2021年高考数学试卷（上海）（春考）（解析卷）

2021年上海市春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1．已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a1021．

【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．

【解析】：因为等差数列{an}的首项为3，公差为2，

则a10a19d39221．故答案为：21．

【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．

2．已知z13i，则|zi|5．

【思路分析】由已知求得zi，再由复数模的计算公式求解．

【解析】：z13i，zi13ii12i，

则|zi||12i|12225．故答案为：5．

【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础

题．

3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为4．

【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．

【解析】：圆柱的底面半径为r1，高为h2，

所以圆柱的侧面积为S侧2rh2124．故答案为：4．

【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．

2x5

4．不等式1的解集为(7,2)．

x2

x7

【思路分析】由已知进行转化0，进行可求．

x2

2x52x5x7

【解析】：1100，解得，7x2．故答案为：(7,2)．

x2x2x2

【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．

5．直线x2与直线3xy10的夹角为．

6

【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．

【解析】：直线x2的斜率不存在，倾斜角为，

2

直线3xy10的斜率为3，倾斜角为，

3

故直线x2与直线3xy10的夹角为故答案为：．

2366

【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．

axbycab

6．若方程组111无解，则110．

a2xb2yc2a2b2

【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．

a1xb1yc1a1b1c1b1a1c1

【解析】：对于方程组，有D,Dx,Dy，

a2xb2yc2a2b2c2b2a2c2

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Dx

x

D

当D0时，方程组的解为，

D

yy

D

axbyc

根据题意，方程组111无解，

a2xb2yc2

ab

所以D0，即D110，故答案为：0．

a2b2

【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的

解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列

式表示法中对应的公式．

7．已知(1x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1x)n的系数和为64．

【思路分析】由已知可得n6，令x1，即可求得系数和．

3234

【解析】：由题意，CnCn，且CnCn，

所以n6，所以令x1，(1x)6的系数和为2664．故答案为：64．

【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．

a

8．已知函数f(x)3x(a0)的最小值为5，则a9．

3x1

【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解

a

析式变形成f(x)3x11，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．

3x1

aa

【解析】：f(x)3x3x112a15，

3x13x1

所以a9，经检验，3x2时等号成立．故答案为：9．

【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为

定值，属于基础题．

9．在无穷等比数列{an}中，lim(a1an)4，则a2的取值范围是(4，0)(0，4)．

n

【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q的取值范围，再由极限的运算知a14，从

而得解．

【解析】：无穷等比数列{an}，公比q(1，0)(0，1)，

liman0，lim(a1an)a14，a2a1q4q(4，0)(0，4)．

nn

故答案为：(4，0)(0，4)．

【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，

属于基础题．

10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有

几种运动方式组合23种.

A运动B运动C运动D运动E运动

7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点

30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟

【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的

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组合不符合题意，由此求出结果．

【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组

合不符合题意；

2345

所以满足条件的运动组合方式为：C5C5C5C53101051323（种)．

故答案为：23种．

【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基

础题．

y2

11．已知椭圆x21(0b1)的左、右焦点为F、F，以O为顶点，F为焦点作抛物

b2122

线交椭圆于P，且PF1F245，则抛物线的准线方程是x12．

【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线PF1的方程并

与抛物线联立，求出点P的坐标，由此可得PF2F1F2，进而可以求出PF1，PF2的长度，

再由椭圆的定义即可求解．

2

【解析】：设F1(c,0)，F2(c,0)，则抛物线y4cx，

y24cx

直线PF1:yxc，联立方程组，解得xc，y2c，

yxc

所以

所以点P的坐标为(c,2c)，所以PF2F1F2，又PF2F2F12c,PF122c

所以PF122c，所以PF1PF2(222)c2a2，

则c21，

所以抛物线的准线方程为：xc12，

故答案为：x12．

【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，

属于中档题．

3

12．已知0，存在实数，使得对任意nN*，cos(n)，则的最小值是

2

2

．

5

22

【思路分析】在单位圆中分析可得，由N*，即，kN*，即可求得的

3k

最小值．

【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n的终边要落在图中阴影部分区域（其中

AOxBOx)，

6

所以AOB，

3

因为对任意nN*都成立，

22

所以N*，即，kN*，

k

2

同时，所以的最小值为．

35

2

故答案为：．

5

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【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)

