浙江省重点高中2023-2024学年高二下学期7月月考试题 数学

高二数学学科测试卷（五）

一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分

Myyln1x2,Nx1x1

1.已知集合，则（）

A.M=NB.MN1,0

ð

C.MN1,0D.RMN1,

【答案】D

【解析】

【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.

【详解】由题意可得11x20ln1x20，即M,0，

ð

所以M¹N，MN1,0，RMN1,，即A、B、C三选项错误，D正确.

故选：D

2.已知角的终边上一点A4,3，且tan2，则tan3（）

1155

A.B.C.D.

2222

【答案】B

【解析】

tantan

【分析】先通过三角函数的定义求出tan，代入tan求出tan，继而求出

1tantan

tan3的值.

【详解】角的终边上一点A4,3

3

tan

4

3

tan

tantan

tan42，

3

1tantan1tan

4

1

解得tan.

2

1

tan3tan.

2

故选：B.

2

3.函数ylnx2x3的单调递减区间为（）

A.,1B.1,C.1,1D.1,

【答案】C

【解析】

【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间.

【详解】令x22x30得3x1，

故ylnx22x3的定义域为3,1，

ylnt在t0,上单调递增，

由复合函数单调性满足同增异减可得，

只需求出tx22x3在3,1上的单调递减区间，

2

tx22x3x14在1,1上单调递减，

2

故数ylnx2x3的单调递减区间为1,1.

故选：C

m

4.下列图像中，不可能成为函数fxx3的图像的是（）．

x

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案.

mm

【详解】因为fxx3，x|x0，所以fx3x2

xx2

mm

当m0时fxx30，x|x0无解，且fx3x20

xx2

此时f(x)在,0，0,单调递增，D选项符合此种情况.

4

mxm2m

当m0时fxx30有两个解4m，且fx3x0

xxx2

此时f(x)在,0，0,单调递增，B选项符合此种情况.

mx4m

当m0时fxx3当x0时易知fx0，x0时fx0

xx

所以函数图像不可能是C.

故选：C

5.已知向量a，b满足a1，b1,1，ab5，则a在b上的投影向量的坐标为（）

112222

A.,B.,C.1,1D.,

222222

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.

【详解】因为b(1,1)，所以|b|212122，

又|a|1,把|ab|5两边平方得

|a|2|b|22ab5，即122ab5，

解得ab1，

ab111

所以a在b的投影向量坐标为b(1,1),，

|b|2222

故选：A.

6.“欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以

时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这

些点在函数y4sinx0,的图象上，且图象过点,2，相邻最大值与最小值之间

224

的水平距离为，则是函数的单调递增区间的是（）

2

75

A.,B.,

342424

5353

C.,D.,

24884

【答案】B

【解析】

【分析】由题意求出最小正周期，从而求出，再利用特殊点求出的值，从而得到函数的解析式，利用

正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果．

【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为，

2

2

所以函数的周期为2，所以2，

2

又图象过点(，2)，

24

1

所以4sin2＝2，可得sin，

24122

5

则有2k或2k,kZ，

126126

3

即2k或2k,kZ，

124

又，所以，所以y4sin2x，

21212

75

令2k2x2k，解得kxk,kZ，

21222424

75

所以函数的单调区间为k,k,kZ，

2424

75

当k0时，函数的单调递增区间为,，故选项B正确．

2424

故选：B．

lnxx，x1

已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是

7.fx2mgxfxmm

2xmx，x1

2

（）

74

A.1,B.1,2C.1,D.1,3

43

【答案】C

【解析】

【分析】由题可知x1时，函数gxfxm至多有一个零点，进而可得x1时，要使得

m

gxfxm2x2mx有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得.

2

【详解】当x1时，fxlnxx单调递增且fxlnxx1，此时gxfxm至多有一个

零点，

若gxfxm有三个零点，则x1时，函数有两个零点；

当x1时，fxlnxx1，故m1；

m

当x1时，要使gxfxm2x2mx有两个零点，

2

2m

Δm80

2

m

则1，

4

m

2m0

2

4

所以0m，又m1，

3

4

所以实数m的取值范围是1,.

3

故选：C.

8.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方

除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD中，ABBD23，将△ABD沿BD进行翻折，使

得AC26．按张衡的结论，三棱锥ABCD外接球的表面积约为（）

A.72B.2410C.2810D.3210

【答案】B

【解析】

【分析】由球的性质确定三棱锥ABCD外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积.

