福建省福州市2023届高三质量检测数学试题

2023-2024学年福建省福州市高三（上）第一次质检数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满足，则在复平面内，z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（0，1） B．（0，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，+∞）3．（5分）已知点P（x0，2）在抛物线C：y2＝4x上，则P到C的准线的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5分）“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（）A．90 B．180 C．270 D．3605．（5分）一个正四棱台形油槽可以装煤油190000cm3，其上、下底面边长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为（）A． B．25cm C．50cm D．75cm6．（5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（）A． B． C． D．7．（5分）已知，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．（5分）若定义在R上的函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象在区间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（）A．极差为13 B．中位数为82 C．平均数为79 D．方差为124（多选）10．（5分）已知圆M：x2+y2＝1，直线l：，则（）A．l恒过定点 B．若l平分圆周M，则 C．当时，l与圆M相切 D．当时，l与圆M相交（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2有两个极值点．则（）A．f（x）的图象关于点（0，2）对称 B．f（x）的极值之和为﹣4 C．∃a∈R，使得f（x）有三个零点 D．当0＜a＜1时，f（x）只有一个零点（多选）12．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P为平面CDD1上一点，且直线BP与球O相切，则（）A．球O的表面积为4π B．直线BD1与BP夹角等于45° C．该正四棱柱的侧面积为 D．侧面ABB1A1与球面的交线长为2π三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，若，则实数λ的值为．14．（5分）将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为θ，则sinθcosθ的值为．15．（5分）已知定义域为R的函数f（x）同时具有下列三个性质，则f（x）＝．（写出一个满足条件的函数即可）①f（x+y）＝f（x）+f（y）；②f′（x）是偶函数；③当x+y＞0时，f（x）+f（y）＜0．16．（5分）已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为l1，l2．点A在l1上，点B在l2上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称，若|AF|＝2b，则C的离心率为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝Sn+2．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝log2a2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）若c＝2，求a；（2）求△ABC面积的最大值．19．（12分）国际上常采用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的BMI值，并根据“中国成人的BMI数值标准”简称“指标”整理得到如下结果：指标人数性别偏瘦（BMI＜18.5）正常（18.5≤BMI＜24）偏胖（24≤BMI＜28）肥胖（BMI≥28）男12171110女91173（1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．20．（12分）如图，在底面为菱形的四棱锥M﹣ABCD中，AD＝BD＝MB＝2，MA＝MD＝．（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；（2）已知，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆E：的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B．点C在E上，P（4，yP），Q（4，yQ）分别为直线AC，BC上的点．（1）求yP•yQ的值；（2）设直线BP与E的另一个交点为D，求证：直线CD经过F．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a，记曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线为l，l在x轴上的截距为x2（x2＞0）．（1）当x1＝e，a＝1时，求切线方程；（2）证明：|x1﹣ea|≥|x2﹣ea|．

2023-2024学年福建省福州市高三（上）第一次质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满足，则在复平面内，z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．【答案】A【分析】先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：，则，故z对应的点在第一象限．故选：A．2．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（0，1） B．（0，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，+∞）【考点】并集及其运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合并集的运算，即可求解．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＞0}，故A∪B＝（﹣1，+∞）．故选：C．3．（5分）已知点P（x0，2）在抛物线C：y2＝4x上，则P到C的准线的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的性质．【答案】C【分析】由抛物线的方程可得准线方程，将P点坐标代入可得P的横坐标，进而求出P到准线的距离．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，由P在抛物线上，所以4x0＝22，解得x0＝1，所以P到准线的距离为1+1＝2．故选：C．4．（5分）“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（）A．90 B．180 C．270 D．360【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】B【分析】先阅读题意，然后结合分类加法计数原理求解即可．