规律探索之几何-2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

规律探索之几何—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题一、图形的个数规律探索1．（2026九下·义乌月考）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A．16 B．18 C．20 D．222．（2026九下·舟山一模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是()A．32 B．28 C．24 D．203．（2025九上·杭州月考）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第n个图形中点的个数y与n的关系式是（）A．y=n2−n+2 B．y=n2−2n+14．（2025九上·上城开学考）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n=．5．（2025·杭州二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有个.6．（2024七下·定海期末）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有个．二、图形的递变规律7．（2025八上·嵊州月期中）如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，...在射线ON上，点B1，B2，B3，...在射线OM上，△A1B1A2，A．16 B．32 C．64 D．1288．（2025七下·永康期中）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3；……；第nA．2nα B．2n−1α C．9．（2025八上·宁波开学考）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，AA．14cm2 B．n+14c10．（2026八下·浙江期中）如图，已知以等腰Rt△ABC1的斜边BC1为直角边向外作第1个等腰Rt△C1BC2，再以等腰Rt△C1BC2的斜边BC2为直角边向外作第2个等腰Rt△C2BC3，……，以此类推，若AB=A．22027 B．22026 C．2202511．（2025九上·舟山期中）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，C1B1⊥AB于点B1，设弧BC1与C1B1、B1B围成的阴影部分面积为S1，再以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边12．（2025八上·义乌月考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第4个三角形中以A4为顶点的内角的度数为13．（2026·婺城一模）某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法：①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O；②过O作OE1⊥AB于点E1，连结CE1③过P1作P1E2⊥AB于点E2，连结CE④过P2作P2E3⊥AB于点E3，连结CE则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点；（1）求证：B（2）已知AB=3BC，①求∠ACE3的正弦值；②按上述方法继续画图得到点En(n>2),若△CBEn∽△DCB,14．（2024七下·义乌期中）如图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM=α(0°<α<90°)．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与三、图形的循环规律15．（2024九上·镇海区期末）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，⋅⋅⋅，这样一直下去，第2024次交换位置后，小鼠所在的座号是（）A．1 B．2 C．3 D．416．（2026·定海模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A、C在y轴、x轴上，B2,1，将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形CO1A1B1，再将矩形CO1A．11,0 B．12,1 C．14,2 D．15,217．（2024九上·台州期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（）A．−43,0 B．23,0 C．18．（2026八下·名山期中）在平面直角坐标系中，等边△ABC如图放置，点A的坐标为(1，0).每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△AOB1，第二次旋转后得到△AOB2，…，以此类推，则点A2025的坐标为()

A．(22025，0) B．−2C．−220250 19．（2026九上·甘谷期末）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4）。将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（）A．(-6，2) B．(6，−2) C．(2，−6) D．(−2，6)20．（2025·天河模拟）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（）A．（−32，−3） B．（3C．（−3，3） D．（−32

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：第1种有4个氢原子，4=1×2+2，第2种有6个氢原子，6=2×2+2，第3种有8个氢原子，8=3×2+2，……以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是8×2+2=18．故答案为：B.【分析】观察可得规律：氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可．2．【答案】C【解析】【解答】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，第④个图案中有16个黑色圆点，⋯⋯则第n个图案中有4n个黑色圆点，所以第⑥个图中圆点的个数是4×6=24个，故选：C．【分析】根据前几个图案中黑点的个数总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n=6计算即可．3．【答案】D【解析】【解答】解：观察题图可知，从第2个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少1，第n个图形有n条分支，每条分支上有(n−1)个点，

所以第n个图形中点的个数y与n的关系式是y=n(n−1)+1，即y=n故答案为：D.【分析】观察题图可知，从第2个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少1，且第n个图形有条n分支，每条分支上有(n-1)个点，然后根据第n个图形中点的总个数等于分支上的点数+中间的点数即可建立出y关于n的函数关系式.4．【答案】500【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形：1=2×1−1，第2幅图中有3个菱形：3=2×2−1，第3幅图中有5个菱形：5=2×3−1，……∴第n幅图中有(2n−1)个菱形，

当2n−1=999时，

解得：n=500，故答案为：500．【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第n幅图中有(2n−1)个菱形，然后令2n−1=999，解方程求出n的值即可.5．【答案】38【解析】【解答】解：根据图形数量的算法知，第n个图形下上各有(n+1)个图形，左右两列各有n个，则第n个有图形2(n+1)+2n-4=4n-2，当n=10时，4×10-2=38个.故答案为：38.【分析】由图形的计算方法可找到图形变化的规律，得第n个有4n-2个图形，即知第10个图形的个数.6．【答案】n2+（n﹣1）2【解析】【解答】因为组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为n2；

又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为(n−1)2，∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，

所得到的完整圆的个数共有：故答案为n2【解答】观察图中的数量关系，类比得到规律解题即可．7．【答案】C【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，

∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，

∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，

∴∠A1B1O＝∠MON，

∴A1B1＝OA1，

∴A1B1＝A1A2＝OA1，

同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，

∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1，

A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1，

…

∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，

∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，故答案为：C.【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，即可求解．8．【答案】A【解析】【解答】解：如图，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE=∠BEF，∠DCE=∠CEF，∵∠BEC=∠BEF+∠CEF，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；同理∠BE∵∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1∴∠ABE1=∴∠BE同理∠BE∠BE……∠E∵∠E∴∠BEC=2故选：A．【分析】本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义。解题时，通过过点E作EF∥AB，利用平行线的内错角相等性质，可以推导出∠BEC=∠ABE+∠DCE。类似地，对于其他点E1、E2等，同样有∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1。根据角平分线的定义，可以进一步得出∠BE1C=1/2∠ABE+1/2∠DCE=1/2(∠ABE+∠DCE)=1/2∠BEC。依此类推这样就得到了题目所求的结论。9．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14，

