23.6 C．23.8 D．24.05．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，则f（x）的极小值点为（）A．﹣3 B．1 C．6e﹣3 D．﹣2e6．（5分）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（）A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.687．（5分）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的16A．1600 B．1800 C．2100 D．24008．（5分）通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有15的男大学生“不看”，有2附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+α0.150.10.050.0250.010.001xα2.0722.7063.8415.0246.63510.828A．225人 B．227人 C．228人 D．230人二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）关于递减等比数列{an}，下列说法正确的是（）A．当a1＞0时，0＜q＜1 B．当a1＞0时，q＜0 C．当a1＜0时，q＞1 D．a（多选）10．（6分）若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（）A．X～B(5，35) C．X的数学期望E（X）＝3 D．X的方差D(X)=（多选）11．（6分）已知函数f(x)=−xA．f（x）的极值点为(1，−1B．f（x）的最小值为−1C．f（x）有两个零点 D．直线y=1e2x−4e2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）曲线y＝（x2+x）lnx+2在点（1，2）处的切线方程为．13．（5分）由0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有个．14．（5分）在数列{an}中，a1＝1，且2an+1+1=1a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知二项式(2−x（1）求展开式的第5项的二项式系数；（2）求展开式中含x4的项．16．（15分）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b．（1）求ξ，η的分布列；（2）请根据射击环数的期望及方差来分析甲、乙的射击技术．17．（15分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝an+3n﹣3，求{bn}的前n项和Tn．18．（17分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成[1.2，1.3]，（1.3，1.4]，（1.4，1.5]，（1.5，1.6]，（1.6，1.7]，（1.7，1.8]这6组，得到如下的频数分布表：分组[1.2，1.3]（1.3，1.4]（1.4，1.5]（1.5，1.6]（1.6，1.7]（1.7，1.8]频数5154040155以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．（1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在（1.4，1.6]中的个数，求X的分布列和数学期望；（2）若变量S满足|P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）﹣0.6827|≤0.05，且|P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）﹣0.9545|≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布N（1.5，0.01）的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？19．（17分）已知函数f(x)=a(e（1）若a＝1，证明：f（x）≥0：（2）若∀x1∈（0，+∞），x2∈（0，+∞）（x1≠x2），都有f(x1)−f(

2023-2024学年新疆阿克苏一中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）A．14 B．64 C．72 D．80【考点】排列组合的综合应用．【答案】B【分析】按照分步乘法计数原理计算可得．【解答】解：因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有4×8×2＝64种．故选：B．2．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2+a5+a8＝30，则S9＝（）A．30 B．60 C．90 D．180【考点】等差数列的前n项和．【答案】C【分析】根据等差数列项的性质求出a5，再利用中间项求S9．【解答】解：等差数列{an}中，a2+a5+a8＝2a5+a5＝3a5＝30，解得a5＝10，所以S9=9(a1+a故选：C．3．（5分）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；③某派出所一天内接到的报警电话次数X；④某同学上学路上离开家的距离Y．其中是离散型随机变量的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】随机事件．【答案】B【分析】利用离散型随机变量的定义直接求解．【解答】解：由离散型随机变量的定义得：对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机量．综上，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选：B．4．（5分）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中．已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且ŷ=0.8x+â，现有一对测量数据为（30，色差x21232527色度y15181920A．23.4 B．23.6 C．23.8 D．24.0【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】A【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方式求解â，再求出x＝30时的y【解答】解：x=21+23+25+274则样本点的中心的坐标为（24，18），代入ŷ得18=0.8×24+â，可得∴ŷ=0.8x−1.2，当x＝30时，可得m＝22.8+0.6＝23.4．