2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第一章必刷小题1集合、常用逻辑用语、不等式（附答案）

必刷小题1集合、常用逻辑用语、不等式分值：73分一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2024·厦门模拟)已知集合A={x||x-1|≤4}，B=x4-xx≥0，则A∩(∁RA.(0，4) B.[0，4)C.[-3，0]∪(4，5] D.[-3，0)∪(4，5]2.已知直线a，b和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x≥1}，若(∁RB)∪A=A，则实数a的取值范围为()A.{a|a≥1} B.{a|a>1}C.{a|a≤1} D.{a|a<1}4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是()A.ab<bc B.a-b>b-cC.an>bn D.b(b-c)<a(a-c)5.关于x的不等式ax2-2x+1>0对∀x∈R恒成立的一个必要不充分条件是()A.a>0 B.a>1C.0<a<12 D.a6.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为()A.2 B.4 C.8 D.227.已知关于x的一元二次不等式x2-(m+1)x+2m-1<0的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且实数x1，x2满足1x1+1x2<1，则实数mA.(2，+∞) B.(-∞，2)C.-∞，12∪(2，+∞) D.-∞，18.(2025·焦作模拟)已知正实数m，n满足(m-1)·(m+n)=(1+n)(1-n)，则m+n的最大值为()A.2 B.8 C.12 D.16二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.对于实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是()A.若a>b，c<d，则a-c>b-dB.若ac2>bc2，则a>bC.若a>b>0，c<0，则ca>D.若a>b，则ac<bc10.当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a+b，a-b，ab∈G，且b≠0时，ab∈G”时，我们称G就是一个数域，则下列命题正确的是(A.0是任何数域的元素B.若数域G有非零元素，则2025∈GC.集合P={x|x=2k，k∈Z}是一个数域D.有理数集是一个数域11.已知a>0，b>0且a+b=1，下列结论正确的是()A.1a+1bB.ab有最小值为1C.a+b有最大值为2D.a2+b2有最小值为1三、填空题(每小题5分，共15分)12.已知p：|x-1|<1，q：x2-(a+1)x+a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.

13.若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2-m有解，则实数m的取值范围是.14.在集合的运算中，一个集合与它在全集中的补集是一一对应的，形成了“集合对”，这种配对方式在解决集合问题时经常用到.现全集U中含有11个元素.对于集合U的k个互不相同的子集A1，A2，…，Ak，它们两两的交集都不是空集，且U的其他子集至少与A1，A2，…，Ak中的一个的交集为空集，那么k=.

答案精析1.C[由|x-1|≤4，得-4≤x-1≤4，∴-3≤x≤5，则A=[-3，5]，由4-xx≥0∴0<x≤4，则B=(0，4]，∁RB=(-∞，0]∪(4，+∞)，故A∩(∁RB)=[-3，0]∪(4，5].]2.A[因为b∥α，则存在c⊂α使得b∥c且b⊄α，若a∥b且a⊄α，则a∥c，又a⊄α且c⊂α，所以a∥α，充分性成立；设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b=P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件.]3.A[因为B={x|x≥1}，∁RB={x|x<1}，因为(∁RB)∪A=A，所以(∁RB)⊆A，所以a≥1.]4.D[对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A错误；对于B，例如，当a=2，b=1，c=-3时，可得a-b<b-c，所以B错误；对于C，例如，当a=2，b=1，n=-1时，a-1<b-1，所以C错误；对于D，由a>b>0>c，可得0<b-c<a-c，又由0<b<a，根据不等式的性质，可得b(b-c)<a(a-c)，所以D正确.]5.A[当a=0时，则有-2x+1>0，解得x<12当a≠0时，有a解得a>1.综上所述，关于x的不等式ax2-2x+1>0对∀x∈R恒成立的充要条件为a>1，所以一个必要不充分条件是a>0.]6.B[a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+4≤3(a+可得(a+b)2≤16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最大值为4.]7.D[由不等式的解集可得，方程x2-(m+1)x+2m-1=0的根为x1，x2，可得x1+x2=m+1，x1x2=2m-1，由Δ=(m+1)2-4(2m-1)>0，得m>5或m<1，由1x1+1x2=x得m+1-2m即(m-2)(2m-1)>0，解得m>2或m<12综上，实数m的取值范围是-∞，12∪(5，+8.A[依题意得m2+n2-(m+n)+mn=1，则1=(m+n)2-(m+n)-mn≥(m+n)2-(m+n)-14(m+n)2即1≥34(m+n)2-(m+n)则3(m+n)2-4(m+n)-4≤0，且m+n>0，解得0<m+n≤2，当且仅当m=n=1时等号成立，则m+n的最大值为2.故选A.]9.ABC[对于A选项，因为a>b，c<d，则-c>-d，由不等式的基本性质可得a-c>b-d，A对；对于B选项，若ac2>bc2，则c2>0，由不等式的基本性质可得a>b，B对；对于C选项，因为a>b>0，c<0，则ca-cb=c(b-a)ab对于D选项，当c=0时，ac=bc，D错.]10.ABD[对于A，根据当a∈G时，则a-a∈G，即0∈G，所以0是任何数域的元素，故A正确；对于B，根据当b≠0时，b∈G，则bb∈G，即1∈G，进而1+1=2∈G，2+1=3∈G，…，2024+1=2025∈G，故B对于C，对2∈P，4∈P，但24=12∉P，不满足题意，所以集合P={x|x=2k，k∈Z}不是一个数域，故对于D，若a，b是有理数，则a+b，a-b，ab，ab(b≠0)都是有理数，故有理数集是一个数域，故D正确.11.AD[对于A，因为正实数a，b满足a+b=1，所以1a+1b=(a+b)·1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab对于B，因为正实数a，b满足a+b=1，所以1=a+b≥2ab⇒ab≤12，当且仅当a=b=12时取等号，即ab有最大值对于C，因为正实数a，b满足a+b=1，所以a+b2≤(a)2+(b)22=a+b2=对于D，因为正实数a，b满足a+b=1，所以a2+b22≥a+b2=12当且仅当a=b=12时取等号，因此本选项正确.12.(0，2)解析由|x-1|<1，解得0<x<2，所以p：0<x<2，对于q：x2-(a+1)x+a≤0，即(x-1)(x-a)≤0，若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，则a<2，所以1<a<2；若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，则a>0，所以0<a<1；若a=1，则q为{x|x=1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2).13.(-∞，-1)∪(2，+∞)解析由两个正实数x，y满足4x+y=2xy，得1x+4y则x+y4==1≥122+2当且仅当4xy=y4x，即y由不等式x+y4<m2-m得m2-m>2，解得m<-1或m>2，所以实数m的取值范围是(-∞，-1)∪(2，+∞).14.1024解析由全集U中含有11个元素，则有211个子集，其中按互补关系可配成210对，(1)根据题意，每对不能同时