2027届新高三数学热点突破复习 函数的单调性

2027届新高三数学热点突破复习函数的单调性[考试要求]

1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，理解其实际意义．2．理解并会求函数的单调区间．理法先行·题练固本知识点1单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I

增函数减函数定义当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的知识点2单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_______叫做y＝f(x)的单调区间．单调递增单调递减区间I

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3．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(

)A．[1，2]∪[4，5]

B．[－1，2]和[4，5]C．[－3，－1]∪[2，4] D．[－3，－1]和[2，4]√B

[由题图知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B．]

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考点深研·题型突破

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易错提醒：讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．由图象可知，函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递减，故C错误；由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得函数y＝lg

(x＋1)是定义域为(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ABD．]【教用·通性通法】函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．

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法二(图象法)：如图，在平面直角坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观地判断D项符合题意．故选D．]

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通性通法：用定义证明函数单调性的一般步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论．其中关键是“变形”．考点三求函数的单调区间[典例3]函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是______________．

由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．][－1，2]，[5，＋∞)

[2，5]2．(综合变式)函数f(x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为____________________．

(－∞，－2]和[0，2]易错提醒：(1)求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域．(2)单调区间只能用区间表示．(3)若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．

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题号13524687√

课时作业(八)函数的单调性题号13524687

√题号13524687

题号13524687

题号135246873．(2025·长沙期末)设函数f(x)的定义域为R，则“∀x∈R，f(x＋1)＞f(x)”是“函数f(x)为增函数”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√题号13524687

题号13524687必要性：当f(x)为增函数时，因为x＋1＞x，所以f(x＋1)＞f(x)一定成立，故必要性成立．所以“∀x∈R，f(x＋1)＞f(x)”是“函数f(x)为增函数”的必要不充分条件．故选B．]√题号13524687

√题号13524687

√题号13524687

√题号13524687

题号13524687

(－∞，1]∪[4，＋∞)题号13524687(－∞，1]∪[4，＋∞)

[作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4．]题号13524687

(－∞，0)，(1，＋∞)题号13524687

题号13524687四、解答题8．设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1．求证：(1)f(0)＝1；(2)当x∈R时，恒有f(x)>0；(3)f(x)在R上是减函数．题号13524687

题号13524687(3)∀x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))，∴f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)