2008年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学试卷（理工农医类）

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答

题纸指定位置.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一

律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一.填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接

得分评卷人

填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．不等式x11的解集是.

2．若集合Axx2、Bxxa满足AB2，则实数a=_____________.

3．若复数z满足zi(2z)（i是虚数单位），则z=_____________.

4．若函数f(x)的反函数为f1(x)x2（x0），则f(4).

π

5．若向量a、b满足a1，b2，且a与b的夹角为，则ab=__________.

3

π

6．函数f(x)3sinxsinx的最大值是.

2

7．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、

F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是(结果用分数表示).

8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x(0,)时，f(x)lgx，则满足

f(x)0的x的取值范围是.

9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且

总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是

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.

10．某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界

是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、

h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海

域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2，那么

船只已进入该浅水区的判别条件是.

1

11．方程x22x10的解可视为函数yx2的图像与函数y的图像交点的

x

44

横坐标.若方程xax40的各个实根x1,x2,,xk(k4)所对应的点xi,

(xi)

（i=1,2,,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是.

二.选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出

得分评卷人代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论

是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，

选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论

是否都写在圆括号内），一律得零分．

r

12.组合数Cn(nr1,n、rZ)恒等于[答]()

r1r1r1r1nr1

(A)C.(B)(n1)(r1)C.(C)nrC.(D)C.

n1n1n1n1rn1

13.给定空间中的直线l及平面.条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直

线l与平面垂直”的[答]()

(A)充要条件.(B)充分非必要条件.

(C)必要非充分条件.(D)既非充分又非必要条件.

3

14.若数列a是首项为1，公比为a的无穷等比数列，且a各项的和为a，则a

n2n

的值是[答]()

15

(A)1.(B)2.(C).(D).

24

15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点

C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该

圆的四等分点.若点P(x,y)、点Px,y满足xx且yy，

则称P优于P.如果中的点Q满足：不存在中的其它点优

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于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧[答]()

ABBCCDDA

(A).(B).(C).(D).

三.解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

得分评卷人16.（本题满分12分）

如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点.求直线DE与平面

ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

[解]

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得分评卷人17.（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB.小区的两个出入口设置在点

A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10

分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA

的长（精确到1米）.

[解]

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得分评卷人

18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，

第

2小题满分9分．

x2

已知双曲线C:y21，P是C上的任意点.

4

（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

（2）设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值.

[证明]（1）

[解]（2）

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（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，

得分评卷人19.16218

第2

小题满分8分．

1

已知函数f(x)2x.

2|x|

（1）若f(x)2，求x的值；

（2）若2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.

[解]（1）

（2）

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得分评卷人20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，

第2

小题满分5分，第3小题满分8分．

设P(a,b)(b0)是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线.记

Q是直线l与抛物线x22py(p0)的异于原点的交点.

（1）已知a1,b2,p2.求点Q的坐标；

x21

（2）已知点P(a,b)(ab0)在椭圆y21上，p.求证：点Q落在双曲

42ab

线4x24y21上；

1

（3）已知动点P(a,b)满足ab0，p.若点Q始终落在一条关于x轴对称的

2ab

抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.

[解]（1）

[证明]（2）

第7页|共18页

[解]（3）

第8页|共18页

得分评卷人21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，

第

2小题满分7分，第3小题满分8分．

ac,a3,

nn

已知以a为首项的数列a满足：aa

1nn1n,a3.

dn

（1）当a11，c1,d3时，求数列an的通项公式；

（2）当0a11，c1,d3时，试用a1表示数列an前100项的和S100；

111

（3）当0a（m是正整数），c，正整数d3m时，求证：数列a,

1mm2m

111

a，a，a成等比数列当且仅当d3m.

3m2m6m2m9m2m

[解]（1）

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（2）

[证明]（3）

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2008年全国普通高等学校招生统一考试

上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准

说明

1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中

评分标准的精神进行评分．

2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评

阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题

的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给

分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

解答

一、（第1题至第11题）

1.(0,2).2.2.3.1i.4.2.5.7.

3

6.2.7..8.(1,0)(1,).9.a10.5,b10.5.

4

10.h1cot1h2cot22a.11.(,6)(6,).

二、（第12题至第15题）

题号12131415

代号DCBD

三、（第16题至第21题）

16．[解]过E作EFBC，交BC于F，连接DF.

EF平面ABCD，

EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.……4分

1

由题意，得EFCC1.

21

1

CFCB1,DF5.……8分

2

EF5

EFDF，tanEDF.……10分

DF5

5

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan.……12分

5

17.[解法一]设该扇形的半径为r米.连接CO.……2分

由题意，得

CD=500（米），DA=300（米），CDO60.……4分

在△CDO中，CD2OD22CDODcos60OC2，……6分

第11页|共18页

1

即5002(r300)22500(r300)r2，……9分

2

4900

解得r445（米）.

11

答：该扇形的半径OA的长约为445米.……13分

[解法二]连接AC，作OHAC，交AC于H.……2分

由题意，得CD=500（米），AD=300（米），CDA120.……4分

在△ACD中，AC2CD2AD22CDADcos120

1

5002300225003007002，

2

AC700（米），……6分

AC2AD2CD211

cosCAD.……9分

2ACAD14

11

在直角△HAO中，AH350（米），cosHAO，

14

AH4900

OA445（米）.

cosHAO11

答：该扇形的半径OA的长约为445米.……13分

18.[解]（1）设Px1,y1是双曲线上任意一点，

该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2y0.……2分

x12y1x12y1

点Px1,y1到两条渐近线的距离分别是和，……4分

55

22

x12y1x12y1x14y14

它们的乘积是.

