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文档简介

2022年上海市高考数学试卷

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)

双曲线的实轴长为.

1.2

�2

9−�=1

2.函数的周期为.

22

��=cos�−sin�+1

3.已知,行列式的值与行列式的值相等,则=.

�1�0

�∈��

3241

4.已知圆柱的高为,底面积为,则圆柱的侧面积为.

49�

5.﹣,﹣,求=的最小值.

��≤0�+�1≥0��+2�

6.二项式的展开式中,项的系数是常数项的倍,则=.

�2

3+��5�

7.若函数2,为奇函数,求参数的值为.

��−1�<0

��=�+��>0�

0�=0

8.为了检测学生的身体素质指标,从游泳类项,球类项,田径类项共项项目中随机抽取项进

行检测,则每一类都被抽到的概率为.

13484

9.已知等差数列的公差不为零,为其前项和,若,则中不同的数值有个.

������5=0���=0,1,2,…,100

10.若平面向量,且满足,,,则=.

→→→→→→→→→

�=�=�=��⋅�=0�⋅�=2�⋅�=1�

11.设函数满足对任意都成立,其值域是,已知对任何满足上述条件的

1

都有����=�1+�,则�∈的[取0,+值∞范)围为.��

二、选择题(本题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.

��{�|�=��,0≤�≤�}=���

1.若集合=﹣,=,则=()

A.﹣﹣B.﹣C.﹣D.﹣

�[1,2)���∩�

{2,1,0,1}{1,0,1}{1,0}{1}

2.若实数、满足>>,下列不等式中恒成立的是()

A.��B.��0C.D.

��

�+�>2���+�<2��2+2�>2��2+2�<2��

3.如图正方体中,、、、分别为棱、、、的中点,联结

,.空间任意两点、,若线段上不存在点在线段、上,则称两点可视,则下列

��𝐵−�1�1�1�1����������1𝐵

选项中与点可视的为()

�1��1������1��1���

�1

第1页|共20页

A.点B.点C.点D.点

����

4.设集合

①存在直线,使得集合中2不存在点在22上,而存在点在两侧;

�=�,��−�+�−�=4�|,�∈�

②存在直线,使得集合中存在无数点在上;()

����

A.①成立②成立B.①成立②不成立

���

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

三、解答题(本大题共有5题,满分76分).

1.如图所示三棱锥,底面为等边,为边中点,且底面,==.

△��������⊥�������2

(1)求三棱锥体积;

��−���

(2)若为中点,求与面所成角大小.

��������

2..

(1)若将函数图像向下移后,图像经过,,求实数,的值.

��=log3�+�+log36−�

����>03,05,0��

(2)若﹣且,求解不等式﹣.

�>3�≠0��≤�6�

3.如图,在同一平面上,==,=,为中点,曲线上任一点到距离相等,

==,,关于对称,;

𝐵��6��20���𝐵�

∠���∠���120​������⊥��

第2页|共20页

(1)若点与点重合,求的大小;

��∠���

(2)在何位置,求五边形面积的最大值.

�������

设有椭圆方程,直线,下端点为,在上,左、右焦点分

4.22

��

22

别为�、:�+�=1.�>�>0�:�+�−42=0����

�1−2,0�22,0

(1)=,中点在轴上,求点的坐标;

�2����

(2)直线与轴交于,直线经过右焦点,在中有一内角余弦值为,求;

3

������2△���5�

(3)在椭圆上存在一点到距离为,使,随的变化,求的最小值.

������1+��2+�=6��

5.数列对任意且,均存在正整数﹣,满,,.

(1)求可能值;∗

���∈��≥2�∈[1,�1]��+1=2��−���1=1�2=3

�4

(2)命题:若成等差数列,则,证明为真,同时写出逆命题,并判断命题是真

是假,说明理由;

��1,�2,⋯,�8�9<30����

(3)若,成立,求数列的通项公式.

�∗

�2�=3�∈���

第3页|共20页

参考答案与试题解析

2022年上海市高考数学试卷

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)

1.

【答案】

【考点】

6

双曲线的简单几何性质

【解析】

根据双曲线的性质可得=,实轴长为=.

【解答】

�32�6

解:由双曲线,可知:=,

2

�2

所以双曲线的实9−轴�长=1=.�3

故答案为:.

2�6

2.

6

【答案】

【考点】

三角函数的周期性

【解析】

由三角函数的恒等变换化简函数可得,从而根据周期公式即可求值.

