八年级数学上册：用二元一次方程确定一次函数表达式（导学案）

八年级数学上册：用二元一次方程确定一次函数表达式（导学案）

一、教学背景与设计理念

（一）教材分析【基础】

本节内容位于北师大版八年级上册第五章“二元一次方程组”的第七节，是本章的收尾与提升部分。在此之前，学生已经系统学习了一元一次方程、二元一次方程（组）及其解法，以及第四章“一次函数”的相关知识，包括一次函数的定义、图像与性质。本节内容并非孤立的新知，而是搭建起“数”（方程）与“形”（函数）之间桥梁的关键一环。它揭示了二元一次方程与一次函数在本质上的统一性：每一个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，其无数个解对应着函数图像上的无数个点；而两个二元一次方程组成的方程组的解，则对应着两个一次函数图像的交点坐标。本节课的核心价值在于“逆向应用”：即已知两个一次函数图像的交点（或对应二元一次方程组的解），反过来确定这两个一次函数的表达式。这不仅是对前面所学知识的综合运用，更是从“已知解析式研究图像与性质”到“根据图像或条件确定解析式”的思维转变，为后续学习用函数观点看方程（组）与不等式、以及解决更复杂的实际问题奠定了坚实的思维基础和方法基础。

（二）学情分析【重要】

知识储备上，学生已经熟练掌握了解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，能够准确画出一次函数的图像，并能根据图像读取点的坐标。能力基础上，学生具备了一定的数形结合意识，但多数仍停留在浅层理解，未能将方程与函数内化为一个统一整体。八年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对于“数”与“形”为何能统一、如何统一，还需要通过具体、可感的教学活动来深化理解。思维障碍上，学生可能会产生疑问：为什么要求这个表达式？求表达式有什么用？如何根据不同的已知条件选择最合适的求解方法？特别是面对实际情境问题时，如何从文字描述中抽象出数学模型，并建立方程与函数的联系，是学生需要跨越的难点。

（三）设计理念【核心理念】

本节课严格遵循“以学生发展为本”的新课程改革理念，践行“问题驱动—自主探究—合作交流—模型建构—应用迁移”的教学模式。教师从知识的灌输者转变为学习活动的设计者、组织者和引导者。课堂设计注重以下几个方面：

1.深度融合理念：不是简单地将方程与函数进行拼接，而是通过精心设计的问题链，引导学生主动发现、论证并应用二者之间的内在联系，实现知识的深度融通。

2.数形结合思想：将“数”（方程的解、点的坐标）的精确性与“形”（函数图像、交点）的直观性紧密结合，贯穿课堂始终，培养学生的几何直观与抽象思维能力。

3.模型观念与应用意识：通过创设贴近学生生活的实际问题情境，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的全过程，提升数学建模素养和解决实际问题的能力。

4.探究式学习：给予学生充分的思考与操作空间，鼓励学生通过自主尝试、小组讨论、全班交流等方式，探索求解一次函数表达式的多种途径，并在比较中优化方法。

二、教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.知识与技能目标【基础】【必会】：

1.2.理解二元一次方程与一次函数之间的对应关系，明确方程的解与图像上点的坐标的一致性。

2.3.掌握用待定系数法通过图像上两个点的坐标（即对应二元一次方程组的解）来确定一次函数表达式的方法。

3.4.能根据实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型，并转化为确定一次函数表达式的问题加以解决。

