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文档简介
2022年上海市高考数学试卷
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
双曲线的实轴长为.
1.2
�2
9−�=1
2.函数的周期为.
22
��=cos�−sin�+1
3.已知,行列式的值与行列式的值相等,则=.
�1�0
�∈��
3241
4.已知圆柱的高为,底面积为,则圆柱的侧面积为.
49�
5.﹣,﹣,求=的最小值.
��≤0�+�1≥0��+2�
6.二项式的展开式中,项的系数是常数项的倍,则=.
�2
3+��5�
7.若函数2,为奇函数,求参数的值为.
��−1�<0
��=�+��>0�
0�=0
8.为了检测学生的身体素质指标,从游泳类项,球类项,田径类项共项项目中随机抽取项进
行检测,则每一类都被抽到的概率为.
13484
9.已知等差数列的公差不为零,为其前项和,若,则中不同的数值有个.
������5=0���=0,1,2,…,100
10.若平面向量,且满足,,,则=.
→→→→→→→→→
�=�=�=��⋅�=0�⋅�=2�⋅�=1�
11.设函数满足对任意都成立,其值域是,已知对任何满足上述条件的
1
都有����=�1+�,则�∈的[取0,+值∞范)围为.��
二、选择题(本题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.
��{�|�=��,0≤�≤�}=���
1.若集合=﹣,=,则=()
A.﹣﹣B.﹣C.﹣D.﹣
�[1,2)���∩�
{2,1,0,1}{1,0,1}{1,0}{1}
2.若实数、满足>>,下列不等式中恒成立的是()
A.��B.��0C.D.
��
�+�>2���+�<2��2+2�>2��2+2�<2��
3.如图正方体中,、、、分别为棱、、、的中点,联结
,.空间任意两点、,若线段上不存在点在线段、上,则称两点可视,则下列
��𝐵−�1�1�1�1����������1𝐵
选项中与点可视的为()
�1��1������1��1���
�1
第1页|共20页
A.点B.点C.点D.点
����
4.设集合
①存在直线,使得集合中2不存在点在22上,而存在点在两侧;
�=�,��−�+�−�=4�|,�∈�
②存在直线,使得集合中存在无数点在上;()
����
A.①成立②成立B.①成立②不成立
���
C.①不成立②成立D.①不成立②不成立
三、解答题(本大题共有5题,满分76分).
1.如图所示三棱锥,底面为等边,为边中点,且底面,==.
△��������⊥�������2
(1)求三棱锥体积;
��−���
(2)若为中点,求与面所成角大小.
��������
2..
(1)若将函数图像向下移后,图像经过,,求实数,的值.
��=log3�+�+log36−�
����>03,05,0��
(2)若﹣且,求解不等式﹣.
�>3�≠0��≤�6�
3.如图,在同一平面上,==,=,为中点,曲线上任一点到距离相等,
==,,关于对称,;
𝐵��6��20���𝐵�
∘
∠���∠���120������⊥��
第2页|共20页
(1)若点与点重合,求的大小;
��∠���
(2)在何位置,求五边形面积的最大值.
�������
设有椭圆方程,直线,下端点为,在上,左、右焦点分
4.22
��
22
别为�、:�+�=1.�>�>0�:�+�−42=0����
�1−2,0�22,0
(1)=,中点在轴上,求点的坐标;
�2����
(2)直线与轴交于,直线经过右焦点,在中有一内角余弦值为,求;
3
������2△���5�
(3)在椭圆上存在一点到距离为,使,随的变化,求的最小值.
������1+��2+�=6��
5.数列对任意且,均存在正整数﹣,满,,.
(1)求可能值;∗
���∈��≥2�∈[1,�1]��+1=2��−���1=1�2=3
�4
(2)命题:若成等差数列,则,证明为真,同时写出逆命题,并判断命题是真
是假,说明理由;
��1,�2,⋯,�8�9<30����
(3)若,成立,求数列的通项公式.
�∗
�2�=3�∈���
第3页|共20页
参考答案与试题解析
2022年上海市高考数学试卷
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1.
【答案】
【考点】
6
双曲线的简单几何性质
【解析】
根据双曲线的性质可得=,实轴长为=.
【解答】
�32�6
解:由双曲线,可知:=,
2
�2
所以双曲线的实9−轴�长=1=.�3
故答案为:.
2�6
2.