【解答】解：根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，其中1春2夏的不同情况有：种；2春1夏的不同情况有：种，所以小明选取节气的不同情况有：90+90＝180种．故选：B．5．（5分）一个正四棱台形油槽可以装煤油190000cm3，其上、下底面边长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为（）A． B．25cm C．50cm D．75cm【考点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】D【分析】直接利用正四棱台的体积公式求解即可．【解答】解：设正四棱台的高，即深度为hcm，依题意，得，解得h＝75，故选：D．6．（5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（）A． B． C． D．【考点】条件概率与独立事件．【答案】C【分析】利用条件概率公式求解得出结论．【解答】解法一：记第i次摸到红球为事件Ai，摸到黄球为事件Bi（i＝1，2），则，，故．解法二：记第i次摸到红球为事件Ai，摸到黄球为事件Bi（i＝1，2）．由抽签的公平性可知，又，所以．故选：C．7．（5分）已知，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【答案】A【分析】令，利用导数判断函数f（x）的单调性，可得a＞b＞c，进而得解．【解答】解：，，，令，，当x≥e时，f′（x）≤0，故f（x）在区间[e，+∞）上单调递减，所以a＞b＞c．故选：A．8．（5分）若定义在R上的函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象在区间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】A【分析】化函数f（x）＝sin（ωx+），求出函数图象的对称轴，根据题意列出不等式求ω的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+），令，k∈Z，解得，k∈Z，依题意知，有5个整数k满足，即0≤4k+1≤4ω，所以k＝0，1，2，3，4，则4×4+1≤4ω＜4×5+1，所以，ω的取值范围是[，）．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（）A．极差为13 B．中位数为82 C．平均数为79 D．方差为124【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【答案】AC【分析】将数据整理，根据极差、中位数、平均数及方差的概念即可判定各选项．【解答】解：将题中数据排序，可得73，75，76，80，81，82，86，故极差为86﹣73＝13，A正确；中位数为80，B不正确；平均数为（73+75+76+80+81+82+86）＝79，故C正确；方差为[（73﹣79）2+（75﹣79）2+（76﹣79）2+（80﹣79）2+（81﹣79）2+（82﹣79）2+（86﹣79）2]≈17.7，故D不正确．故选：AC．（多选）10．（5分）已知圆M：x2+y2＝1，直线l：，则（）A．l恒过定点 B．若l平分圆周M，则 C．当时，l与圆M相切 D．当时，l与圆M相交【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．【答案】BC【分析】易得定点判断A；由题意可得直线过圆心可求k判断B；求得圆心到直线的距离判断C；利用圆心到直线的距离小于圆的半径可求k的范围判断D．【解答】解：依题意，l恒过定点，选项A错误；若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心（0，0），代入直线方程得，选项B正确；圆心O（0，0）到l的距离，当时，d＝1＝r，l与圆M相切，选项C正确；若l与圆M相交，则d＜1，即，即，故选项D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2有两个极值点．则（）A．f（x）的图象关于点（0，2）对称 B．f（x）的极值之和为﹣4 C．∃a∈R，使得f（x）有三个零点 D．当0＜a＜1时，f（x）只有一个零点【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】ACD【分析】由题意，根据函数奇偶性的性质和平移法即可判断选项A；结合极值和导数关系即可判断选项B；将零点个数转化成图象交点问题，结合导数的单调性即可判断选项C和选项D．【解答】解：已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2，而函数f（x）的图象可由奇函数g（x）＝x3﹣3ax的图象向上平移2个单位长度得到，所以函数f（x）的图象关于点（0，2）对称，故选项A正确；不妨设f（x）的两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），由对称性可知x1+x2＝0，故f（x1）+f（x2）＝2×2＝4，则f（x）的极值之和为4，故选项B错误；易得f′（x）＝3x2﹣3a，此时方程3x2﹣3a＝0有两异根，所以a＞0，解得，，当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当f（x1）＞0＞f（x2）时，函数f（x）的图象与x轴有3个交点，即f（x）有3个零点，此时f（）＜0且f（﹣）＞0，解得a＞1，故选项C正确；当0＜a＜1时，因为，所以函数f（x）只有一个零点，故选项D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P为平面CDD1上一点，且直线BP与球O相切，则（）A．球O的表面积为4π B．直线BD1与BP夹角等于45° C．该正四棱柱的侧面积为 D．侧面ABB1A1与球面的交线长为2π【考点】球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】BCD【分析】根据球的相关计算知识可解．【解答】解：如图，设球O与下底面相切于点O1，则OO1⊥平面ABCD，连接O1A，则∠OAO1为直线OA与平面ABCD所成的角．因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径，所以S表＝4π⋅2＝8π，四棱柱的侧面积为，故选项A错误，C正确．依题意，BB1，BP均为球O的切线，BD1经过球心O，所以∠B1BD1＝∠PBD1，又，所以∠PBD1＝∠B1BD1＝45°，选项B正确．对于选项D，棱AA1的中点F，即球O与棱AA1的切点应为交线上的点，故交线应为过F的圆．截面圆的圆心即为矩形ABB1A1的中心E，在Rt△OEF中，，，所以截面圆半径，周长为2π，该选项正确．故选：BCD．三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，若，则实数λ的值为5．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】5．【分析】根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：，，，则（1+λ）+2（2﹣λ）＝0，解得λ＝5．故答案为：5．14．（5分）将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为θ，则sinθcosθ的值为．【考点】弧长公式．【答案】．【分析】由已知可得，再利用二倍角公式计算即可．【解答】解：依题意，得，所以．故答案为：．15．