2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第八章8.2两条直线的位置关系（附答案）

§8.2两条直线的位置关系分值：96分一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.已知直线l1：x+(a-1)y-3=0与直线l2：x+2y+3=0相互垂直，则a的值为()A.12 B.1 C.3 D.-2.“m=-3”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.与直线2x+3y+1=0平行且过点(0，1)的直线方程是()A.2x+3y-3=0 B.3x+2y-2=0C.2x-3y+3=0 D.3x-2y+2=04.已知从点(5，2)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点(1，2)，则入射光线所在的直线方程为()A.x-y-3=0 B.x+y-7=0C.x-y+3=0 D.x+y-3=05.若曲线y=f(x)=2sinx+2025在点π3，fπ3处的切线与直线y=ax+2025垂直，则实数A.1 B.-1 C.2 D.-26.已知直线l：x+my-2m-1=0，则点P(2，-1)到直线l距离的最大值为()A.5 B.10 C.5 D.107.(2025·大同模拟)已知实数a，b，c，d满足3a-4b+3=0，3c-4d-7=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为()A.1 B.2C.3 D.48.过定点A的动直线x+ky=0和过定点B的动直线kx-y-2k+1=0交于点M，则|MA|+|MB|的最大值是()A.22 B.3C.10 D.15二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.已知直线l：3x-y+1=0，则下列结论正确的是()A.直线l过第一、三、四象限B.过点(3，1)与直线l平行的直线的方程是3x-y-2=0C.直线3x-y+2=0到直线l的距离为1D.若直线m：x-3y+1=0，则l⊥m10.对于直线l1：ax+2y+3a=0，l2：3x+(a-1)y+3-a=0，则()A.l1∥l2的充要条件是a=3或a=-2B.当a=25时，l1⊥lC.直线l2经过第二象限内的某定点D.点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为3211.(2025·眉山模拟)已知直线l：2x-y+3=0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1-m，m)，m∈R，下列说法正确的是()A.点P到直线l的距离为4B.若点P与点Q位于直线l的两侧，则m>5C.点P与点Q之间距离的最小值为2D.|QR|+|QP|的最小值为2三、填空题(每小题5分，共15分)12.经过点P(1，0)和两直线l1：x+2y-2=0，l2：3x-2y+2=0交点的直线方程为.13.若l1：2x+ay-2=0与l2：x-y+a=0平行，则两直线之间的距离为.14.请运用数形结合的思想，得出函数y=x2-4x+53-15~17题每小题6分，18题5分，共23分15.(多选)若直线m被两平行直线l1：x-3y+3=0与l2：x-3y+33=0所截得的线段长为6，则直线m的倾斜角可以是()A.30° B.75°C.135° D.165°16.(多选)直线l：ax＋by＋c＝0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，m＝ax1＋bA.若m>1，则l与直线PQ相交B.若m＝1，则l与直线PQ平行C.若m＝－1，则l与直线PQ垂直D.存在实数m，使得点Q在直线l上17.(多选)(2025·广东九师联盟模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点M(x1，y1)，N(x2，y2)间的折线距离d(M，N)=|x1-x2|+|y1-y2|，已知A(a，b)，B(1，1)，记s=a2+b2+2a+4b，则()A.若d(A，B)=1，则s有最小值8B.若d(A，B)=1，则点A的轨迹是一个正方形C.若d(A，B)≤1，则s有最大值15D.若d(A，B)≤1，则点A的轨迹所构成区域的面积为π18.(2024·曲靖模拟)设M，N是同一平面上的两个区域，点P∈M，点Q∈N，P，Q两点间距离的最小值叫做区域M，N间的距离，记作d(M，N).若M＝{(x，y)|ex－y＋2024＝0}，N＝{(x，y)|ln(x－2024)－y＝0}，则d(M，N)＝.

