2008年高考数学试卷（文）（天津）（解析卷）

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120

分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位

置粘贴考试用条形码。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：

如果时间A，B互斥，那么球的表面积公式

2

P（A+B）=P（A）+P（B）S4R.

如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径.

P（A·B）=P（A）·P（B）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

（）设集合，，，则ð

1U{xN|0x8}S{1,2,4,5}T{3,5,7}S(UT)

（A）{1,2,4}（B）{1,2,3,4,5,7}（C）{1,2}（D）{1,2,4,5,6,8}

解析：因为ðT，所以ð，选．

U{1,2,4,6,8}S(UT){1,2,4}A

xy0

（2）设变量x,y满足约束条件xy1，则目标函数z5xy的最大值为

x2y1

（A）2（B）3（C）4（D）5

第1页|共10页

解析：如图，由图象可知目标函数z5xy

过点时取得最大值，，选．

A(1,0)zzmax5D

（3）函数y1x（0x4）的反函数是

（A）y(x1)2（1x3）（B）y(x1)2（0x4）

（C）yx21（1x3）（D）yx21（0x4）

解析：当0x4时，1x[1,3]，解y1x得f1(x)(x1)2，选A．

（）若等差数列的前项和，且，则

4{an}5S525a23a7

（A）12（B）13（C）14（D）15

5(aa)5(aa)aa

解析：S1524a7，所以aa5da54213，

52247222

选B．

（5）设a,b是两条直线，,是两个平面，则ab的一个充分条件是

（A）a,b//,（B）a,b,//

（C）a,b,//（D）a,b//,

解析：选C，A、B、D的反例如图．

（6）把函数ysinx（xR）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图

3

1

象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是

2

x

（A）ysin(2x)，xR（B）ysin()，xR

326

2

（C）ysin(2x)，xR（D）ysin(2x)，xR

33

解析：选C,

向左平移个单位横坐标缩短到原来的1倍

ysinx3ysin(x)2ysin(2x)．

33

x2y2

（7）设椭圆1（m0，n0）的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心

m2n2

第2页|共10页

1

率为，则此椭圆的方程为

2

x2y2x2y2x2y2x2y2

（A）1（B）1（C）1（D）1

1216161248646448

1

解析：抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由e排除D，选B．

2

x2,x0

（8）已知函数f(x)，则不等式f(x)x2的解集是

x2,x0

（A）[1,1]（B）[2,2]（C）[2,1]（D）[1,2]

