2019年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

上海市2019届秋季高考数学考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）

1.已知集合A,3、B2,，则AB________.

【思路分析】然后根据交集定义得结果．

【解析】：根据交集概念，得出：(2,3).

【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

1

2.已知zC且满足5i，求z________.

z

【思路分析】解复数方程即可求解结果．

115i51

【解析】：5i，zi.

z5i(5i)(5i)2626

【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．

3.已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角为________.

ab

【思路分析】根据夹角运算公式cos求解．

ab

ab22

【解析】：cos.

ab555

【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．

5

4.已知二项式2x1，则展开式中含x2项的系数为________.

2

【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含x项的的项，再求系数．

r5rrr5r5r

【解析】：Tr1C5(2x)1C52x

232

令5r2，则r3，x系数为C5240.

【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．

x0

5.已知x、y满足y0，求z2x3y的最小值为________.

xy2

【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截

式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当x0，y2时，

zmin6.

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

3

6.已知函数fx周期为1，且当0x1，fxlogx，则f()________.

22

3

【思路分析】直接利用函数周期为1，将转到已知范围0x1内，代入函数解析式即

2

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可．

311

【解析】：f()f()log1.

2222

【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．

1y

7.若x、yR，且2y3，则的最大值为________.

xx

y

【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有的式子求解

x

2

11y39

【解析】：法一：32y22y，∴；

xxx228

1y3y9

法二：由32y，(32y)y2y23y（0y），求二次最值.

xx2xmax8

【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．

8.已知数列an前n项和为Sn，且满足Snan2，则S5______.

【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.

Snan21

【解析】：由得：anan1（n2）

Sn1an12(n2)2

1

1[1()5]

131

∴a为等比数列，且a1，q，∴S2.

n151

2116

2

9.过y24x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y24x交于A、B，A在B上方，M为

抛物线上一点，OMOA2OB，则______.

【思路分析】根据等式建立坐标方程求解

【解析】：依题意求得：A(1,2)，B(1,2)，设M坐标M(x,y)

有：(x,y)(1,2)(2)(1,2)(22,4)，代入y24x有：164(22)

即：3.

【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档

题．

10某三位数密码锁，每位数字在09数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.

【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.

C1C2C127

【解析】：法一：P1039（分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字）

103100

C1P327

法二：P11010（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）

103100

【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．

22

xy

11.已知数列an满足anan1（nN），Pnn,an在双曲线1上，则

62

limPnPn1_______.

n

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【思路分析】利用点在曲线上得到PnPn1关于n的表达式，再求极限.

n2a2n2n2

【解析】：法一：由n1得：a2(1)，∴P(n,2(1))，

82n6n6

(n1)22

Pn1(n1,2(1))，利用两点间距离公式求解极限。limPnPn13

6n3

法二（极限法）：当n时，PnPn1与渐近线平行，PnPn1在x轴投影为1，渐近线倾斜

123

3PP

角满足：tan，所以nn13.

3cos

6

【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题．

2

12.已知fxax1,a0，若aa0，fx与x轴交点为A，fx为曲线

x1

L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得APAQ且APAQ，则

a0__________.

【思路分析】

【解析】：

【归纳与总结】

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.已知直线方程2xyc0的一个方向向量d可以是（）

A.(2,1)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,2)

【思路分析】根据直线的斜率求解.

【解析】：依题意：(2,1)为直线的一个法向量，∴方向向量为(1,2)，选D.

【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题．

14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得

到的两个圆锥的体积之比为（）

A.1B.2C.4D.8

【思路分析】根据直线的斜率求解.

1412

【解析】：依题意：V221，V122，选B.

133233

2

15.已知R，函数fxx6sinx，存在常数aR，使得fxa为偶函数，

则可能的值为（）

A.B.C.D.

2345

【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.

【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验fxa的奇偶性，选C；

法二：f(xa)(xa6)2sin[(xa)]，若f(xa)为偶函数，则a6，且sin[w(x6)]

也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴6k，当k1时，，选C.

24

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16.已知tantantan().

①存在在第一象限，角在第三象限；

②存在在第二象限，角在第四象限；

A.①②均正确；B.①②均错误；C.①对，②错；D.①错，②对；

【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.

11

【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令tan和tan，求tan看

33

是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选

D.

tantan

法二：解：tantan……①

1tantan

xy

设tanx,tany，则原式可化为xy，整理得x2y2y1xx0，

1xy

2

以y为主元，则要使方程有解，需使1x4x34x3x22x10有解，

令fx4x3x22x1，则fx12x22x20恒成立

∴函数fx4x3x22x1在R上单调递减，又∵f010,f140

∴存在x00,1使fx00，当xx0时fx0

22

设方程xyy1xx0的两根分别为y1,y2，

x11

当x0时，yy0,yy0，故必有一负根，②对；

12x212x

x11

当0xx时，yy0,yy0，故两根均为负根，①错；选D.