5.过程与方法目标【核心】【能力】：

1.6.经历探索二元一次方程与一次函数关系的过程，体会“数形结合”、“转化”和“模型”的数学思想。

2.7.通过小组合作交流，经历从不同角度、用不同方法解决问题并比较优化的过程，发展合作交流能力和分析问题能力。

3.8.在根据已知条件确定函数表达式的活动中，培养逆向思维和逻辑推理能力。

9.情感态度与价值观目标【素养】【育人】：

1.10.在探究数学内在统一性的过程中，感受数学的严谨与和谐之美，激发学习数学的兴趣和探索欲望。

2.11.通过解决实际问题，体会数学的应用价值，增强学好数学的信心。

3.12.养成独立思考、合作交流、反思质疑的良好学习习惯。

（二）核心素养指向

1.数学抽象：从具体情境中抽象出数量关系，建立方程与函数模型。

2.逻辑推理：依据二元一次方程与一次函数的对应关系，推导出求解表达式的依据和方法。

3.数学建模：将实际问题转化为确定一次函数表达式的数学问题。

4.直观想象：借助函数图像理解方程组的解，通过图像特征（经过的点）反推函数解析式。

5.数学运算：准确进行二元一次方程组的求解和待定系数法的代入计算。

三、教学重难点

（一）教学重点【非常重要】【高频考点】

1.理解并掌握用待定系数法，通过两个已知点（即对应二元一次方程组的解）的坐标求一次函数表达式。

2.体会并运用数形结合思想，理解“数”（方程组解）与“形”（图像交点）的内在联系。

（二）教学难点【难点】

1.真正理解为何两个点的坐标可以唯一确定一个一次函数表达式（两点确定一条直线），并能够将“点的坐标”与“方程组的解”这两个概念在情境中自如切换。

2.在复杂实际问题中，准确提取信息，列出二元一次方程组，进而转化为求一次函数表达式的问题，并对结果进行解释和应用。

四、教学方法与准备

（一）教学方法

1.启发式教学法：通过一系列层层递进的问题，启发学生思考，引导学生自主探究发现规律。

2.小组合作探究法：将学生分成若干学习小组，针对核心问题进行讨论、尝试、展示与互评，实现思维碰撞。

3.讲练结合法：精讲关键点，预留充足时间让学生动手操作、动脑思考、动口表达，及时巩固所学。

（二）教学准备

1.教师准备：多媒体课件（PPT），动态演示数形关系的GeoGebra或几何画板课件，导学案（纸质版）。

2.学生准备：复习一次函数图像与性质，二元一次方程组的解法。准备直尺、铅笔、草稿纸。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，温故孕新（约5分钟）

【教师活动】

多媒体展示情境：暑假期间，小明和小亮相约去图书馆。小明从家出发，先步行了10分钟到公交站，然后乘坐公交车。小亮骑共享单车直接前往。下图是小明离家的距离s（千米）与时间t（分钟）的关系图像（一条折线，由一段线段和一条射线组成），小亮离家的距离s与时间t的关系图像是一条经过原点的直线。已知小明步行了0.5千米后到达公交站，乘坐公交车10分钟后到达离家6千米的图书馆。小亮则在出发20分钟后到达图书馆。问题1：你能从图像中读取哪些信息？问题2：你能分别求出小明步行阶段、小明乘车阶段以及小亮骑车的s与t之间的函数表达式吗？

【学生活动】

观察图像，独立思考后尝试与同桌交流。部分学生可能尝试用以前学过的算术方法或猜测，但难以精确表达。

【设计意图】

从学生熟悉的生活情境出发，以图像为载体，既复习了函数图像表示实际意义的方法，又自然引出“已知图像上的点，如何精确求出函数表达式”这一核心任务，激发了学生的求知欲，为新课学习做好了心理和知识上的铺垫。这里包含了两类信息：折线上的点（对应二元一次方程组的解）和直线上的点。

（二）自主探究，发现联系（约10分钟）

【教师活动】

1.将情境问题抽象化：教师引导学生将小明乘车阶段和小亮骑车阶段单独拿出来研究。多媒体隐去背景，只保留两条直线。设小明乘车阶段的图像为直线l1，经过点A(10,0.5)和点B(20,6)。设小亮骑车阶段的图像为直线l2，经过点O(0,0)和点B(20,6)。

2.提出问题链：对于直线l1，它经过两个点A和B。我们知道一次函数的一般形式是y=kx+b（这里变量为s和t，但本质相同）。那么，点A和点B的坐标与这个一次函数的表达式k和b有什么关系？你能列出关于k和b的方程吗？这个方程组与我们之前学过的二元一次方程组有什么联系？

【学生活动】

以小组为单位进行探究。学生设直线l1的表达式为s=kt+b。将A点坐标(10,0.5)代入，得0.5=10k+b；将B点坐标(20,6)代入，得6=20k+b。学生惊讶地发现，这构成了一个关于k和b的二元一次方程组！通过求解这个方程组，即可得到k=0.55，b=-5，从而表达式为s=0.55t-5。同理，对于直线l2，设s=kt，代入(20,6)得6=20k，解得一元一次方程k=0.3，表达式为s=0.3t。

