2026届湖南湘潭市高三下学期学情检测数学试卷

2026届湖南湘潭市高三下学期学情检测数学试卷一、单选题1.已知集合，则（）

A．B．C．D．2.已知复数，则（）

A．B．C．D．3.已知是定义在上的奇函数，则（）

A．B．C．D．4.已知的内角的对边分别为，且，则的形状是（）

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定5.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（）

A．B．C．D．6.现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（）

A．120种B．96种C．72种D．60种7.已知，则（）

A．B．C．D．8.如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）

A．B．C．D．二、多选题9.PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行PM2.5国家标准规定：若PM2.5日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则（）

星期一二三四五六日PM2.5日平均浓度34274323452619

A．该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”B．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的分位数为27C．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28D．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为3110.已知，且，则下列结论正确的是（）

A．“”是“”的充要条件B．的取值范围为C．若，则的最大值为D．的最大值为11.已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（）

A．关于直线对称B．存在点，使得（为坐标原点）C．为定值D．三、填空题12.若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．13.已知是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为__________．14.已知平面内有5个互不相等的单位向量．若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为__________．四、解答题15.如图，在正方体中，分别为的中点．(1)证明：平面．(2)求二面角的正弦值．16.为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金．(1)当时，求顾客可以获得奖金的概率；(2)当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？17.已知数列和满足．(1)若，求的值；(2)若，且恒成立，求的取值范围；(3)设，若，证明：．18.已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且的焦距为．(1)求的方程．(2)对于上的任意两点，定义：．①若是右支上两个不同的点，证明：．②若是右支上三个不