13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是()

A．f(x)x2B．f(x)sinxC．f(x)2xD．f(x)1

【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．

【解析】：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，

根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，

选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，

根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，

选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，

选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，

故选：C．

【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理

解，属于基础题．

14．已知集合A{x|x1，xR}，B{x|x2x20，xR}，则下列关系中，正确

的是()

A．ABB．痧ABC．ABD．ABR

RR

【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．

【解析】：已知集合A{x|x1，xR}，B{x|x2x20，xR}，

解得B{x|x2或x1，xR}，

ðð

RA{x|x1，xR}，RB{x|1x2}；

则ABR，AB{x|x2}，

故选：D．

【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

15．已知函数yf(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是()

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A．f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称

B．f(x)为偶函数且关于直线x1对称

C．f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称

D．f(x)为奇函数且关于直线x1对称

【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD，举出反例可得三个选项错误，对于C，

利用反证法可得其正确．

【解析】：根据题意，依次判断选项：

x

对于A，f(x)cos1，f(x)为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A错误，

2

对于B，f(x)cos(x)，f(x)为偶函数且关于直线x1对称，存在最大值，B错误，

对于C，假设f(x)有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为(a,M)，

f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，则f(x)的图象存在最低点(a,M)，

又由f(x)的图象关于点(1,1)对称，则(a,M)关于点(1,1)对称的点为(2a,2M)，

与最大值为M相矛盾，则此时f(x)无最大值，C正确，

x

对于D，f(x)sin，f(x)为奇函数且关于直线x1对称，D错误，

2

故选：C．

【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

16．在ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在ABC，使得ABCE0；

②存在三角形ABC，使得CE//(CBCA)；它们的成立情况是()

A．①成立，②成立B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立

【思路分析】设A(2x,2y)，B(1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，由向量数量的坐标运算即

可判断①；F为AB中点，可得(CBCA)2CF，由D为BC中点，可得CF与AD的交点

即为重心G，从而可判断②

【解析】：不妨设A(2x,2y)，B(1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，

①AB(12x,2y)，CE(x1,y)，

若ABCE0，则(12x)(x1)2y20，即(12x)(x1)2y2，

2

满足条件的(x,y)存在，例如(0,)，满足上式，所以①成立；

2

②F为AB中点，(CBCA)2CF，CF与AD的交点即为重心G，

因为G为AD的三等分点，E为AD中点，

所以CE与CG不共线，即②不成立．

故选：B．

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【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）

