商品利润最大问题 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册26.4.2商品利润最大问题第二十六章

二次函数26.4.2商品利润最大问题

同步练习题一、核心知识点梳理1.核心利润公式（必考必背）单件利润=售价−进价（成本）总利润=单件利润

×

销售数量二次函数利润模型：通过涨价/降价改变单件利润和销量，建立总利润与调价量的二次函数，利用顶点求最大利润。2.两类经典题型模型模型①

涨价少卖：原价销售，每涨价1元，销量减少固定数量；模型②

降价多卖：原价销售，每降价1元，销量增加固定数量；两类模型最终解析式均为$$y=ax^2+bx+c(a<0)$$，开口向下，顶点处存在最大利润。3.标准解题模板（考试满分步骤）①

设未知数：设涨价/降价$$x$$元；②

表示新单价、新销量：新售价=原价±$$x$$；新销量=原销量∓变化量×$$x$$；③

表示单件利润：单件利润=新售价−进价；④

列总利润函数：$$W=\text{单件利润}\times\text{销量}$$，整理为二次函数标准式；⑤

限定自变量范围：售价、利润、销量必须为正数，结合实际取值；⑥

求最值：顶点横坐标在取值范围内，顶点取最大利润；超出范围取端点最值。4.重要结论利润问题二次函数开口一定向下，只有最大值，没有最小值；实际应用题中，若顶点横坐标不是整数，需取最接近的整数计算最大利润（商品数量为整数）。二、基础巩固习题（一）填空题1.商品进价20元，售价30元，销量100件，则单件利润为______元，总利润为______元。2.商品原价40元，每涨价1元少卖2件，原销量50件，若涨价$$x$$元，则新销量为________件。（二）基础解答题3.某商品进价每件30元，售价每件40元，每周可卖出200件。市场调查发现：每件涨价1元，周销量减少5件。设涨价$$x$$元，求总利润$$W$$关于$$x$$的函数解析式，并求最大利润。三、综合提升习题（三）拔高解答题（降价促销模型）4.某文具进价10元，售价16元，日均销量60件。经统计：每降价1元，日均多卖10件。设降价$$x$$元，求日均最大利润及对应的售价。5.某商店销售纪念品，进价20元，售价35元，每月可售300件。每涨价2元，月销量减少20件，如何定价可获得最大月利润？最大利润是多少？四、参考答案与详细解析1.10，1000解析：单件利润$$30-20=10$$，总利润$$10\times100=1000$$。2.$$50-2x$$解析：涨价销量减少，每涨1元少2件，涨$$x$$元少$$2x$$件。3.解：单件利润：$$40+x-30=10+x$$，销量：$$200-5x$$总利润：$$W=(10+x)(200-5x)=-5x^2+150x+2000$$$$a=-5<0$$，对称轴$$x=-\dfrac{150}{2\times(-5)}=15$$当$$x=15$$时，$$W_{max}=-5\times225+150\times15+2000=3125$$答：最大利润为3125元。4.解：降价$$x$$元，单件利润：$$16-x-10=6-x$$，销量：$$60+10x$$$$W=(6-x)(60+10x)=-10x^2+0x+360=-10x^2+360$$对称轴$$x=0$$，在取值范围内，降价会降低最大利润。故不降价时利润最大，售价16元，最大利润360元。答：售价16元时，日均利润最大为360元。5.解：设涨价$$x$$个2元，即涨价$$2x$$元。单件利润：$$35+2x-20=15+2x$$，销量：$$300-20x$$$$W=(15+2x)(300-20x)=-40x^2+300x+4500$$对称轴$$x=\dfrac{300}{80}=3.75$$，$$x$$取整数，比较$$x=3$$、$$x=4$$$$x=3$$，定价$$35+6=41$$，利润$$5160$$；$$x=4$$，定价$$43$$，利润$$5160$$答：定价41元或43元时，最大利润为5160元。五、本节易错点总结1.列式顺序错误：总利润必须是“单件利润×销量”，不要用售价×销量；2.涨价降价符号混乱：涨价加、销量减；降价减、销量加，必须对应；3.忽略整数限制：商品件数、调价份数必须为整数，非整数顶点需就近取值对比；4.忘记取值范围：单件利润不能为负、销量不能为负，超范围顶点无效。学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）

3.1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤：审→设→列→解→答公式法：顶点坐标配方法：y=a(x-h)2

