2023年吉林省高考数学试卷(新高考ⅱ)

2023年吉林省高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（）A．2 B．1 C． D．﹣13．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A．种 B．种 C．种 D．种4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（）A．﹣1 B．0 C． D．15．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（）A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣27．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（）A． B． C． D．8．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（）A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为（多选）10．（5分）设O为坐标原点，直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形（多选）11．（5分）若函数f（x）＝alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（）A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0（多选）12．（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3 D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量，满足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，则||＝．14．（5分）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．15．（5分）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|＝，则f（π）＝．四、解答题：本题共小6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC＝，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．18．（12分）已知{an}为等差数列，bn＝，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn．19．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c）．当c∈[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．20．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点．（1）证明BC⊥DA；（2）点F满足，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．21．（12分）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．22．（12分）（1）证明：当0＜x＜1时，x﹣x2＜sinx＜x；（2）已知函数f（x）＝cosax﹣ln（1﹣x2），若x＝0为f（x）的极大值点，求a的取值范围．

2023年吉林省高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（）A．2 B．1 C． D．﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】B【分析】根据题意可得a﹣2＝0或2a﹣2＝0，然后讨论求得a的值，再验证即可．【解答】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，当a﹣2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；当2a﹣2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．故选：B．3．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A．种 B．种 C．种 D．种【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】D【分析】根据分层抽样先进行计算，然后利用组合公式进行求解即可．【解答】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，∴人数比例为400：200＝2：1，则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有种．故选：D．4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（）A．﹣1 B．0 C． D．1【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：由＞0，得x＞或x＜﹣，由f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），得（﹣x+a）ln＝（x+a），即（﹣x+a）ln＝（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x﹣a）ln＝（x+a），∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，得a＝0．故选：B．5．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（）A． B． C． D．【考点】椭圆的性质．【答案】C【分析】记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），由题意可得|﹣﹣xM|＝2|﹣xM|，求解即可．【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣xM|＝2|﹣xM|，解得xM＝或xM＝3，∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3不符合题意，故m＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（）A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣2【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】对函数f（x）求导，根据题意可得在（1，2）上恒成立，设，利用导数求出函数g（x）的最大值即可得解．【解答】解：对函数f（x）求导可得，，依题意，在（1，2）上恒成立，即在（1，2）上恒成立，设，则，易知当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，2）上单调递减，则．故选：C．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（）A． B． C． D．【考点】半角的三角函数；二倍角的三角函数．【答案】D【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及角α的取值范围，即可求解．【解答】解：cosα＝，则cosα＝，故＝1﹣cosα＝，即＝＝，∵α为锐角，∴，∴sin＝．故选：D．8．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（）A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120【考点】等比数列的前n项和．【答案】C【分析】由题意知公比q≠1，设首项为a1，由S6＝21S2求出q2，再代入S4求出，由此求得S8．【解答】解：等比数列{an}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，设首项为a1，则＝﹣5①，＝②，化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），代入①得＝，所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．故选：C．二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为【考点】二面角的平面角及求法；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】AC【分析】作图，取AC中点D，易知∠PDO＝45°，然后再逐项分析判断即可．【解答】解：取AC中点D，则OD⊥AC，PD⊥AC，由二面角的定义可知，二面角P﹣AC﹣O的平面角即为∠PDO＝45°，对于A，△PAB中，由于PA＝PB＝2，∠APB＝120°，则PO＝1，，则OD＝1，，选项A正确．对于B，，选项B错误．对于C，，选项C正确．对于D，，，选项D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）设O为坐标原点，直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的性质．【答案】AC【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．【解答】解：直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得＝1，所以p＝2，所以A正确；抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，xM+xN＝，所以|MN|＝xM+xN+p＝，所以B不正确；M，N的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：1+＝，所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；3x2﹣10x+3＝0，不妨可得xM＝3，xN＝，yM＝﹣2，yN＝，|OM|＝＝，|ON|＝＝，|MN|＝，所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．