【详解】如图1，

取BD的中点M，连接AM，CM．由ABADBD23，可得△ABD为正三角形，且

2

33232(26)21122

AMCM233，所以cosAMC，则sinAMC1，

2233333

以M为原点，MC为x轴，MD为y轴，过点M且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系如

图2，

则C(3,0,0)，A(1，0，22)．设O为三棱锥ABCD的外接球球心，则O在平面BCD的投影必为

△BCD的外心，则设O(1，0，h)．由R2|OA|2|OC|2可得2202(22h)22202h2，解得h2，

所以R2|OC|26．

π25

由张衡的结论，，所以π10，

168

则三棱锥ABCD的外接球表面积为4πR22410，

故选：B．

二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.

1

9.ABC中，D为边AC上的一点，且满足ADDC，若P为边BD上的一点，且满足

2

APmABnACm0,n0，则下列结论正确的是（）

1

A.m2n1B.mn的最大值为

12

411

C.的最小值为642D.m29n2的最小值为

mn2

【答案】BD

【解析】

【分析】根据平面向量共线定理可知A错误；

1

根据mnm3n，利用基本不等式可求得最大值，知B正确；

3

4141

由m3n，利用基本不等式可求得最小值，知C错误；

mnmn

2

m3n

利用基本不等式可得m29n2，知D正确.

2

【详解】对于A，APmABnACmAB3nAD，

B,P,D三点共线，m3n1，A错误；

2

11m3n1

对于B，m3n1，mnm3n（当且仅当m3n时取等号），B正确；

33212

414112nm12nm12nm

对于C，m3n772743（当且仅当，即

mnmnmnmnmn

m23n时取等号），C错误；

2

m3n1

对于D，m29n2（当且仅当m3n时取等号），D正确.

22

故选：BD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成

积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

10.对于数列an，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有anM，则称数列an是有界的.若这样

的正数M不存在，则称数列an是无界的.记数列an的前n项和为Sn，下列结论正确的是（）

1n

若，则数列是无界的若1，则数列是有界的

A.ananB.ansinnSn

n2

n1

C.若a1，则数列S是有界的D.若a2，则数列S是有界的

nnnn2n

【答案】BC

【解析】

【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前n项和公式即可得解.

11

【详解】对于A，a1恒成立，

nnn

存在正数M1，使得anM恒成立，

数列an是有界的，A错误；

nnn

对于，，111，

B1sinn1ansinn

222

n

11

2n1n

111221，

Saaa11

n12n1

22212

2

2nn

1111

，

Sna1a2an11

2222

所以存在正数M1，使得SnM恒成立，

则数列Sn是有界的，B正确；

对于，因为n，

Can1

所以当n为偶数时，Sn0；当n为奇数时，Sn1；

Sn1，存在正数M1，使得SnM恒成立，

数列Sn是有界的，C正确；

14411

对于D，4，

n24n22n12n12n12n1

11111111

Sn2n12n41

2232n23352n12n1

18n2

2n412n2n2；

2n12n12n1

221

yx在0,上单调递增，n,，

2x12n13

不存在正数M，使得SnM恒成立，

数列Sn是无界的，D错误.

故选：BC.

11.已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，若fx是奇函数，f2f10，且对任

意x，yR，fxyfxfyfxfy，则（）

1

A.f1B.f90

2

2020

C.fk1D.fk1

k1k1

【答案】BD

【解析】

【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.

【详解】令xy1，得f22f1f1，因为f2f10，

1

所以f1，所以A错误；

2

令y1，得fx1fxf1fxf1①，所以f1xfxf1fxf1，

因为fx是奇函数，所以fx是偶函数，

所以f1xfxf1fxf1②，由①②，

得fx12fxf1f1xfxfx1，

即fx2fx1fx，

所以fx3fx2fx1fx1fxfx1fx，

所以fx，fx是周期为3的函数，所以f9f00，

20

fkf1f2f36f1f20，

k1

所以B正确，C错误；

1

因为f2f1f1，

2

在①中令x0得f1f0f1f0f1，

所以f01，

20

fkf1f2f36f1f21，所以D正确．

k1

故选：BD．

【点睛】对于可导函数fx有：

奇函数的导数为偶函数

偶函数的导数为奇函数

若定义在R上的函数fx是可导函数，且周期为T，则其导函数fx是周期函数，且周期也为T

三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z满足z12i1i（其中i为虚数单位），则z_____________.