+k利润

=

收入

-

成本总收入

=

销售单价×销量总成本

=

进货单价×销量总利润

=

销售单价×销量

-

进货单价×销量

=(销售单价

-

进货单价)×销量

=单利润×销量

2.销售问题中有关利润的公式：总利润=(销售单价

-

进货单价)×销量=单利润×销量

40

60

300

涨价

60+1

300-10

60-1

300+20

降价

20

20+1

20-1

例1

某商品现在的售价为每件

60元，每星期可卖出

300

件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价

1元，则每星期少卖出

10

件；每降价

1

元，则每星期可多卖出

20

件.已知商品的进价为每件

40

元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少?探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题①设每件涨价

x

元，每星期售出商品的利润

y

元，填空：单件利润(元)销售量(件)每星期利润(元)正常销售涨价销售2030020+x300-

10x(20+x)(300-

10x)所得利润

y=(20+x)(300-

10x)

=-10x2+100x+6000.6000涨价销售探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故

300-

10x≥0，且

x≥0，故自变量的取值范围是0≤x≤30，x为整数.③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000=-10(x-

5)2+6250(0≤x≤30).当

x=5，即每件涨价5

元(销售单价为65元)时，有y最大值

=6250.∴当销售单价为65元时，该店在一个月内能获得最大利润6250

元.②自变量

x

的取值范围如何确定？探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题解：设每件降价

x

元，每星期售出商品的利润

y

元，则单件利润为

20−

x元，每星期可卖出

300+20x元.单件利润(元)销售量(件)每星期利润(元)正常销售降价销售20300(20−

x)(300+20x)(20−

x)(300+20x)所得利润

y=(20−x)(300+20x)=−20x2+100x+6000.6000降价销售想一想，每一步应该怎么做？①

设未知数，用含未知数的代数式表示相关量探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题②

根据题意，求出自变量的取值范围

∵20−x≥0，且

x≥0，∴

0≤x≤20，x

为整数.③

将二次函数解析式化为顶点式y=−20x2+100x+6000或求出顶点横坐标(对称轴)y=−20x2+100x+6000对称轴为探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题④

结合自变量的取值范围，求最大值综上可知，定价为

65元时，才有最大利润是

6250元.所以当每件降价2或

3元时，

即定价为58或57

元时，利润最大，最大利润是

6120元.∵0＜

＜20，−20＜0，x

为整数.∴当x

=

2或3

时，y有最大值，探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题1.一水果店售卖一种水果，以

8

元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以

12

元/千克售卖，每天可卖

60

千克：若每千克涨价

0.5

元，每天要少卖

2

千克；若每千克降价

0.5

元，每天要多卖

2

千克，但不低于成本价.设该商品的价格为

x

元/千克时，一天销售总质量为

y

千克.(1)

求

y

与

x

的函数关系式.(2)

若水果店货源充足，每天以固定价格

x

元/千克销售

(

x

>

8

)，试求出水果店每天利润

W

与单价

x

的函数关系式，并求出当

x

为何值时，利润达到最大.探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题解：(1)由题意，得(2)由题意，得w=y(x

−8)

=

(−4x

+108)(x

−8)=−4x2+140x−864

∴当

时，利润

w有最大值，最大值为361.∵＞8，−4＜0，探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题求解最大利润问题的一般步骤(1)建立利润与价格之间的函数关系式：

运用“总利润

=

单件利润×总销量”

或“总利润

=

总售价

-

总成本”；(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围；(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；

也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题例2某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.

已知西瓜的成本为

6

元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.

经过市场调查发现，某天西瓜的销售量

y

(千克)与销售单价

x

(元/千克)的函数关系如图所示：(1)

求

y

与

x

的函数解析式；(2)求这一天销售西瓜获得的利润

W

的最大值.

O620010008xy1012探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得

y

与

x

的函数解析式；解：(1)当6≤x≤10，设

y与

x

的关系式为y=kx+b(k≠0)由题意得6k

+b

=

1000，10k

+b

=

200，｛k=-200，b=2200.｛解得∴y=-200x+2200.当10＜x≤12，y=200故

y与

x

的函数解析式为y=-200x+2200

(6≤x≤10)200(10＜x≤12)｛

O620010008xy1012探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题分析：根据

总利润

=

每千克利润

×销售量，列出函数关系式配方后根据

x

的取值范围可得W

的最大值.(2)由已知得：

W

=(x-

6)y

当6≤x