答案精析1.A2.A3.A4.A[运用点关于直线对称，求出(1，2)关于x轴的对称点为(1，-2)，又(1，-2)与(5，2)在同一条直线上，运用两点式得到入射光线所在的直线方程为y-2-2-2=x-51-5，整理得x-y-3=0.则入射光线所在的直线方程为x5.B[函数f(x)=2sinx+2025，求导得f'(x)=2cosx，因此曲线在点π3，fπ3处的切线斜率为k=f'π3=1，而切线与直线y=ax+2025垂直，所以6.B[直线l：x+my-2m-1=0，即x-1+m(y-2)=0，由x-1=0,y所以直线l过定点A(1，2)，当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为|AP|=(2-1)2+(-1-2)7.D[由题意得，点A(a，b)在直线3x-4y+3=0上，点B(c，d)在直线3x-4y-7=0上，两直线平行，所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行线间距离的平方，即|3+7|38.C[由题意知x+ky=0过定点A(0，0)，动直线kx-y-2k+1=0，即k(x-2)-y+1=0过定点B(2，1)，对于直线x+ky=0和动直线kx-y-2k+1=0满足1×k+k×(-1)=0，故两直线垂直，因此点M在以AB为直径的圆上(除去点(2，0))，|AB|=22+则|MA|2+|MB|2=5，所以(|MA|+|MB|)2=|MA|2+|MB|2+2|MA||MB|≤2(|MA|2+|MB|2)=10，当且仅当|MA|=|MB|=102故|MA|+|MB|的最大值为10.]9.BC[直线l过第一、二、三象限，故A错误；设过点(3，1)且与直线l平行的直线的方程为3x-y+t=0(t≠1)，由于点(3，1)满足该直线，代入得t=-2，所以所求的直线方程为3x-y-2=0，故由于直线l：3x-y+1=0与直线3x-y+2=0平行，故两直线间的距离d=|2-1|(3)直线l的斜率为kl=3，直线m的斜率为km=33，因为klkm≠-1，所以直线l和直线m不垂直，故D10.ABC[若l1∥l2，则a(a-1)-6=0，解得a=3或a=-2，经检验，符合题意，所以a=3或a=-2，所以l1∥l2的充要条件是a=3或a=-2，故A正确；当a=25时，3a+2(a-1)=65-65=0，所以l1⊥l2由l2：3x+(a-1)y+3-a=0，得(y-1)a+3x-y+3=0，令y-1=0,3x-y+3=0,解得x=-2由l1：ax+2y+3a=0，得(x+3)a+2y=0，令x+3=0,2y=0,解得x=-3,y=0,所以直线l1过定点M(-3，0)，当PM⊥l1时，点P(1，3)到直线l1的距离最大，最大值为|PM|=11.ABD[点P到直线l的距离d=|2-1+3|22将点P(1，1)代入直线方程得2-1+3=4>0，又点P与点Q位于直线l的两侧，则将点Q(1-m，m)代入直线方程得2-2m-m+3<0，即m>53，|PQ|=[1-(1-m)]2+(1-∵1-m+m=1，∴点Q在直线l1：x+y-1=0上，斜率k=-1，过点P作直线l'⊥l1于点D，如图所示，则l'：x-y=0，联立方程组x解得x=y=12，即∴点P关于直线l1的对称点为原点O(0，0)，OR与l1的交点为Q，此时|QR|+|QP|最小，则(|QR|+|QP|)min=|OR|=2，D选项正确.]12.x+y-1=0解析设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0，点P(1，0)在直线上，∴1-2+λ(3+2)=0，解得λ=1∴所求直线方程为x+2y-2+15×(3x-2y+2)=0，即x+y-1=013.2解析∵直线l1与l2平行，∴21=a-1≠-2∴直线l1：x-y-1=0，直线l2：x-y-2=0，∴直线l1与l2之间的距离d=|-1-(-2)|1+114.25解析因为y=x2-4x+53-x所以它表示点P(x，0)到点A(2，7)和B(4，3)的距离之差，如图所示，因为|PA|-|PB|≤|AB|=(2-4)2当且仅当P，B，A三点共线时，等号成立，所以y=x2-4x+53-x15.BD[设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，两平行直线l1：x-3y+3=0与l2：x-3y+33=0的距离为d=|3-3因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为6，所以sinα=36所以α=45°，因为直线l1的斜率为k=33，倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是75°或165°，如图所示16.AB[若m>1，则ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0，或ax1＋by2＋c<ax2＋by2＋c<0，即点P，Q在直线l的同侧，且直线l与直线PQ不平行，故A正确；若m＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，即a(x2－x1)＋b(y2－y1)＝0，若b＝0，则x1＝x2，过P，Q两点的直线与直线l的斜率都不存在，故两直线平行，若b≠0，则y2-y1x2-x1＝－ab，所以kPQ因为|m|＝ax即|m|为P，Q两点到直线l的距离的比值，若m＝－1，则|m|＝1，即P，Q两点到直线l的距离相等，且点P，Q在直线l两侧，但l与直线PQ不一定垂直，故C不正确；若点Q在直线l上，则ax2＋bx2＋c＝0，结合题设及分母不为0，所以不存在实数m，使点Q在直线l上，故D不正确.]17.BC[对于B，若d(A，B)=1，由题意可知d(A，B)=|a-1|+|b-1|=1，令x=a-1，y=b-1，则|x|+|y|=1，作出其图象如图.易知，点A(a，b)的轨迹可由正方形|x|+|y|=1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故B正确；对于A，s=a2+b2+2a+4b=(x+1)2+(y+1)2+2(x+1)+4(y+1)=x2+y2+4x+6y+8=(x+2)2+(y+3)2-5，结合图象可得(x+2)2+(y+3)2的最小值即为点(-2，-3)到直线x+y+1=0(即点(0，-1))的距离|对于C，(x+2)2+(y+3)2的最大值即为点(-2，-3)到点(1，0)，(0，1)的距离中的最大值，max{32，2对于D，若d(A，B)≤1，则|x|+|y|≤1表示正方形及其内部区域，易知其面积为12×2×2=2，故D错误.18.20252解析方法一d(M，N)表示函数y＝ex＋2024图象上的动点P与函数y＝ln(x－2024)图象上的动点Q的距离的最小值，即|PQ|min.y＝ex＋2024⇔ex＝y－2024⇔x＝ln(y－2024)，互换x，y得y＝ln(x－2024)，因此y＝ex＋2024与y＝ln(x－2024)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，则|PQ|min恰好等于函数y＝ex＋2024图象上的动点P(x，y)到直线y＝x的距离的最小值的2倍.点P(x，y)到直线y＝x的距离d＝x-y2＝22|ex－设f(x)＝ex－x＋2024，则f'(x)＝ex－1，当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝2025，所以dm