012x212x

三.解答题（本大题共5题，共76分）

17.（本题满分14分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为

BB1上一点，已知BM2，AD4，CD3，AA15.

（1）求直线A1C与平面ABCD的夹角；

（2）求点A到平面A1MC的距离.

【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平

面的法向量求解..

【解析】：（1）依题意：A1A面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为A1CA；

∵AA5，AC32425，∴△ACA为等腰直角△，ACA；

1114

∴直线AC与平面ABCD的夹角为.

14

（2）法一（空间向量）：如图建立坐标系：

则：A(0,0,0)，C(3,4,0)，A1(0,0,5)，M(3,0,2)

AC(3,4,0)，A1C(3,4,5)，MC(0,4,2)

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∴求平面A1MC的法向量n(x,y,z)：

nA1C3x4y5z0

，得：n(2,1,2)

nMC4y2z0

ACn324110

A到平面A1MC的距离为：d

n2212223

VVS

法二（等体积法）：利用AA1MCCA1AM求解，求△A1MC时，需要求出三边长（不是特殊

1

三角形），利用S△absinC求解.

2

【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考

查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程

思想，是基础题．

1

18.（本题满分14分）已知fxax(aR).

x1

（1）当a1时，求不等式fx1fx1的解集；

（2）若x1,2时，fx有零点，求a的范围.

【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与

值域.

1

【解析】：（1）当a1时，f(x)x；

x1

1111

代入原不等式：x1x1；即：

x1x2x1x2

1

移项通分：0，得：2x1；

(x1)(x2)

1

（2）依题意：f(x)ax0在x[1,2]上有解

x1

11

参编分离：a，即求g(x)在x[1,2]值域，

x(x1)x(x1)

x(x1)在x[1,2]单调递增，x(x1)[2,6]；

11111

[,]，故：a[,].

x(x1)6262

【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化

与划归思想的应用．

19.（本题满分14分）如图，ABC为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，

BD39.2km，BDC22，CBD68，BDA58.

（1）求BC长度；

（2）若AB40km，求D到海岸线ABC的最短距离.（精

确到0.001km）

【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.

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【解析】：（1）依题意：BCBDsin22，弧BC所在圆的半径RBCsin

4

22

弧BC长度为：RBC3.14139.2sin2216.310km

2224

BDAB39.2

（2）根据正弦定理：，求得：sinAsin580.831，A56.2

sinAsin5840

∴ABD18056.25865.8

DHBDsinABD35.752km<CD=36.346km

∴D到海岸线最短距离为35.752km.

【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合

思想的应用．

20.（本题满分16分）

x2y2

已知椭圆1，F,F为左、右焦点，直线l过F交椭圆于A、B两点.

84122

（1）若AB垂直于x轴时，求AB；

（2）当F1AB90时，A在x轴上方时，求A,B的坐标；

（3）若直线交轴于M，直线BF交轴于N，是否存在直线，使SS，

AF1y1yl△F1AB△F1MN

若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

【思路分析】直接求出A,B坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积

关系SS转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.

△F1AB△F1MN

【解析】：（1）依题意：F2(2,0)，当AB⊥x轴，则坐标A(2,2)，B(2,2)，

∴AB22

2

（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：S△btan4tan4；

F1AF224

1

又：FF2c4，S△2cy2y4，即y2

12F1AF22AAA

所以A在短轴端点，即A(0,2)

yx2

82

22

直线lAF（即lAB）方程为：yx2，联立：xy，得B(,).

133

84

法二（常规）：依题意：设坐标A(x,y)，∵FAF（注意：用点F更方便计算）

111222

22

则有：AF1AF2(x12,y1)(x12,y1)x14y1

x2y2x2

又A在椭圆上，满足：111，即：y24(11)

8418

x2

∴AFAFx244(11)0，解出：x0，A(0,2)

12181

82

B点坐标求解方法同法一，B(,).

33

（3）设坐标A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(0,y3)，N(0,y4)，直线l：xmy2（k不存在时

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不满足题意）

1

则：S△FFyy2yy；

F1AB2121212

1

S△FOyyyy；

F1MN213434

4m

xmy2

y1y22

22m2

联立方程：x2y2，(m2)y4my40，韦达定理：

4

1

84y1y22

m2

y12y1

由直线AF1方程：y(x2)得M纵坐标：y3；

x12x12

y22y2

由直线BF1方程：y(x2)得N纵坐标：y4；

x22x22

若SS，即2yyyy

△F1AB△F1MN1234

2y12y22y12y28(y1y2)

y3y42y1y2

x12x22my14my24(my14)(my24)

2

∴(my14)(my24)4，my1y24m(y1y2)164，代入韦达定理：

4m24m

得：4m164，解出：m3