【解答】

��=cos2�+1

解:

22

�2�=co2s�−si2n�+12

=cos�2−si,n�+cos�+sin�

=2cos�

=cos2�+.1

2�

�故=答案2=为:�.

3.

【答案】

【考点】

3

二阶行列式的定义

【解析】

根据行列式所表示的值求解即可.

【解答】

解:因为=﹣,,

�1�0

所以﹣=,解2�得3=.=�

3241

故答案为:.

2�3��3

4.

3

【答案】

【考点】

24�

第4页|共20页

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

旋转体(圆柱、圆锥、圆台)

【解析】

由底面积为解出底面半径=,再代入侧面积公式求解即可.

【解答】

9��3

解:因为圆柱的底面积为,即=,

所以=,2

9���9�

所以�侧=3=.

故答案�为:2��ℎ.24�

5.

24�

【答案】

【3考点】

简2单线性规划

【解析】

根据已知条件作出可行域,再求目标函数的最小值即可.

【解答】

解:如图所示:

由,,可知可行域为直线﹣=的左上方和﹣=的右上方的公共部分,

�−�≤0�+�−1≥0��0�+�10

联立,可得1,即图中点,

�−�=0�=211

1�2,2

�+�−1=0�=2

当目标函数=沿着与正方向向量=的相反向量平移时,离开区间时取最小值,

��+2��1,2

即目标函数=过点时,取最小值:.

11113

��+2��2,22+2×2=2

故答案为:.

3

6.2

【答案】

10

第5页|共20页

【考点】

二项式定理及相关概念

【解析】

由题意,利用二项式展开式的通项公式,求得的值.

【解答】

解:二项式的展开式中,项的系数是常数项的倍,

�2

即∵3+�,即�,5

2�−20���−1

��=×3,=5��×32=5×9

故答案为:.

∴�10

7.

10

【答案】

【考点】

1

分段函数的应用

函数奇偶性的性质

【解析】

(1)由题意,利用奇函数的定义可得,故有,由此求得的值.

【解答】

�−�=−���−1=−�1�

解:函数2,为奇函数,,

��−1�<0

∵��=�+��>0∴�−�=−��

,,即,求得或.

0�=0

2

∴�−1=−�1∴−�−1=−�+1��−1=0�=0�=1

当时,,不是奇函数,故;

−1,�<0

�=0��=0,�=0�≠0

�,�>0

当时,,是奇函数,故满足条件,

�−1,�<0

�=1��=0,�=0

综上,,�+1,�>0

故答案为:.

�=1

8.

1

【答案】

【3考点】

古7典概型及其概率计算公式

【解析】

由题意,利用古典概率的计算公式,计算求得结果.

【解答】

解:从游泳类项,球类项,田径类项共项项目中随机抽取项进行检测,则每一类都被抽到的

方法共有种,

13484

而所有的抽1取方1法共2有1种,21

�1⋅�3⋅�4+�1⋅�3⋅�4

4

故每一类都被抽到的概率�8为,

112121

�1⋅�3⋅�4+�1⋅�3⋅�4303

4

�8=70=7

第6页|共20页

故答案为:.

3

9.7

【答案】

【考点】

98

等差数列的前n项和

【解析】

由等差数前项和公式求出=﹣,从而,由此能求出结果.

�2

【解答】��12���=2�−5�

解:等差数列的公差不为零,为其前项和,,

∵��,解得��,��5=0

5×4

∴�5=5�1+2�=0�1=−2�

��−1��−1�2

∴��=�,�1+2�=−2��+中2�=2�,−5�

,,

∵�≠0∴���=0,1,2,…,100�0=�5=0

其余各项均不相等,

�2=�3=−3��1=�4=−2�

中不同的数值有:﹣=.

故答案为:.

∴���=0,1,2,…,100101398

10.

98

【答案】

4

【考点】

5

平面向量数量积的性质及其运算

【解析】

利用平面向量的数量积进行分析,即可得出结果.

【解答】

解:由题意,有,则,设,

→→→→→→

�⋅�=0�⊥�⟨�,�⟩=�

→→

→→

��cos�=2,①

→�⋅�=2→→

→⇒�

�⋅�=1��cos−�=1,②

则得,,2

②1

①tan�=2

由同角三角函数的基本关系得:,

25

cos�=5

则,

→→→→25

�⋅�=,则��cos�.=�⋅�⋅5=2

4

故2答案为:.