6
【答案】
【考点】
�
三角函数的周期性
【解析】
由三角函数的恒等变换化简函数可得,从而根据周期公式即可求值.
【解答】
��=cos2�+1
解:
22
�2�=co2s�−si2n�+12
=cos�2−si,n�+cos�+sin�
=2cos�
=cos2�+.1
2�
�故=答案2=为:�.
3.
�
【答案】
【考点】
3
二阶行列式的定义
【解析】
根据行列式所表示的值求解即可.
【解答】
解:因为=﹣,,
�1�0
所以﹣=,解2�得3=.=�
3241
故答案为:.
2�3��3
4.
3
【答案】
【考点】
24�
第4页|共20页
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
旋转体(圆柱、圆锥、圆台)
【解析】
由底面积为解出底面半径=,再代入侧面积公式求解即可.
【解答】
9��3
解:因为圆柱的底面积为,即=,
所以=,2
9���9�
所以�侧=3=.
故答案�为:2��ℎ.24�
5.
24�
【答案】
【3考点】
简2单线性规划
【解析】
根据已知条件作出可行域,再求目标函数的最小值即可.
【解答】
解:如图所示:
由,,可知可行域为直线﹣=的左上方和﹣=的右上方的公共部分,
�−�≤0�+�−1≥0��0�+�10
联立,可得1,即图中点,
�−�=0�=211
1�2,2
�+�−1=0�=2
当目标函数=沿着与正方向向量=的相反向量平移时,离开区间时取最小值,
→
��+2��1,2
即目标函数=过点时,取最小值:.
11113
��+2��2,22+2×2=2
故答案为:.
3
6.2
【答案】
10
第5页|共20页
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
由题意,利用二项式展开式的通项公式,求得的值.
【解答】
�
解:二项式的展开式中,项的系数是常数项的倍,
�2
即∵3+�,即�,5
2�−20���−1
��=×3,=5��×32=5×9
故答案为:.
∴�10
7.
10
【答案】
【考点】
1
分段函数的应用
函数奇偶性的性质
【解析】
(1)由题意,利用奇函数的定义可得,故有,由此求得的值.
【解答】
�−�=−���−1=−�1�
解:函数2,为奇函数,,
��−1�<0
∵��=�+��>0∴�−�=−��
,,即,求得或.
0�=0
2
∴�−1=−�1∴−�−1=−�+1��−1=0�=0�=1
当时,,不是奇函数,故;
−1,�<0
�=0��=0,�=0�≠0
�,�>0
当时,,是奇函数,故满足条件,
�−1,�<0
�=1��=0,�=0
综上,,�+1,�>0
故答案为:.
�=1
8.
1
【答案】
【3考点】
古7典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意,利用古典概率的计算公式,计算求得结果.
【解答】
解:从游泳类项,球类项,田径类项共项项目中随机抽取项进行检测,则每一类都被抽到的
方法共有种,
13484
而所有的抽1取方1法共2有1种,21
�1⋅�3⋅�4+�1⋅�3⋅�4
4
故每一类都被抽到的概率�8为,
112121
�1⋅�3⋅�4+�1⋅�3⋅�4303
4
�8=70=7
第6页|共20页
故答案为:.
3
9.7
【答案】
【考点】
98
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数前项和公式求出=﹣,从而,由此能求出结果.
�2
【解答】��12���=2�−5�
解:等差数列的公差不为零,为其前项和,,
∵��,解得��,��5=0
5×4
∴�5=5�1+2�=0�1=−2�
,
��−1��−1�2
∴��=�,�1+2�=−2��+中2�=2�,−5�
,,
∵�≠0∴���=0,1,2,…,100�0=�5=0
其余各项均不相等,
�2=�3=−3��1=�4=−2�
中不同的数值有:﹣=.
故答案为:.
∴���=0,1,2,…,100101398
10.
98
【答案】
4
【考点】
5
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
利用平面向量的数量积进行分析,即可得出结果.
【解答】
解:由题意,有,则,设,
→→→→→→
�⋅�=0�⊥�⟨�,�⟩=�
→→
→→
��cos�=2,①
→�⋅�=2→→
→⇒�
�⋅�=1��cos−�=1,②
则得,,2
②1
①tan�=2
由同角三角函数的基本关系得:,
25
cos�=5
则,
→→→→25
�⋅�=,则��cos�.=�⋅�⋅5=2
4
故2答案为:.
�=54�=5
11.