x0x0

解析：依题意得或或，选A．

221x00x11x1

x2xx2x

522

（9）设asin，bcos，ctan，则

777

（A）abc（B）acb（C）bca（D）bac

22222

解析：asin，因为，所以0cossin1tan，选D．

7472777

（）设，若对于任意的，都有2满足方程，

10a1x[a,2a]y[a,a]logaxlogay3

这时a的取值集合为

（A）{a|1a2}（B）{a|a2}（C）{a|2a3}（D）{2,3}

2

32a

aa2a

解析：易得y，在[a,2a]上单调递减，所以y[,a]，故2a2，选B．

x2

a1

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上

3．本卷共12小题，共100分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）

（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为

了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽

取超过45岁的职工________________人．

25

解析：依题意知抽取超过45岁的职工为8010．

200

第3页|共10页

2

（12）(x)5的二项展开式中，x3的系数是________________（用数字作答）．

x

2

解析：TCrx5r()r2rCrx52r，r1，所以系数为10．

r15x5

（13）若一个球的体积为43，则它的表面积为________________．

4

解析：由R343得R3，所以S4R212．

3

（14）已知平面向量a(2,4)，b(1,2)．若ca(ab)b，则|c|_____________．

解析：因为c(2,4)6(1,2)(8,8)，所以|c|82．

（15）已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线yx1对称．直线3x4y110与圆C

相交于A,B两点，且AB6，则圆C的方程为_______________________．

(411)2

解析：圆心的坐标为(0,1)，所以r23218，圆的方程为x2(y1)218．

52

（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色

卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，

则不同的排法共有________________种（用数字作答）．

解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、4，3，2，1、3，3，2，2．

所以共有4444种不同排法．

2A42A418A4432

三、解答题（本题共6道大题，满分76分）

（17）（本小题满分12分）

已知函数f(x)2cos2x2sinxcosx1（xR,0）的最小值正周期是．

2

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

yAsin(x)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：

1cos2x

fx2sin2x1

2

sin2xcos2x2

2sin2xcoscos2xsin2

44

2sin2x2

4

第4页|共10页

2

由题设，函数fx的最小正周期是，可得，所以2．

222

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，fx2sin4x2．

4

k

当4x2k，即xkZ时，sin4x取得最大值1，所以函数

421624

k

fx的最大值是22，此时x的集合为x|x,kZ．

162

（18）（本小题满分12分）

1

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次

2

1

均未命中的概率为．

16

（Ⅰ）求乙投球的命中率p；

（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．

（18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概

率知识解决实际问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．

221

由题意得1PB1p

16

353

解得p或（舍去），所以乙投球的命中率为．

444

解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．

1113

由题意得P(B)P(B)，于是P(B)或P(B)（舍去），故p1P(B)．

16444

3

所以乙投球的命中率为．

4

11

（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知PA,PA．

22

3

故甲投球2次至少命中1次的概率为1PAA

4

解法二：

11

由题设和（Ⅰ）知PA,PA

22

3

故甲投球2次至少命中1次的概率为C1PAPAPAPA

24

1131

（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，PA,PA,PB,PB

2244

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次

第5页|共10页

均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为

3

C1PAPAC1PBPB，

2216

1

PAAPBB，

64

9

PAAPBB

64

31911

所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．

16646432

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知

AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．

（Ⅰ）证明AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角PBDA的大小．

（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间

想象能力，运算能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：在PAD中，由题设PA2,PD22可得

PA2AD2PD2于是ADPA.在矩形ABCD中，ADAB.又PAABA，

所以AD平面PAB．

（Ⅱ）解：由题设，BC//AD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角.

在PAB中，由余弦定理得

PBPA2AB22PAABcosPAB7

由（Ⅰ）知AD平面PAB，PB平面PAB，

所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三

PB7

角形，故tanPCB．

BC2

7

所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan．

2

（Ⅲ）解：过点P做PHAB于H，过点H做HEBD于E，连结PE

因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH.又ADABA，

因而PH平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，

BDPE，从而PEH是二面角PBDA的平面角。

由题设可得，

第6页|共10页

PHPAsin603,AHPAcos601,

BHABAH2,BDAB2AD213,

AD4

HEBH

BD13

39

于是再RTPHE中，tanPEH

4

39

所以二面角PBDA的大小为arctan．

4

（20）（本小题满分12分）

在数列中，，，且（）．

{an}a11a22an1(1q)anqan1n2,q0

（Ⅰ）设（*），证明是等比数列；

bnan1annN{bn}

（Ⅱ）求数列的通项公式；

{an}

（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的*，是与

a3a6a9qnNanan3an6

的等差中项．

（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，

考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．

（Ⅰ）证明：由题设（），得

an1(1q)anqan1n2

，即，．

an1anq(anan1)bnqbn1n2

又，，所以是首项为，公比为的等比数列．

b1a2a11q0{bn}1q

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

，

a2a11

，

a3a2q

……

2，（）．

anan1qn2

将以上各式相加，得n2（）．

ana11qqn2

1qn1

1,q1,

所以当时，

n2an1q

n,q1.

第7页|共10页

上式对n1显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

q1a3a6a9q1

由可得5228，由得36，①

a3a6a9a3qqqqq0q11q

整理得(q3)2q320，解得q32或q31（舍去）．于是q32．

qn2qn1qn1

另一方面，aa(q31)，

nn31q1q

qn1qn5qn1

aa(1q6)．

n6n1q1q

由①可得，*．

anan3an6annN

所以对任意的*，是与的等差中项．

nNanan3an6

（21）（本小题满分14分）

已知函数f(x)x4ax32x2b（xR），其中a,bR．

10

（Ⅰ）当a时，讨论函数f(x)的单调性；

3

（Ⅱ）若函数f(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的a[2,2]，不等式fx1在[1,1]上恒成立，求b的取值范围．

（21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，

考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解：f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)．

10

当a时，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)．

3

1

令f(x)0，解得x0，x，x2．

1223

当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

111

x(,0)0(0,)(,2)2(2,)

222

f(x)－0＋0－0＋

f(x)↘极小值↗极大值↘极小值↗

第8页|共10页

11

所以f(x)在(0,)，(2,)内是增函数，在(,0)，(,2)内是减函数．

22

（Ⅱ）解：f(x)x(4x23ax4)，显然x0不是方程4x23ax40的根．

为使f(x)仅在x0处有极值，必须4x23ax40成立，即有9a2640．

88

解些不等式，得a．这时，f(0)b是唯一极值．

33

88

因此满足条件的a的取值范围是[,]．

33

（Ⅲ）解：由条件a[2,2]，可知9a2640，从而4x23ax40恒成立．

当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0．

因此函数f(x)在[1,1]上的最大值是f(1)与f(1)两者中的较大者．

f(1)1

为使对任意的a[2,2]，不等式f(x)1在[1,1]上恒成立，当且仅当，即

f(1)1

b2a

，在a[2,2]上恒成立．

b2a

所以b4，因此满足条件的b的取值范围是(,4]．

（22）（本小题满分14分）

已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

CF13,05x2y0

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以kk0为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的

81

垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

2

（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定

比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能

力．满分