17．（14分）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平

面ABCD．

（1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；

（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的大小．

1

【思路分析】（1）由VPES正方形，代入相应数据，进行运算，即可；

3ABCD

（2）由PE平面ABCD，知PFE45，进而有PEFE4，PB25，由AD//BC，

知PCB或其补角即为所求，可证BC平面PAB，从而有BCPB，最后在RtPBC中，

PB

由tanPCB，得解．

BC

【解析】：（1）PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB4，

PE23，

又PE平面ABCD，

112323

四棱锥PABCD的体积VPES正方形234．

3ABCD33

（2）PE平面ABCD，

PFE为PF与平面ABCD所成角为45，即PFE45，

PEF为等腰直角三角形，

E，F分别为AB，CD的中点，

PEFE4，

PBPE2BE225，

AD//BC，

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PCB或其补角即为PC与AD所成角，

PE平面ABCD，PEBC，

又BCAB，PEABE，PE、AB平面PAB，

BC平面PAB，BCPB，

PB255

在RtPBC中，tanPCB，

BC42

5

故PC与AD所成角的大小为arctan．

2

【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以

及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和

运算能力，属于基础题．

1

18．（14分）已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a2，cosC．

4

（1）若sinA2sinB，求b、c；

4

（2）若cos(A)，求c．

45

【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b的值；利用余弦定理即可求解c的值．

（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA，sinA，sinC

的值，进而根据正弦定理可得c的值．

【解析】：（1）因为sinA2sinB，可得a2b，

又a2，可得b1，

a2b2c22212c21

由于cosC，可得c6．

2ab2214

24

（2）因为cos(A)(cosAsinA)，

425

42

可得cosAsinA，

5

又cos2Asin2A1，

722722

可解得cosA，sinA，或sinA，cosA，

10101010

115

因为cosC，可得sinC，tanC15，

44

722

若sinA，cosA，可得tanA7，可得

1010

tanAtanC715

tanBtan(AC)0，

tanAtanC17(15)1

可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，

22c530

所以sinA，由正弦定理，可得c．

10sinAsinC2

【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本

关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一

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点P满足|PA||PB|20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧

为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60处，求双曲线标

准方程和P点坐标．

（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA||QB|30千

米，|QC||QD|10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1)

【思路分析】（1）求出a，c，b的值即可求得双曲线方程，求出直线OP的方程，与双曲

线方程联立，即可求得P点坐标；

（2）分别求出以A、B为焦点，以C，D为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q的坐标，

从而求得|OQ|，及Q点位置．

【解析】：（1）由题意可得a10，c20，所以b2300，

x2y2

所以双曲线的标准方程为1，

100300

315256

直线OP:yx，联立双曲线方程，可得x，y，

322

15256

即点P的坐标为(，)．

22

（2）①|QA||QB|30，则a15，c20，所以b2175，

x2y2

双曲线方程为1；

225175

②|QC||QD|10，则a5，c15，所以b2200，

y2x2

所以双曲线方程为1，

25200

144002975

两双曲线方程联立，得Q(，)，

4747

所以|OQ|19米，Q点位置北偏东66．

【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．

20．（16分）已知函数f(x)|xa|ax．

（1）若a1，求函数的定义域；

（2）若a0，若f(ax)a有2个不同实数根，求a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使得函数f(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．

【思路分析】（1）把a1代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的

不等式得答案；

（2）f(ax)a|axa|aaxa，设axat0，得att2，t0，求得等式右边

关于t的函数的值域可得a的取值范围；

（3）分xa与xa两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数f(x)在定义域内具

有单调性的a的范围．

【解析】：（1）当a1时，f(x)|x1|1x，

由|x1|10，得|x1|1，解得x2或x0．

函数的定义域为(，2][0，)；

（2）f(ax)|axa|aax，

第8页|共10页

f(ax)a|axa|aaxa，

设axat0，tat有两个不同实数根，整理得att2，t0，

111

a(t)2，t0，当且仅当0a时，方程有2个不同实数根，

244

1

又a0，a的取值范围是(0,)；

4

111

（3）当xa时，f(x)|xa|axxx(x)2，在[，)上单调递

244

减，

11

此时需要满足a，即a，函数f(x)在[a，)上递减；

44

当xa时，f(x)|xa|axx2ax，在(，2a]上递减，

11

a0，2aa0，即当a时，函数f(x)在(,a)上递减．

44

1

综上，当a(，]时，函数f(x)在定义域R上连续，且单调递减．

4

【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性

的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．

21．（18分）已知数列{an}满足an0，对任意n2，an和an1中存在一项使其为另一项与an1

的等差中项．

（1）已知a15，a23，a42，求a3的所有可能取值；

（2）已知a1a4a70，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公

比q；

（3）已知数列中恰有3项为0，即arasat0，2rst，且a11，a22，求

ar1as1at1的最大值．

【思路分析】（1）根据an和an1中存在一项使其为另一项与an1的等差中项建立等式，然后

将a1，a2，a4的值代入即可；

（2）根据递推关系求出a5、a8，然后根据等比数列的定义进行判定即可；

（3）分别求出ar1，as1，at1的通