5555

点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.……6分

（2）设P的坐标为(x,y)，则

|PA|2(x3)2y2……8分

x2

(x3)21

4

2

5124

x.……11分

455

|x|2，……13分

第12页|共18页

124

当x时，|PA|2的最小值为，

55

25

即|PA|的最小值为.……15分

5

1

19.[解]（1）当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2x.……2分

2x

1

由条件可知2x2，即22x22x10，

2x

解得2x12.……6分

x

20，xlog212.……8分

11

（2）当t[1,2]时，2t22tm2t0，……10分

22t2t

即m22t124t1.

22t10，m22t1.……13分

t[1,2],122t[17,5]，

故m的取值范围是[5,).……16分

20.[解]（1）当a1,b2,p2时，

x24y,x8,

解方程组得

y2x,y16,

即点Q的坐标为8,16.……3分

1

1x,

x2y,

[证明]（2）由方程组得a

abb

ybx,y,

a

1b

即点Q的坐标为,.……5分

aa

a2

P是椭圆上的点，即b21，

4

22

1b4

441b21.

aaa2

因此点Q落在双曲线4x24y21上.……8分

（3）设Q所在抛物线的方程为y22q(xc)，q0.……10分

第13页|共18页

1bb21

将Q,代入方程，得2qc，即b22qa2qca2.……12分

aaa2a

当qc0时，b22qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；

2

111

当qc时，ab2，此时点P的轨迹落在圆上；

22c4c2

2

1

a

12cb2

当qc0且qc时，1，此时点P的轨迹落在椭圆上；

21q

4c22c

2

1

a

2cb2

当qc0时，1，此时点P的轨迹落在双曲线上.

1q

4c22c

……16分

1,n3k2,

解（）由题意得分

21.[]1an2,n3k1,kZ.……3

3,n3k,

（2）当0a11时，

aaa

aa1，aa2，aa3，a11，a12，a13，…，

213141536373

a1a1a1

a3k11，a3k2，a3k13，………6分

3k13k13k1

S100a1a2a3a4a5a6a7a98a99a100

a1a1

a13a16a1666

3331

11

a1a131633

3331

11分

11a1198.……10

2331

1

（3）当d3m时，aa；

21m

3m11a11

aaa33a3a，a；

3m1m1m13m13m23mm

第14页|共18页

a11a1a11

a6m333a6m1，a6m2；

3mm3m9m2m

a11a1a11

a9m333a9m1，a9m2.

9m2m9m227m3m

11a11a11a1

a2a1，a3m2，a6m2，a9m2.

mm3mm9m2m27m3

1111

综上所述，当d3m时，数列a，a，a，a是公比为

2m3m2m6m2m9m2m

1

的等比数列.……13分

3m

a3

当时，11，

d3m1a3m20,

dm

a3

13

a131d1

a6m233,3，a6m30,，

dmdm

a3

13

d3m11

a9m23,3.……15分

dmm

111

由于a0，a0，a0，

3m2m6m2m9m2m

1111

故数列a，a，a，a不是等比数列.

2m3m2m6m2m9m2m

1111

所以，数列a，a，a，a成等比数列当且仅当

2m3m2m6m2m9m2m

d3m.……18分

1.不等式|x1|1的解集是.

【答案】(0,2)

【解析】由1x110x2.

2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝.

【答案】2

【解析】由AB{2}A,B只有一个公共元素2a2.

3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝.

【答案】1i

2i

【解析】由zi(2z)z1i.

1i

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4.若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝.

【答案】2

【解析】令f(4)tf1(t)4t24(t0)t2.

5.若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a+b|＝.

3

【答案】7

【解析】

|ab|2(ab)(ab)aabb2ab|a|2|b|22|a||b|cos7|ab|7.

3

6.函数f(x)＝3sinx+sin(+x)的最大值是.

2

【答案】2

【解析】由f(x)3sinxcosx2sin(x)f(x)2.

6max

7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取

三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.

3

【答案】

4

【解析】已知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为：

C3C3C3

3；可构成三角形的个数为：333，所以所求概率为：6433；

C6C6C4C3153

C64

8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)＞0的x的

取值范围是.

【答案】(1,0)(1,)

【解析】当x0时，f(x)0x1；f(x)00x1；由f(x)为奇函数得：

当x0时，f(x)01x0；f(x)0x1结论；

9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为

10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是.

【答案】a10.5,b10.5

【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须a10.5,b10.5时，总体方差最小；

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10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长

轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两

个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大

小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水

区的判别条件是.

【答案】

h1cot1h2cot22a

【解析】依题意，

|MF1||MF2|2a

；

h1cot1h2cot22a

1

11.方程x2+2x－1＝0的解可视为函数y＝x+2的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若

x

44

x+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi,)（i＝1,2,…,k）均在直线y

xi

＝x的同侧，则实数a的取值范围是.

【答案】(,6)(6,)

【解析】方程的根显然x0，原方程等价于x3a4，原方程的实根是曲线yx3a

x

与曲线y4的交点的横坐标；而曲线yx3a是由曲线yx3向上或向下平移|a|个单

x

44

位而得到的。若交点(xi,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y交

xix

点为：(2,2),(2,2)；所以结合图象可得：

a0a0

x3a2或x3a2a(,6)(6,)；

x2