【教师活动】

追问：这个方程组中的k和b是未知数，而t和s的系数以及常数项是由已知点的坐标提供的。这与我们之前解的应用题中的方程组有何不同？（之前方程组中x、y是未知数，系数已知；这里k、b是未知数，而x、y成了已知数。）这正是“待定系数法”！

【设计意图】

这是本节课的核心探究环节。通过“代入坐标得方程”这一关键步骤，让学生亲身体验到“点的坐标”与“方程组的解（关于k和b）”之间的直接联系，从而深刻理解待定系数法的基本原理。学生在小组交流中碰撞思维，由被动接受变为主动发现，成功打通了“方程”与“函数”的任督二脉，理解了数形结合的本质。

（三）归纳建模，明晰方法（约7分钟）

【教师活动】

1.引导学生回顾刚才的探究过程，师生共同总结出“用待定系数法求一次函数表达式”的一般步骤：【非常重要】【高频考点】

1.2.（1）设：设出一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）。若已知直线过原点，可直接设y=kx。

2.3.（2）代：将图像上两个已知点的坐标（x1,y1）和（x2,y2）分别代入所设的解析式中，得到关于k、b的二元一次方程组。

3.4.（3）解：解这个二元一次方程组，求出k、b的值。

4.5.（4）写：将求得的k、b值代回所设解析式，写出最终的函数表达式。

6.强调关键点：为什么需要两个点？（因为一个点只能建立一个方程，一个方程无法解出两个未知数k和b，而两点确定一条直线是几何公理，代数上对应着二元一次方程组有唯一解的条件。）

【学生活动】

在导学案上整理并记忆“待定系数法”的步骤。小组内互相复述，确保每个成员都清晰掌握。

【设计意图】

将探究获得的感性认识上升为理性方法，通过归纳总结，使学生形成清晰、系统、可操作的知识结构。强调“两点”的必要性，深化对“确定”一词的理解，培养逻辑思维的严谨性。

（四）变式训练，巩固深化（约12分钟）

【教师活动】

设计一组由浅入深、形式多样的练习题，引导学生独立或合作完成。

1.【基础练习】已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1,2)和(-1,4)，求这个一次函数的表达式。

1.2.学生独立完成，两名学生板演，集体订正。

3.【变式一：已知方程组的解】已知二元一次方程组{y=2x+1,y=-x+4}的解为{x=1,y=3}，你能写出以这两个方程对应的一次函数图像的交点坐标吗？你能直接写出这两个一次函数的表达式吗？（本题旨在强化方程组的解与交点坐标的对应关系，并巩固表达式的写法）

4.【变式二：逆向思维】已知一次函数y=kx+b，当x=2时，y=5；当x=-3时，y=-5。求这个一次函数的表达式。

1.5.引导学生将“当x=2时，y=5”翻译成“图像经过点(2,5)”，将“当x=-3时，y=-5”翻译成“图像经过点(-3,-5)”，从而转化为标准题型。

6.【变式三：图像信息题】多媒体展示一个一次函数的图像（一条直线，但只标注了它与x轴、y轴的交点坐标，如(3,0)和(0,-2)）。求这个一次函数的表达式。

1.7.学生小组讨论，交流如何从图像上获取点的坐标，并代入求解。

【学生活动】

按教师要求完成各层次练习。对于变式三，可能有的学生直接利用截距设y=kx-2，再代入(3,0)求解，教师应予以及时肯定和鼓励，体现方法的多样性。

【设计意图】

通过多角度、多层次的变式训练，帮助学生克服思维定式，深刻理解待定系数法的本质就是“已知两点（或等价于两点的条件）求解析式”。将方程组解、函数值、图像信息等多种呈现方式统一到“点的坐标”这一核心上来，实现知识的融会贯通，提升解题的灵活性和应变能力。【高频考点】各类考试中，求函数解析式多以这些变式形式出现。

（五）综合应用，解决问题（约8分钟）

【教师活动】

回到课前的情境问题，现在我们已经求出了三个函数表达式。教师进一步追问：我们求出这些表达式有什么用呢？比如，你能根据小明的乘车表达式s=0.55t-5，求出当t=15分钟时，小明离家多远吗？小亮的速度是多少？他们谁先到达距离家3千米的地方？