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，则f（x）的极小值点为（）A．﹣3 B．1 C．6e﹣3 D．﹣2e【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】B【分析】f（x）的定义域为R，求导得f′（x）＝（x+3）（x﹣1）ex，分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，极值点，即可得出答案．【解答】解：f（x）的定义域为R，f′（x）＝2xex+（x2﹣3）ex＝（x2+2x﹣3）ex＝（x+3）（x﹣1）ex，所以在（﹣∞，﹣3）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（﹣3，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x＝1是f（x）的极小值点，故选：B．6．（5分）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（）A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.68【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【答案】C【分析】根据题意由全概率公式可解．【解答】解：根据题意可设事件A＝“甲正点到达目的地”，事件B＝“甲乘动车到达目的地”，事件C＝“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P（C）＝0.3，P（B）＝0.5，P（A|B）＝0.8，P（A|C）＝0.6．由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）＝0.5×0.8+0.3×0.6＝0.4+0.18＝0.58．故选：C．7．（5分）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的16A．1600 B．1800 C．2100 D．2400【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】D【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：因为数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），且数学成绩高于120分的人数占总人数的16所以数学成绩底于80分的人数占总人数的16所以数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数占总人数的12又因为数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，所以估计参加本次联考的总人数约为8001故选：D．8．（5分）通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有15的男大学生“不看”，有2附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+α0.150.10.050.0250.010.001xα2.0722.7063.8415.0246.63510.828A．225人 B．227人 C．228人 D．230人【考点】独立性检验．【答案】C【分析】由题意可进行独立性检验，对卡方的计算化简可得χ2=2m【解答】解：设男女大学生各有m人，根据题意画出2×2列联表，如下图：看不看合计男4515m女3525m合计75352m所以χ2因为有99.9%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以2m21＞10.828，解得2故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）关于递减等比数列{an}，下列说法正确的是（）A．当a1＞0时，0＜q＜1 B．当a1＞0时，q＜0 C．当a1＜0时，q＞1 D．a【考点】等比数列的性质．【答案】AC【分析】根据等比数列的通项公式判断即可．【解答】解：A．当a1＞0，0＜q＜1时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列{an}递减，A正确；B．当a1＞0，q＜0时，{an}为摆动数列，故B错误；C．当a1＜0，q＞1时，数列{an}为递减数列，故C正确；D．由数列{an}为递减数列可知，an+1−an=a1qn−1(q−1)＜0，当a1＞0时，q＜1，此时a故选：AC．（多选）10．（6分）若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（）A．X～B(5，35) C．X的数学期望E（X）＝3 D．X的方差D(X)=【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．【答案】ACD【分析】由题意可知5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，故可确定X～B(5，35)，即可判断A；由此可计算P(X=2)=144625，即可判断B【解答】解：由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为35取到白球记1分，取到黑球的概率为25则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，知X～B(5，35)P(X=2)=C52X的数学期望E(X)=5×35=3X的方差D(X)=5×35×(1−故选：ACD．（多选）11．（6分）已知函数f(x)=−xA．f（x）的极值点为(1，−1B．f（x）的最小值为−1C．f（x）有两个零点 D．直线y=1e2x−4e2【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】BD【分析】利用导数与函数的极值（最值）的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断C；利用导数的几何意义求得f（x）在x＝2处的切线方程，从而得以判断．【解答】解：因为f(x)=−xex令f′（x）＜0，得x＜1；令f′（x）＞0，得x＞1；所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增；所以f（x）在x＝1处取得唯一极小值，也是f（x）的最小值，所以f（x）的极值点为x＝1，f(x)min=f(1)=−1e因为f(0)=0，f(1)=−1e＜0，结合f（x）在（﹣∞，1）上的单调性，可知x＝0是f当x＞1时，ex＞0恒成立，故f(x)=−xex＜0恒成立，所以综上：f（x）只有一个零点，故C错误；因为f(2)=−2e2所以f（x）在x＝2处的切线方程为y+2e2=1故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）曲线y＝（x2+x）lnx+2在点（1，2）处的切线方程为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】y＝2x．