【答案】10

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算求出复数z，即可求得答案.

【详解】由题意得z12i1i13i，

2

故z13210，

故答案为：10

13.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上

的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.

3

【答案】：

5

【解析】

32

【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为A3A32，若两个空

3113

中只插入1节艺术课，则排法种数为A3(A2A3)A3216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为

34，而所有的排法共有6种，由此求得所求事件的概率．

A3A4144A6720

【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有3种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，

A3

321

①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为A3A3A272，

3113

②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为A3(A2A3)A3216，

③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，

然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为34，

A3A4144

而所有的排法共有6种，

A6720

722161443

故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为，

7205

3

故答案为：．

5

【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

已知22，22，过x轴上一点分别作两圆的切线，切点分

14.O1:xy21O2:x3y69P

别是M，N，求PMPN的最小值为_____________.

【答案】57

【解析】

22

【分析】根据圆的切线的几何性质可推出22，

PMPNt003t3033

可看作点P(t,0)到A0,3,B3,33的距离的和，结合几何意义即可求得答案.

【详解】由题意知22的圆心为，半径，

O1:xy21(0,2)r11

22的圆心为，半径，

O2:x3y69(3,6)r23

设，则2222，

P(t,0)|PM||PO1|1t41t3

22222，

PN|PO2|3t369t327

22

则2222，

PMPNt3t327t003t3033

设A0,3,B3,33，则|PM||PN||PA||PB||AB|，

当且仅当P,A,B三点共线时取等号，

22

此时PMPN的最小值为AB3033357，

故答案为：57

四.解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第

18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA(ccosBbcosC)csinBcsinCbsinB，

（1）求角A;

（2）若AD平分BAC交线段BC于点D，且AD2,BD2CD，求ABC的周长.

2

【答案】（1）A

3

（2）937

【解析】

【分析】（1）先利用余弦定理化简ccosBbcosC，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，

再利用余弦定理可求出角A，

2

（2）由SABCSBADSCAD结合AD平分BAC，A可得bc2b2c，作AEBC于E，则

3

Sc

由ABD结合已知条件可得2，解方程组可求得b,c，再利用余弦定理可求出a，从而可求出三角形的

SACDb

周长.

【小问1详解】

a2c2b2a2b2c2

由余弦定理得ccosBbcosCcba

2ac2ab

所以sinA(ccosBbcosC)csinBcsinCbsinB可化为asinAcsinBcsinCbsinB

再由正弦定理，得a2cbc2b2，得c2b2a2bc，

b2c2a21

所以cosA.

2bc2

2

因为A(0,)，所以A

3

【小问2详解】

因为AD平分BAC，所以BADCAD.

3

1211

由SSSbcsincADsinbADsin，

ABCBADCAD232323

得bc2b2c.

作AEBC于E，

11

cADsinBDAE

ScBD

则ABD2322.

S11bDC

ACDbADsinCDAE

232

bc2b2cc6,

由，解得

c2bb3,

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=63，所以a=37

故ABC的周长为937

16.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E.F分别是棱DD1，A1D1的中点.

（1）证明：B1E平面ACF.

（2）求二面角BAFC的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

5

（2）

3

【解析】

【分析】（）法一：建立空间直角坐标系，得到，，所以，，

1AFEB10ACEB10AFEB1ACEB1

证明出线面垂直；

法二：作出辅助线，先由线面垂直得到ACEB1，再根据三角形全等得到AFA1E，进而得到AF平

面A1B1E，得到AFEB1，从而证明出B1E平面ACF；

（2）利用空间向量求解二面角的余弦值.

【小问1详解】

法一：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0，F1,0,2，E0,0,1，

B12,2,2.

，，

AF1,0,2AC2,2,0EB12,2,1.

因为，，所以，

AFEB10ACEB10AFEB1ACEB1.

因为AFACA，AF,AC平面ACF，所以B1E平面ACF.

法二：连接A1E，BD，B1D1.

在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1B平面ABCD，所以B1BAC.

因为BDAC，B1BBDB，B1B,BD平面B1BDD1，所以AC平面B1BDD1.

因为EB1平面B1BDD1，所以ACEB1.

因为A1B1平面ADD1A1，AF平面ADD1A1，所以A1B1AF.

≌

在正方形ADD1A1，E，F分别是边DD1，A1D1的中点，可得△A1AF△D1A1E，

所以，，所以

A1AFD1A1EEA1AA1AFEA1AD1A1E90AFA1E.