【学生活动】

学生利用求出的表达式进行计算：t=15代入得s=0.55*15-5=3.25千米。小亮速度即斜率0.3千米/分。对于第三个问题，分别令s=3，解方程0.55t-5=3得t≈14.55分钟，解方程0.3t=3得t=10分钟，所以小亮先到。

【教师活动】

再次深化：你看，有了函数表达式，我们就可以精确地描述运动过程，预测未来某一时刻的状态，或者根据某个状态反推时间。这就是数学建模的价值！现在请大家完成导学案上的拓展问题：小明妈妈从家出发，开车沿相同路线去图书馆，她的s-t图像也是一条直线，且她出发10分钟后在途中追上了小明（此时小明还在公交车上），又过了5分钟到达图书馆。请求出妈妈开车过程的函数表达式。

【学生活动】

小组合作，分析题意。关键是要找出妈妈行驶图像上的两个点。根据“出发10分钟后追上小明”，此时t=10（妈妈出发时间记为0），小明的s=0.55*10-5=0.5？不对，这里要统一时间起点。教师需引导学生理清时间轴。经过讨论，学生可以找出妈妈图像经过的点：追上点（小明的t=20对应妈妈的t=10，位置s=6？也不对，追上时小明还在车上，s是多少？需要重新审视。教师在此处应作为引导者，帮助学生理清“追及问题”中时间与路程的关系，最终确定妈妈图像上的两个关键点：一是追及点，二是到达点。这个过程有一定难度，但正是培养学生分析复杂问题能力的良机。

【设计意图】

将知识应用回归到最初的情境，形成一个完整的闭环，让学生切实感受到学习新知识（求表达式）的价值所在——它是解决更深层次实际问题的工具。通过拓展问题，进一步提升学生分析、转化和综合运用知识的能力，挑战思维极限，为学有余力的学生提供发展空间。

（六）反思小结，构建体系（约3分钟）

【教师活动】

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行课堂小结。

1.知识层面：今天我们学习了什么核心内容？（用待定系数法求一次函数表达式）

2.方法层面：我们是怎样求出来的？（设—代—解—写四个步骤）

3.思想层面：在这个过程中，我们运用了哪些重要的数学思想？（数形结合思想：点的坐标↔方程组的解；转化思想：实际问题转化为数学问题，未知条件转化为已知条件；模型思想：建立函数模型描述实际问题）

【学生活动】

回顾整节课的学习过程，积极发言，分享自己的收获与感悟。在导学案的相应位置记录本节课的知识框架和个人反思。

【设计意图】

通过学生自主小结和教师提炼升华，将零散的知识点串联成线，编织成网，帮助学生构建系统化的认知结构。特别是对数学思想的提炼，能促使学生从更高的视角理解数学学习的本质，实现从“学会”到“会学”的飞跃。

（七）分层作业，巩固拓展（约2分钟）

【教师活动】

布置分层作业，满足不同层次学生的需求。

1.【必做题】（基础巩固）课本课后练习题A组。完成导学案上的“基础达标”部分。

1.2.目标：全体学生掌握待定系数法的基本步骤。

3.【选做题】（能力提升）已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(1,1)，且与y轴交点到原点的距离为3，求这个一次函数的表达式。

1.4.目标：中上等学生学会分类讨论，考虑多种可能性（点(0,3)或(0,-3)）。

5.【拓展题】（实践探究）请你自己设计一个实际情境（如话费套餐、行程问题等），其中包含两个变量，并且它们之间的关系可以近似看作一次函数。请根据你设定的条件，确定这个一次函数的表达式，并用它来解释或预测一些现象。

1.6.目标：优等生将数学知识与生活实际紧密联系，培养建模能力和创新意识。

【学生活动】

记录作业，明确要求。

【设计意图】

分层作业体现了因材施教的原则，既保证了全体学生达成基本教学目标，又为学有余力的学生提供了挑战和发展的机会。特别是实践探究题，将学习延伸到课外，培养学生的综合素养。

六、教学评价设计

（一）过程性评价

1.课堂参与度：观察学生在情境导入、小组讨论、回答问题等环节的积极性和投入程度。

2.探究能力：评估学生在小组探究中是否能主动提出想法、分析问题、合作交流，能否发现并阐述数形之间的联系。

3.练习反馈：通过学生板演、小组展示、