【分析】先对原函数求导，再令x＝1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．【解答】解：曲线y＝（x2+x）lnx+2，可得y′＝（2x+1）lnx+（x2+x）•1x=（2x+1）lnx+y′|x＝1＝2，所以k＝2，切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x．故答案为：y＝2x．13．（5分）由0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有个．【考点】数字问题．【答案】见试题解答内容【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案．【解答】解：因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则当0排在第6位时，共有C5当0排在第5位时，共有C4当0排在第4位时，共有C3故这样的七位数共有60+24+6＝90（个）．故答案为：90．14．（5分）在数列{an}中，a1＝1，且2an+1+1=1a【考点】等差数列通项公式的应用；等差数列的概念与判定．【答案】2n【分析】分析可知{2na【解答】解：因为2an+1+1可知{2na可得2nan故答案为：2n四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知二项式(2−x（1）求展开式的第5项的二项式系数；（2）求展开式中含x4的项．【考点】二项式定理．【答案】（1）126；（2）18x4．【分析】（1）根据项数可求得n＝9，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可；（2）由（1）中的n＝9，求出通项，使x的幂次为4，求出含x4的项即可．【解答】解：（1）因为二项式的展开式中共有10项，所以n＝9，所以第5项的二项式系数为C9（2）由（1）知n＝9，记含x4的项为第r+1项，所以Tr+1取r2=4，解得r＝8，所以故展开式中含x4的项为18x4．16．（15分）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b．（1）求ξ，η的分布列；（2）请根据射击环数的期望及方差来分析甲、乙的射击技术．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）分布列见解析；（2）甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定．【分析】（1）根据概率和为1求a，b，进而可得分布列；（2）根据分布列分别为期望和方差，对比分析即可．【解答】解：（1）因为0.2+2a+a+0.2＝1，解得a＝0.2；因为0.3+0.3+2b＝1，解得b＝0.2，则ξ的分布列为：ξ10987P0.40.20.20.2η的分布列为：η10987P0.30.30.20.2（2）由（1）得E（ξ）＝10×0.4+9×0.2+8×0.2+7×0.2＝8.8，D（ξ）＝（10﹣8.8）2×0.4+（9﹣8.8）2×0.2+（8﹣8.8）2×0.2+（7﹣8.8）2×0.2＝1.36；E（η）＝10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2＝8.7，D（η）＝（10﹣8.7）2×0.3+（9﹣8.7）2×0.3+（8﹣8.7）2×0.2+（7﹣8.7）2×0.2＝1.21．因为E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）．说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定．17．（15分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝an+3n﹣3，求{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝3n﹣1，n∈N*；（2）3n【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可推导出an+1an=3，再根据数列{an}是等比数列可得a2a1=3，然后将（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列求和公式的运用，即可计算出数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由题意，当n⩾2时，an＝Sn﹣Sn﹣1=a化简整理，可得an+1∵数列{an}是等比数列，∴当n＝1时，a2a1=3也成立，即a2又∵当n＝1时，a1∴将a2＝3a1代入a1=a2∴an=1×3n−1=（2）由（1）可得，bn则Tn＝b1+b2+b3+⋯+bn＝（30+3×1﹣3）+（31+3×2﹣3）+（32+3×3﹣3）+…+（3n﹣1+3n﹣3）＝（30+31+32+…+3n﹣1）+3×（1+2+3+…+n）﹣3n＝（30+31+32+…+3n﹣1）+3×[1+2+3+…+（n﹣1）]=1−=318．（17分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成[1.2，1.3]，（1.3，1.4]，（1.4，1.5]，（1.5，1.6]，（1.6，1.7]，（1.7，1.8]这6组，得到如下的频数分布表：分组[1.2，1.3]（1.3，1.4]（1.4，1.5]（1.5，1.6]（1.6，1.7]（1.7，1.8]频数5154040155以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．（1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在（1.4，1.6]中的个数，求X的分布列和数学期望；（2）若变量S满足|P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）﹣0.6827|≤0.05，且|P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）﹣0.9545|≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布N（1.5，0.01）的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；几何概型．【答案】（1）分布列见解析，E（X）＝2；（2）能．【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，