�=54�=5

11.

5

【答案】

第7页|共20页

5−1

【考点】,+∞

2

函数的值域及其求法

函数的定义域及其求法

【解析】

由题可得,再根据时不合题意,进而即得;或等价于恒

5−15−11

�∣�=��,0≤�≤2=���<21+�+�≤�

成立,即恒成立,进而即得.

1

【解答】�−1+�≤�

解:法一:令,解得(负值舍去),

15−1

�=�+1�=2

当时,,

5−115−1

�1∈0,2�2=�1+1∈2,1

当时,,

5−115−1

�1∈2,+∞�2=�1+1∈0,2

且当时,总存在,使得,

5−115−1

�1∈2,+∞�2=�1+1∈0,2��1=��2

故,

5−1

�∣�=��,0≤�≤2=��

若,易得,

5−15−1

�<2�2∉{�∣�=��,0≤�≤�}

所以,

5−1

�≥2

即实数的取值范围为;

5−1

�2,+∞

法二:原命题等价于任意,,

1

�>0��+�=�1+�+�

所以恒成立,

11

1+�+�≤�⇒�≥�−1+�

即恒成立,又>,

1

�−1+�≤0�0

所以,

5−1

�≥2

即实数的取值范围为.

5−1

�2,+∞

故答案为:.

5−1

二、选择题(本2题,+共∞有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.

1.

【答案】

B

【考点】

第8页|共20页

交集及其运算

【解析】

根据集合的运算性质计算即可.

【解答】

解:=﹣,,

=﹣,

∵�[1,2)�=�

故选:B.

∴�∩�{1,0,1}

2.

【答案】

A

【考点】

基本不等式及其应用

【解析】

利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解.

【解答】

解:因为>>,所以,当且仅当=时取等号,

又>>,所以,故A正确,B错误,

��0�+�≥2����

��0�+�>2,�当�且仅当,即=时取等号,故CD错误,

���

故2+选2:�A≥.22×2�=2��2=2��4�

3.

【答案】

D

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】

线段上不存在点在线段、上,即直线与线段、不相交,因此所求与可视的点,

即求哪条线段不与线段、相交,再利用共面定理,异面直线的判定定理即可判断.

���1��1����1��1��1

【解答】

�1��1�

解:线段上不存在点在线段、上,即直线与线段、不相交,

因此所求与可视的点,即求哪条线段不与线段、相交,

���1��1����1��1�

对A选项,如图,连接、、,因为、分别为、的中点,

�1�1��1�

易证,故、、、四点共面,与相交,A错误;

�1����1�����𝐵

∴�1�1//���1�1��∴�1��1�∴

对B、C选项,如图,连接、,易证、、、四点共面,

故、都与相交,B、C错误;

�1����1�1��

�1��1��1�∴

第9页|共20页

对D选项,连接,由A选项分析知、、、四点共面记为平面,

平面,平面,且平面,点,

�1��1�1���1�1��

与为异面直线,

∵�1∈�1�1���∉�1�1���1�⊂�1�1���1∉�1�

同理由B,C选项的分析知、、、四点共面记为平面,

∴�1��1�

平面,平面,且平面,点,

�1�1���1�1𝐵

与为异面直线,

∵�1∈�1�1𝐵�∉�1�1𝐵�1�⊂�1�1𝐵�1∉�1�

故与,都没有公共点,D选项正确.

∴�1��1�

�1��1��1�∴

故选:D.

4.

【答案】

B

【考点】

直线与圆的位置关系

【解析】

分=,>,<,求出动点的轨迹,即可判定.

【解答】

�0�0�0

解:当=时,集合,

当>时,集合222,

�0�=�,��−�+�−�=4�|,�∈�={0,0}

表示圆心为,半径为的2圆,22

�0�=�,��−�+�−�=4�|,�∈�

圆的圆心在直线2上,半径单调递增,

�,��=2�

2

相邻两个圆的圆心�=距��=��=2�,相邻两个圆的半径之和为

22222

,�=�+1−�+�+1−�=4�+4�+2�=

因为>有解,故相邻两个圆之间的位置关系可能相离,

2�+2�+1

当<时,同>的情况,故存在直线,使得集合中不存在点在上,而存在点在两侧,故①正确,

��

若直线斜率不存在,显然不成立,

�0�0����

设直线,若考虑直线与圆的焦点个数,

222

,,�−�

�:�=2��+��+�−�=4�

��+�−�

2

�=�+1�=2�

第10页|共20页

给定,,当足够大时,均有>,

故直线只与有限个圆相交,②错误.