因为A1B1A1EA1，A1B1,A1E平面A1B1E，所以AF平面A1B1E.

因为EB1平面A1B1E，所以AFEB1.

因为ACAFA，AF,AC平面ACF，所以B1E平面ACF.

【小问2详解】

结合（）可得为平面的一个法向量

1EB1ACF.

AB0,2,0.

ABn0,2,0x,y,z2y0

设平面ABF的法向量为nx,y,z，则，

AFn1,0,2x,y,zx2z0

解得y0，令x2，得z1，所以n2,0,1，

EB1n2,2,12,0,1415

cosEB1,n.

EB1n44141353

5

由图可知二面角BAFC为锐角，故二面角BAFC的余弦值为.

3

17.已知某系统由一个电源和并联的A,B,C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常

工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.

（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布N40，4，且X的累积分布函数为FxPXx，求

F44F38.

（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用

寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为

0，t0

GtPTt1.

，

1tt0

4

（ⅰ）设t1t20，证明：PTt1Tt2PTt1t2；

（ⅱ）若第n天只有元件A发生故障，求第n1天系统正常运行的条件概率.

附：若随机变量Y服从正态分布N，2，则PY0.6827，

PY20.9545，PY30.9973.

【答案】（1）0.8186

7

（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）

16

【解析】

【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合FxPXx的定义求解;（2）（ⅰ）根据条件概率的计

算公式集合FxPXx的定义以及G(t)的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即

可.．

【小问1详解】

由题设得P38X420.6827，P36X440.9545，

所以F44F38FX44FX38F40X44F38X40

1

(0.68270.9545)0.8186

2

【小问2详解】

（ⅰ）由题设得：t1t20

P(Tt1)(Tt2)P(Tt1)1P(Tt1)1G(t1)

PTt1Tt2

P(Tt2)P(Tt2)1P(Tt2)1G(t2)

11

1(1t)t

11

444t2t1，

11

1(1)

4t24t2

t2t1

PTt1t21PTt1t21G(t1t2)4,

所以PTt1Tt2PTt1t2．

（ⅱ）由（ⅰ）得

1

PTn1TnPT11P(T1)1G(1)，

4

1

所以第n1天元件B,C正常工作的概率均为．

4

为使第n1天系统仍正常工作，元件B,C必须至少有一个正常工作，

17

因此所求概率为1(1)2.

416

22

xy22

18.已知双曲线Γ:1a0,b0的实轴长为2，离心率为3，圆O的方程为xy2，过

a2b2

圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A，B两点.

（1）求双曲线的方程；

π

（2）求证：AOB；

2

（3）若直线l与双曲线的两条渐近线的交点为C，D，且ABCD，求实数的范围.

y2

【答案】（1）x21

2

2

（2）证明见解析（3）,2

2

【解析】

【分析】（1）由题意列式求出a1,c3,b22，即可得答案；

22

（2）分类讨论，求出y00和x00时，结论成立；当x0y00时，利用圆xy2在Px0,y0处的

切线方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算的值，即可证明结论；

x0xy0y2OAOB

83x2

（3）求出弦长AB以及CD的表达式，可得0，再结合特殊情况下的取值，即可确定答案.

2

【小问1详解】

x2y2

由题意知双曲线Γ:1a0,b0的实轴长为2，离心率为3，

a2b2

2a2

c

故3，解得a1,c3,b22，

a

222

cab

y2

故双曲线的方程为x21；

2

【小问2详解】

证明：设，则22，当时，不妨取，

Px0,y0x0y02y00P2,0

π

此时不妨取A2,2,B2,2，则，即AOB；

OAOB02

π

同理可证当x0时，有AOB；

02

x

220

当x0y00时，圆xy2在Px0,y0处的切线方程为yy0xx0，

y0

即x0xy0y2；

2

2y

x1222

由2可得3x04x4x0x82x00，

x0xy0y2

因为切线l交双曲线于A，B两点，

故2，2222，

0x023x040,Δ16x043x0482x00

4x82x2

设，则00，

Ax1,y1,Bx2,y2x1x22,x1x22

3x043x04

1

故OAOBx1x2y1y2x1x222x0x12x0x2

y0

1

2

x1x2242x0x1x2x0x1x2

2x0

2222

82x18xx082x0

040

3x242x23x243x24

0000

82x282x2

00，

220

3x043x04

故OAOB，

π

综合上述可知AOB；

2

【小问3详