5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为14×4，

n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为14×(n−1)=10．【答案】A【解析】【解答】解：在等腰Rt△ABC1​中，由勾股定理得BC在第①个等腰直角三角形△C1BC2在第②个等腰直角三角形△C2BC3在第③个等腰直角三角形△C3BC4故可得规律：第n个等腰直角三角形的斜边长为2n+1则第2026个等腰直角三角形的斜边长为22026+1故答案为：A.【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理找出规律“第n个等腰直角三角形的斜边长为2n+111．【答案】π−2【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，且直角边长为4，∴AB=BC=4，∠A=45°，由题意可得：AC∵C∴∠AB∴∠AC∴∠AC∴AB在Rt△ABAC∴AB∴===2(π−2)，同理可得：S2S3S4⋯⋯，∴S∴S故答案为：π−216【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB=BC=4，∠A=45°，即可得到AC1=AB=4，进而可得∠AC1B1=∠A，根据勾股定理求出AB1=B112．【答案】17.5°【解析】【解答】解：∵在△ABA1∴∠B∵A1A∴∠CA2同理可得：∠DA3故答案为17.5【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠C13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，OE1⊥AB,∴O∴△OA∴∴∴B同理可证，P∴△B∴∴B（2）解：解：①∵B∴∵∴∴△∴∴B类比(1)同理可证B∵AB=3BC,设BC=x，则AB=3x，∴B∴CA记E3S即10解得h=∴sin∠ACE【解析】【解答】（2）②类比(1)同理证得B∵四边形ABCD为矩形，AB=3BC，∴CD=AB=3BC,∵△CB∴∴∴解得n=8.故答案为：8.【分析】(1)利用矩形性质证明△OAE1∽△CAB,△OE1(2)①先证明△P2E2P1∽△P2CB推出②类比(1)同理证得BEn=1n+114．【答案】180−【解析】【解答】解：∵PN∥QM，

∴∠AR1B=∠ABR1，

翻折1次时，∠R1BM=α2，∠AR1N=360°−90°−90°−2×α2；

翻折2次时，∠R2BR1=α22，∠AR2N=360°−90°−90°−2×α22；

……，

折叠n+1次时，15．【答案】A【解析】【解答】解：第1次交换位置后，小鼠所在位置是：3；第2次交换位置后，小鼠所在位置是：4；第3次交换位置后，小鼠所在位置是：2；第4次交换位置后，小鼠所在位置是：1；第5次交换位置后，小鼠所在位置是：3；…，以此可见，每次交换后小鼠所在位置的序号按：3，4，2，1循环出现，又因为2024÷4=506，所以第2024次交换位置后，小鼠所在位置是：1；故答案为：A．

【分析】求出每次交换后小鼠所在的位置，得到规律解题即可．16．【答案】D【解析】【解答】解：∵B2,1∴在矩形OABC中，A0,1，AB=OC=2,BC=AO=1∵第一次将矩形OABC绕右下角顶点C顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1O=CO+B1C=3，

∴点A1的坐标为（3，2）；

∵第二次再将矩形O1A1B1C绕右下角顶点B1顺时针旋转90°得到矩形O2A然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，∴由此规律可得，A13,2,A25,0,17．【答案】C【解析】【解答】解：因为360°÷60°=6，所以每旋转六次，点B的位置重复出现．又因为2024÷6=337余2，所以第2024次旋转后点B的位置与第2次旋转后点B'过点B作y轴的垂线，垂线为H，因为∠OAB=120°，所以∠BAH=60°，因为点A坐标为(0,4)，所以AB=AO=4．在Rt△ABH中，∠ABH=30°，所以AH=1所以BH=AB2所以点B的坐标为23显然点B和点B'关于x所以点B'的坐标为2即第2024次旋转后，点B的坐标为23故答案为：C．

【分析】每次旋转60°，旋转6次后回到原始位置，故旋转后期是6，用总旋转次数除以周期求出余数为2，即第2024次旋转后点B的位置与第二次旋转后的位置B'相同；过点B作y轴的垂线，垂线为H，根据含30°角直角三角形性质求出AH=2，利用勾股定算出BH，可得点B的坐标；进而根据点B和点B'关于x轴对称，从而根据关于x轴对称的点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求出点B'的坐标，可得答案.18．【答案】C【解析】【解答】解：第一次旋转后，A1在第一象限，O第二次旋转后，A2在第二象限，O第三次旋转后，A3在x轴负半轴，O第四次旋转后，A4在第三象限，O第五次旋转后，A5在第四象限，O第六次旋转后，A6在x轴正半轴，O……，每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴，而2025=6×337+3，∴A2025在x轴负半轴上，且∴点A2025的坐标为(−故答案为：C.【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，且边长每次扩大2倍，得到点A2025落在x轴负半轴，且OA202519．【答案】B【解析】【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4），四边形OABC为平行四边形，

∴点B（2