5
【答案】
第7页|共20页
5−1
【考点】,+∞
2
函数的值域及其求法
函数的定义域及其求法
【解析】
由题可得,再根据时不合题意,进而即得;或等价于恒
5−15−11
�∣�=��,0≤�≤2=���<21+�+�≤�
成立,即恒成立,进而即得.
1
【解答】�−1+�≤�
解:法一:令,解得(负值舍去),
15−1
�=�+1�=2
当时,,
5−115−1
�1∈0,2�2=�1+1∈2,1
当时,,
5−115−1
�1∈2,+∞�2=�1+1∈0,2
且当时,总存在,使得,
5−115−1
�1∈2,+∞�2=�1+1∈0,2��1=��2
故,
5−1
�∣�=��,0≤�≤2=��
若,易得,
5−15−1
�<2�2∉{�∣�=��,0≤�≤�}
所以,
5−1
�≥2
即实数的取值范围为;
5−1
�2,+∞
法二:原命题等价于任意,,
1
�>0��+�=�1+�+�
所以恒成立,
11
1+�+�≤�⇒�≥�−1+�
即恒成立,又>,
1
�−1+�≤0�0
所以,
5−1
�≥2
即实数的取值范围为.
5−1
�2,+∞
故答案为:.
5−1
二、选择题(本2题,+共∞有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.
1.
【答案】
B
【考点】
第8页|共20页
交集及其运算
【解析】
根据集合的运算性质计算即可.
【解答】
解:=﹣,,
=﹣,
∵�[1,2)�=�
故选:B.
∴�∩�{1,0,1}
2.
【答案】
A
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解.
【解答】
解:因为>>,所以,当且仅当=时取等号,
又>>,所以,故A正确,B错误,
��0�+�≥2����
��0�+�>2,�当�且仅当,即=时取等号,故CD错误,
���
故2+选2:�A≥.22×2�=2��2=2��4�
3.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
线段上不存在点在线段、上,即直线与线段、不相交,因此所求与可视的点,
即求哪条线段不与线段、相交,再利用共面定理,异面直线的判定定理即可判断.
���1��1����1��1��1
【解答】
�1��1�
解:线段上不存在点在线段、上,即直线与线段、不相交,
因此所求与可视的点,即求哪条线段不与线段、相交,
���1��1����1��1�
对A选项,如图,连接、、,因为、分别为、的中点,
�1�1��1�
易证,故、、、四点共面,与相交,A错误;
�1����1�����𝐵
∴�1�1//���1�1��∴�1��1�∴
对B、C选项,如图,连接、,易证、、、四点共面,
故、都与相交,B、C错误;
�1����1�1��
�1��1��1�∴
第9页|共20页
对D选项,连接,由A选项分析知、、、四点共面记为平面,
平面,平面,且平面,点,
�1��1�1���1�1��
与为异面直线,
∵�1∈�1�1���∉�1�1���1�⊂�1�1���1∉�1�
同理由B,C选项的分析知、、、四点共面记为平面,
∴�1��1�
平面,平面,且平面,点,
�1�1���1�1𝐵
与为异面直线,
∵�1∈�1�1𝐵�∉�1�1𝐵�1�⊂�1�1𝐵�1∉�1�
故与,都没有公共点,D选项正确.
∴�1��1�
�1��1��1�∴
故选:D.
4.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
分=,>,<,求出动点的轨迹,即可判定.
【解答】
�0�0�0
解:当=时,集合,
当>时,集合222,
�0�=�,��−�+�−�=4�|,�∈�={0,0}
表示圆心为,半径为的2圆,22
�0�=�,��−�+�−�=4�|,�∈�
圆的圆心在直线2上,半径单调递增,
�,��=2�
2
相邻两个圆的圆心�=距��=��=2�,相邻两个圆的半径之和为
22222
,�=�+1−�+�+1−�=4�+4�+2�=
因为>有解,故相邻两个圆之间的位置关系可能相离,
2�+2�+1
当<时,同>的情况,故存在直线,使得集合中不存在点在上,而存在点在两侧,故①正确,
��
若直线斜率不存在,显然不成立,
�0�0����
设直线,若考虑直线与圆的焦点个数,
�
222
,,�−�
�:�=2��+��+�−�=4�
��+�−�
2
�=�+1�=2�
第10页|共20页
给定,,当足够大时,均有>,
故直线只与有限个圆相交,②错误.
�����
故选:B.