（5分）已知定义域为R的函数f（x）同时具有下列三个性质，则f（x）＝﹣x（答案不唯一，kx（k＜0）均可）．（写出一个满足条件的函数即可）①f（x+y）＝f（x）+f（y）；②f′（x）是偶函数；③当x+y＞0时，f（x）+f（y）＜0．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质与判断．【答案】﹣x（答案不唯一，kx（k＜0）均可）．【分析】根据基本初等函数可知满足条件①的函数可为f（x）＝kx，此时满足条件②，再结合条件可分析得f（x）为R上的减函数，所以k＜0，从而可得结论．【解答】解：由条件①，设f（x）＝kx，则f′（x）＝k，满足条件②，此时易知f（x）为奇函数，再由条件③，当x＞﹣y时，有f（x）＜﹣f（y）＝f（﹣y），可知f（x）为R上的减函数，所以k＜0．故答案为：﹣x（答案不唯一，kx（k＜0）均可）．16．（5分）已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为l1，l2．点A在l1上，点B在l2上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称，若|AF|＝2b，则C的离心率为2．【考点】双曲线的性质．【答案】2．【分析】由已知可得l1的方程为，AF⊥l2，设垂足为P，则|FP|＝b，再由已知求解l1的倾斜角，得到的值，代入离心率公式得答案．【解答】解：依题意，l1的方程为，AF⊥l2，设垂足为P，则|FP|＝b．∵|AF|＝2b＝2|FP|，∴点F，A关于直线l2对称，∠FOP＝∠AOP，又l1，l2关于y轴对称，∴l1的倾斜角为，故，∴双曲线的离心率．故答案为：2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝Sn+2．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝log2a2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝2n；（2）Tn＝n2．【分析】解法一、（1）运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求；（2）求得bn，判定数列{bn}是等差数列，由等差数列的求和公式，可得所求和．解法二、（1）由数列的通项与前n项和的关系，求得公比，进而得到所求；（2）由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解法一：（1）由an+1＝Sn+2得，设等比数列{an}的公比为q，所以，解得或（舍去）．所以．（2），故b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2（n≥2），所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，所以．解法二：（1）因为an+1＝Sn+2，①所以当n≥2时，an＝Sn﹣1+2，②①﹣②得an+1＝2an，所以等比数列{an}的公比．由①式得a2＝a1+2，得a1＝2，所以．（2）Tn＝b1+b2+⋅⋅⋅+bn＝log2a1+log2a3+⋅⋅⋅+log2a2n﹣1＝log2（a1a3⋅⋅⋅a2n﹣1）＝＝＝n2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）若c＝2，求a；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）．【分析】（1）利用余弦定理建立方程即可求解；（2）利用余弦定理以及基本不等式求出ac的最大值，再根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为，c＝2，，根据余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以，即，解得；（2）根据余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以，（当且仅当时取等号），即，所以△ABC面积，即△ABC面积的最大值为．19．（12分）国际上常采用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的BMI值，并根据“中国成人的BMI数值标准”简称“指标”整理得到如下结果：指标人数性别偏瘦（BMI＜18.5）正常（18.5≤BMI＜24）偏胖（24≤BMI＜28）肥胖（BMI≥28）男12171110女91173（1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】（1）2400；（2）．【分析】（1）根据抽样定义可解．（2）根据相互独立事件的概率计算公式可解．【解答】解：（1）设该公司共有x名员工，依题意得，解得x＝2400，所以该公司共有2400名员工．（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为，由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为，抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为，设事件M为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件为“抽到的员工都不存在肥胖”，所以，所以，所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为．20．（12分）如图，在底面为菱形的四棱锥M﹣ABCD中，AD＝BD＝MB＝2，MA＝MD＝．（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；（2）已知，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解答；（2）直线BN与平面ACN所成角的正弦值为．【分析】（1）取AD的中点为O，连结OM，OB，可证MO⊥AD，MO⊥BO，可证MO⊥平面ABCD，进而可证平面MAD⊥平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AD的中点为O，连结OM，OB，因为四边形ABCD是为菱形，且AD＝BD＝2，所以△ABD为正三角形，所以BO⊥AD，且．因为，所以MO⊥AD，所以，又因为MB＝2，所以MO2+BO2＝MB2，所以MO⊥BO，因为AD∩BO＝O，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD所以MO⊥平面ABCD，又因为MO⊂平面MAD，所以平面MAD⊥平面ABCD．（2）由（1）知，OA，OB，OM两两垂直，故以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，0，0），，，M（0，0，1），，所以，，，设平面ACN的法向量为，则，即，取x＝1，则．因为，则，所以直线BN与平面ACN所成角的正弦值为．21．（12分）已知椭圆E：的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B．点C在E上，P（4，yP），Q（4，yQ）分别为直线AC，BC上的点．（1）求yP•yQ的值；（2）设直线BP与E的另一个交点为D，求证：直线CD经过F．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．【答案】（1）﹣9；（2）证明过程见解答．【分析】（1）根据题意可得点P，Q的纵坐标，再化简即可得解；（2）表示出直线AP，直线BP的方程，分别与椭圆方程联立，