�����

故选:B.

三、解答题(本大题共有5题,满分76分).

1.

【答案】

解:(1)在三棱锥﹣中,因为底面,所以,

又为边中点,所以为等腰三角形,

������⊥�����⊥��

又==.所以是边长为的为等边三角形,

���△���

����,2三棱锥△体�积��2.

1132

∴(2�)�以=为3坐标原点,�为�−�轴��,=3�为△��轴�,⋅��=为3×轴,4建×2立空×间3直=角1坐标系,

����������

则,,,,

31

�0,0,3�3,0,0�0,1,0�2,2,0

→31

��=2,2,−3

平面的法向量,

设直线���与平面��所=成角3,为0,0,

������

则直线与平面所成角的正弦值为→→3,

��⋅��23

→→

�����sin�=��⋅��=3×2=4

所以与面所成角大小为.

3

【考点��】���arcsin4

棱柱、棱锥、棱台的体积

直线与平面所成的角

【解析】

(1)直接利用体积公式求解;

(2)以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求得平面的法向量,

即可求解.

�������������

【解答】

解:(1)在三棱锥﹣中,因为底面,所以,

又为边中点,所以为等腰三角形,

������⊥�����⊥��

又==.所以是边长为的为等边三角形,

���△���

����2△���2

第11页|共20页

,三棱锥体积.

1132

∴(2�)�以=为3坐标原点,�为�−�轴��,=3�为△��轴�,⋅��=为3×轴,4建×2立空×间3直=角1坐标系,

����������

则,,,,

31

�0,0,3�3,0,0�0,1,0�2,2,0

→31

��=2,2,−3

平面的法向量,

设直线���与平面��所=成角3,为0,0,

������

则直线与平面所成角的正弦值为→→3,

��⋅��23

→→

�����sin�=��⋅��=3×2=4

所以与面所成角大小为.

3

2.�����arcsin4

【答案】

解:(1)因为函数,

将函数图像向下移后,得=﹣=的图像,

��=log3�+�+log36−�

由函数图像经过点和,

����>0����log3�+�+log36−�−�

所以3,05,0,

log33+�+1−�=0

解得=﹣,=.

log35+�+0−�=0

(2)﹣且时,不等式﹣可化为

�2�1

�>3�≠0��≤�6�log3�+�+log36−�≤log3�+6−�+

log3�

等价于�+�>0解得�>−�,

6−�>0�<6

�+6−�>0�<�+6

当﹣<�<>0时,<﹣<,<<,�解>不0等式得﹣<,

�+�6−�≤��+6−���−3≥0

当>时,﹣<,>,解不等式得<;

3�00�33�+66��≤3

综上知,﹣<<时,不等式﹣的解集是﹣,

�0�0�+663≤�6

>时,不等式﹣的解集是.

3�0��≤�6�(�,3]

【考点】

�0��≤�6�[3,6)

对数函数的图象与性质

第12页|共20页

不等式恒成立的问题

【解析】

(1)写出函数图像下移个单位后的解析式,把点的坐标代入求解即可得出和的值.

(2)不等式化为,写出等价不等式组,求出解集即可.

���

【解答】

log3�+�+log36−�≤log3�+6−�+log3�

解:(1)因为函数,

将函数图像向下移后,得=﹣=的图像,

��=log3�+�+log36−�

由函数图像经过点和,

����>0����log3�+�+log36−�−�

所以3,05,0,

log33+�+1−�=0

解得=﹣,=.

log35+�+0−�=0

(2)﹣且时,不等式﹣可化为

�2�1

�>3�≠0��≤�6�log3�+�+log36−�≤log3�+6−�+

log3�

等价于�+�>0解得�>−�,

6−�>0�<6

�+6−�>0�<�+6

当﹣<�<>0时,<﹣<,<<,�解>不0等式得﹣<,

�+�6−�≤��+6−���−3≥0

当>时,﹣<,>,解不等式得<;

3�00�33�+66��≤3

综上知,﹣<<时,不等式﹣的解集是﹣,

�0�0�+663≤�6

>时,不等式﹣的解集是.

3�0��≤�6�(�,3]

3.