�
三、解答题(本大题共有5题,满分76分).
1.
【答案】
解:(1)在三棱锥﹣中,因为底面,所以,
又为边中点,所以为等腰三角形,
������⊥�����⊥��
又==.所以是边长为的为等边三角形,
���△���
����,2三棱锥△体�积��2.
1132
∴(2�)�以=为3坐标原点,�为�−�轴��,=3�为△��轴�,⋅��=为3×轴,4建×2立空×间3直=角1坐标系,
����������
则,,,,
31
�0,0,3�3,0,0�0,1,0�2,2,0
,
→31
��=2,2,−3
平面的法向量,
→
设直线���与平面��所=成角3,为0,0,
������
则直线与平面所成角的正弦值为→→3,
��⋅��23
→→
�����sin�=��⋅��=3×2=4
所以与面所成角大小为.
3
【考点��】���arcsin4
棱柱、棱锥、棱台的体积
直线与平面所成的角
【解析】
(1)直接利用体积公式求解;
(2)以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求得平面的法向量,
即可求解.
�������������
【解答】
解:(1)在三棱锥﹣中,因为底面,所以,
又为边中点,所以为等腰三角形,
������⊥�����⊥��
又==.所以是边长为的为等边三角形,
���△���
����2△���2
第11页|共20页
,三棱锥体积.
1132
∴(2�)�以=为3坐标原点,�为�−�轴��,=3�为△��轴�,⋅��=为3×轴,4建×2立空×间3直=角1坐标系,
����������
则,,,,
31
�0,0,3�3,0,0�0,1,0�2,2,0
,
→31
��=2,2,−3
平面的法向量,
→
设直线���与平面��所=成角3,为0,0,
������
则直线与平面所成角的正弦值为→→3,
��⋅��23
→→
�����sin�=��⋅��=3×2=4
所以与面所成角大小为.
3
2.�����arcsin4
【答案】
解:(1)因为函数,
将函数图像向下移后,得=﹣=的图像,
��=log3�+�+log36−�
由函数图像经过点和,
����>0����log3�+�+log36−�−�
所以3,05,0,
log33+�+1−�=0
解得=﹣,=.
log35+�+0−�=0
(2)﹣且时,不等式﹣可化为
�2�1
,
�>3�≠0��≤�6�log3�+�+log36−�≤log3�+6−�+
log3�
等价于�+�>0解得�>−�,
6−�>0�<6
�+6−�>0�<�+6
当﹣<�<>0时,<﹣<,<<,�解>不0等式得﹣<,
�+�6−�≤��+6−���−3≥0
当>时,﹣<,>,解不等式得<;
3�00�33�+66��≤3
综上知,﹣<<时,不等式﹣的解集是﹣,
�0�0�+663≤�6
>时,不等式﹣的解集是.
3�0��≤�6�(�,3]
【考点】
�0��≤�6�[3,6)
对数函数的图象与性质
第12页|共20页
不等式恒成立的问题
【解析】
(1)写出函数图像下移个单位后的解析式,把点的坐标代入求解即可得出和的值.
(2)不等式化为,写出等价不等式组,求出解集即可.
���
【解答】
log3�+�+log36−�≤log3�+6−�+log3�
解:(1)因为函数,
将函数图像向下移后,得=﹣=的图像,
��=log3�+�+log36−�
由函数图像经过点和,
����>0����log3�+�+log36−�−�
所以3,05,0,
log33+�+1−�=0
解得=﹣,=.
log35+�+0−�=0
(2)﹣且时,不等式﹣可化为
�2�1
,
�>3�≠0��≤�6�log3�+�+log36−�≤log3�+6−�+
log3�
等价于�+�>0解得�>−�,
6−�>0�<6
�+6−�>0�<�+6
当﹣<�<>0时,<﹣<,<<,�解>不0等式得﹣<,
�+�6−�≤��+6−���−3≥0
当>时,﹣<,>,解不等式得<;
3�00�33�+66��≤3
综上知,﹣<<时,不等式﹣的解集是﹣,
�0�0�+663≤�6
>时,不等式﹣的解集是.
3�0��≤�6�(�,3]
3.