故选：AC．（多选）11．（5分）若函数f（x）＝alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（）A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】BCD【分析】将函数有极大、极小值问题转化为导函数对应的方程有两个不等正实根来处理．【解答】解：函数定义域为（0，+∞），且f′（x）＝﹣﹣＝，由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，则有x1+x2＝＞0，x1x2＝＞0，Δ＝b2+8ac＞0，∴ab＞0，ac＜0，∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．故选：BCD．（多选）12．（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3 D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．【解答】解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：，故C错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P1＝，单次传输发送0译码为0的概率P2＝1﹣α，﹣（1﹣α）3＝＝（1﹣α）（2α2﹣α）＝（1﹣α）α（2α﹣1），当0＜α＜0.5时，P2﹣P1＜0，故P2＜P1，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量，满足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，则||＝．【考点】向量的概念与向量的模．【答案】见试题解答内容【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解．【解答】解：∵|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，∴，，∴，∴＝3，∴．故答案为：．14．（5分）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为28．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱台的结构特征．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意易知△SO1A1∽△SOA，从而可求出台体的高，再根据台体的体积公式，计算即可得解．【解答】解：如图所示，根据题意易知△SO1A1∽△SOA，∴＝，又SO1＝3，∴SO＝6，∴OO1＝3，又上下底面正方形边长分别为2，4，∴所得棱台的体积为＝28．故答案为：28．15．（5分）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值2（或﹣2或或﹣）．【考点】直线与圆的位置关系．【答案】见试题解答内容【分析】由“△ABC面积为，求得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ，得到cosθ，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，因为△ABC的面积为，可得S△ABC＝×2×2×sin∠ACB＝，解得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ所以∴2sinθcosθ＝，可得＝，∴＝，∴tanθ＝或tanθ＝2，∴cosθ＝或cosθ＝，∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d＝或，∴＝或＝，解得m＝±或m＝±2．故答案为：2（或﹣2或或﹣）．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|＝，则f（π）＝﹣．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【答案】﹣．【分析】由A，B两点的位置入手，结合整体代换思想，先确定ω，再根据图象的位置，找出合乎条件的一个φ值，即可求解．【解答】解：由题意：设A（x1，），B（x1+，），由y＝sin（ωx+φ）的图象可知：f（x1）＝sin（ωx1+φ）＝，故，f（x2）＝sin[+φ]＝，则，两式相减得：，由图可知：T＜，即，解得ω∈（3，6），∵ω＝4+12（k2﹣k1），k2﹣k1∈Z∴ω＝4，∴f（x）＝sin（4x+φ），又f（）＝sin（+φ）＝0，∴+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝﹣+kπ，k∈Z，∵f（0）＝sinφ＜0，∴当k＝2时，φ＝﹣满足条件，∴∴f（π）＝sin（4π﹣）＝﹣．故答案为：﹣．四、解答题：本题共小6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC＝，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知条件，推得，过A作AE⊥BC，垂足为E，依次求出AE，BE，即可求解；（2）根据已知条件，求得，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1））D为BC中点，，则，过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：△ADE中，，，，解得CD＝2，∴BD＝2，，故＝＝；（2），，AD＝1，b2+c2＝8，则，∴bccosA＝﹣2①，，即②，由①②解得，∴，∴bc＝4，又b2+c2＝8，∴b＝c＝2．18．（12分）已知{an}为等差数列，bn＝，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解；（2）根据已知条件，求出Tn，Sn，再结合作差法，并分类讨论，即可求证．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，Sn，Tn为{an}{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16，则，即，解得，故an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；（2）证明：由（1）可知，，，当n为偶数时，n＞5，Tn＝﹣1+3+•••+2（n﹣1）﹣3+14+22+•••+4n+6＝+＝＝，，当n为奇数时，n＞5，Tn＝Tn﹣1+bn＝＝，Tn﹣Sn＝，故原式得证．19．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c）．当c∈[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．【考点】频率分布直方图．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知条件，列出等式，即可求解；（2）根据已知条件，分c∈[95，100]，（100，105]两种情况，依次求出函数，即可求解．【解答】解：（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，则（c﹣95）•0.002＝0.5%，解得c＝97.5；q（c）＝0.01×2.5+5×0.002＝0.035＝3.5%；（2）当c∈[95，100]时，f（c）＝p（c）+q（c）＝（c﹣95）•0.002+（100﹣c）•0.01+5×0.002＝﹣0.008c+0.82≥0.02，当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）+q（c）＝5×0.002+（c﹣100）•0.012+（105﹣c）•0.002＝0.01c﹣0.98＞0.02，故f（c）＝，所以f（c）的最小值为0.02．20．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点．（1）证明BC⊥DA；（2）点F满足，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知条件，推得DE⊥BC，AE⊥BC，再结合线面垂直的判定定理，即可求证．（2）根据已知条件，推得AE⊥平面BCD，依次求出两个平面的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．【解答】证明：（1）连接AE，DE，∵DB＝DC，E为BC中点．∴DE⊥BC，又∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ACD与△ABD均为等边三角形，∴AC＝AB，∴AE⊥BC，AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，∵AD⊂平面ADE，∴BC⊥DA．（2）解：设DA＝DB＝DC＝2，∴，∵，AD＝2，∴AE2+DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，∴AE⊥平面BCD，以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，E（0，0，0），∵，∴，∴，，，设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为，，则，令x1＝1，解得y1＝z1＝1，，令y2＝1，解得x2＝0，z2＝1，故＝（1，1，1），＝（0，1，1），设二面角D﹣AB﹣F的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，故sinθ＝，所以二面角D﹣AB﹣F的正弦值为．21．（12分）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；（2）设出直线MN的方程，并与双曲线C联立，再结合韦达定理，推得，，设出MA1，NA2直线方程，再联立方程，即可求解．【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为，则，解得，故双曲线C的方程为；（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），记C的左，右顶点分别为A1，A2，则A1（﹣2，0），A2（2，0），联立，