�0��≤�6�[3,6)

【答案】

解:(1)点与点重合,由题意可得,,,

由余弦定理可�得���=10��=6∠���=120,

2221

��=��+��−2��⋅��cos∠���=36+100−2×6×10×−2)=196

所以=,在中,由正弦定理得,

����

sin120sin∠���

所以��14,△解�得��,=

14633

3

sin∠���14

2=sin∠���=

所以的大小为;

33

∠���arcsin14

(2)如图,连结,,,,

曲线上任意一点到距离相等,

��������

====,

∵�𝐵�

,关于对称,

∴��������14

点在劣弧中点或劣弧的中点位置,,

∵����

∴则�����,�△���=�△���=�

∠���=∠���=�△���=2−�

第13页|共20页

则五边形面积

=�=2�△���+�△���

1�1

=2⋅��⋅��⋅sin−�+⋅��⋅��⋅sin�

222

196sin�+140cos,�其中,

5

=2874sin�+�tan�=7

当时,五边形取最大值,

五sin边�形+�=1面积�的最大�值���为�.2874

∴������2874

【考点】

余弦定理

正弦定理

扇形面积公式

【解析】

(1)在中,直接利用余弦定理求出,再结合正弦定理求解;

(2)利用五边形的对称性,将所求的面积化为四边形的面积计算问题,充分利用圆弧的性

△�����

质,找到最大值点,从而解决问题.

𝐵�������

【解答】

解:(1)点与点重合,由题意可得,,,

由余弦定理可�得���=10��=6∠���=120,

2221

��=��+��−2��⋅��cos∠���=36+100−2×6×10×−2)=196

所以=,在中,由正弦定理得,

����

sin120sin∠���

所以��14,△解�得��,=

14633

3

2=sin∠���sin∠���=14

所以的大小为;

33

∠���arcsin14

(2)如图,连结,,,,

曲线上任意一点到距离相等,

��������

====,

∵�𝐵�

,关于对称,

∴��������14

点在劣弧中点或劣弧的中点位置,,

∵����

∴������△���=�△���=�

第14页|共20页

则,

则五∠�边��形=面∠积���=�△���=2−�

=�=2�△���+�△���

1�1

=2⋅��⋅��⋅sin−�+⋅��⋅��⋅sin�

222

196sin�+140cos,�其中,

5

=2874sin�+�tan�=7

当时,五边形取最大值,

五sin边�形+�=1面积�的最大�值���为�.2874

∴������2874

4.

【答案】

解:(1)由题意可得,,

,�=2,�=�=2

22

��

�:4+的2=中点1在�轴0,上−,2 

的纵坐标为,

∵���

代入得.

∴�2

(2)由直线方程可知,

�+�−42=0�32,2

①若,则�0,42,即,

344

cos∠���=5tan∠���=3tan∠���2=3

33

∴��=4��2=42

3

∴�=42

②若,则,

34

cos∠���=5sin∠���=5

,,

�23242

∵∠���=4∴cos∠���+∠���=2×5−2×5=−10 

,.

2

∴cos∠���=10∴tan∠���=7

即,,,

22

tan∠���2=7∴��=7∴�=7

综上或.

32

(3)�设=427,

由点到直�线�距��离��公,�式���可�得,

�cos�+�sin�−42

2=6−2�

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很明显椭圆在直线的左下方,则,

�cos�+�sin�−42

即−2,=6−2�

22

42−�+,�sin�+�=62−22�,

222​

据∵此�可=得�+2∴2�−2sin�,+�=22�−22,

22�−2

2

�−1sin�+�=2�−2sin�+�=�−1≤1

整理可得﹣﹣,即,

5

�13�5≤01≤�≤3

从而.

58

�=6−2�≥6−2×3=3

即的最小值为.

8

【考�点】3

直线与圆锥曲线的关系

椭圆的定义和性质

直线与椭圆结合的最值问题

点到直线的距离公式

【解析】

()由题意可得椭圆方程为,从而确定点的纵坐标,进一步可得点的坐标;

122

��

4+2=1��

(2)由直线方程可知,分类讨论和两种情况确定的值即可;

33

�0,42cos∠���=5cos∠���=5�

(3)设,利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得,进一步整理

�cos�+�sin�−42

��cos�,�sin�2=6−2�

计算,结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值.

5

【解答】1≤�≤3�

解:(1)由题意可得,,

,�=2,�=�=2

22

��

�:4+的2=中点1在�轴0,上−,2 

的纵坐标为,

∵���

代入得.

∴�2

(2)由直线方程可知,

�+�−42=0�32,2

①若,则�0,42,即

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