�0��≤�6�[3,6)
【答案】
解:(1)点与点重合,由题意可得,,,
∘
由余弦定理可�得���=10��=6∠���=120,
2221
��=��+��−2��⋅��cos∠���=36+100−2×6×10×−2)=196
所以=,在中,由正弦定理得,
����
∘
sin120sin∠���
所以��14,△解�得��,=
14633
3
sin∠���14
2=sin∠���=
所以的大小为;
33
∠���arcsin14
(2)如图,连结,,,,
曲线上任意一点到距离相等,
��������
====,
∵�𝐵�
,关于对称,
∴��������14
点在劣弧中点或劣弧的中点位置,,
∵����
∴则�����,�△���=�△���=�
�
∠���=∠���=�△���=2−�
第13页|共20页
则五边形面积
=�=2�△���+�△���
1�1
=2⋅��⋅��⋅sin−�+⋅��⋅��⋅sin�
222
196sin�+140cos,�其中,
5
=2874sin�+�tan�=7
当时,五边形取最大值,
五sin边�形+�=1面积�的最大�值���为�.2874
∴������2874
【考点】
余弦定理
正弦定理
扇形面积公式
【解析】
(1)在中,直接利用余弦定理求出,再结合正弦定理求解;
(2)利用五边形的对称性,将所求的面积化为四边形的面积计算问题,充分利用圆弧的性
△�����
质,找到最大值点,从而解决问题.
𝐵�������
【解答】
解:(1)点与点重合,由题意可得,,,
∘
由余弦定理可�得���=10��=6∠���=120,
2221
��=��+��−2��⋅��cos∠���=36+100−2×6×10×−2)=196
所以=,在中,由正弦定理得,
����
∘
sin120sin∠���
所以��14,△解�得��,=
14633
3
2=sin∠���sin∠���=14
所以的大小为;
33
∠���arcsin14
(2)如图,连结,,,,
曲线上任意一点到距离相等,
��������
====,
∵�𝐵�
,关于对称,
∴��������14
点在劣弧中点或劣弧的中点位置,,
∵����
∴������△���=�△���=�
第14页|共20页
则,
�
则五∠�边��形=面∠积���=�△���=2−�
=�=2�△���+�△���
1�1
=2⋅��⋅��⋅sin−�+⋅��⋅��⋅sin�
222
196sin�+140cos,�其中,
5
=2874sin�+�tan�=7
当时,五边形取最大值,
五sin边�形+�=1面积�的最大�值���为�.2874
∴������2874
4.
【答案】
解:(1)由题意可得,,
,�=2,�=�=2
22
��
�:4+的2=中点1在�轴0,上−,2
的纵坐标为,
∵���
代入得.
∴�2
(2)由直线方程可知,
�+�−42=0�32,2
①若,则�0,42,即,
344
cos∠���=5tan∠���=3tan∠���2=3
,
33
∴��=4��2=42
.
3
∴�=42
②若,则,
34
cos∠���=5sin∠���=5
,,
�23242
∵∠���=4∴cos∠���+∠���=2×5−2×5=−10
,.
2
∴cos∠���=10∴tan∠���=7
即,,,
22
tan∠���2=7∴��=7∴�=7
综上或.
32
(3)�设=427,
由点到直�线�距��离��公,�式���可�得,
�cos�+�sin�−42
2=6−2�
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很明显椭圆在直线的左下方,则,
�cos�+�sin�−42
即−2,=6−2�
22
42−�+,�sin�+�=62−22�,
222
据∵此�可=得�+2∴2�−2sin�,+�=22�−22,
22�−2
2
�−1sin�+�=2�−2sin�+�=�−1≤1
整理可得﹣﹣,即,
5
�13�5≤01≤�≤3
从而.
58
�=6−2�≥6−2×3=3
即的最小值为.
8
【考�点】3
直线与圆锥曲线的关系
椭圆的定义和性质
直线与椭圆结合的最值问题
点到直线的距离公式
【解析】
()由题意可得椭圆方程为,从而确定点的纵坐标,进一步可得点的坐标;
122
��
4+2=1��
(2)由直线方程可知,分类讨论和两种情况确定的值即可;
33
�0,42cos∠���=5cos∠���=5�
(3)设,利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得,进一步整理
�cos�+�sin�−42
��cos�,�sin�2=6−2�
计算,结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值.
5
【解答】1≤�≤3�
解:(1)由题意可得,,
,�=2,�=�=2
22
��
�:4+的2=中点1在�轴0,上−,2
的纵坐标为,
∵���
代入得.
∴�2
(2)由直线方程可知,
�+�−42=0�32,2
①若,则�0,42,即
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