2027届新高三数学热点突破复习+函数的奇偶性、周期性和对称性

2027届新高三数学热点突破复习函数的奇偶性、周期性和对称性五年高考考点1函数的奇偶性1.★★(2024天津,4,5分)下列函数是偶函数的为

()A.y=

B.y=

C.y=

D.y=

B

解析对于A,令f(x)=y=

,函数定义域为R,f(-1)=

,f(1)=

,则f(-1)≠f(1),故A不符合题意;对于B,令f(x)=y=

,函数定义域为R,f(-x)=

=

=f(x),则f(x)为偶函数,故B符合题意;对于C,令f(x)=y=

,易知函数定义域不关于原点对称,则f(x)不是偶函数,故C不符合题意;对于D,令f(x)=y=

,函数定义域为R,f(1)=

,f(-1)=

,则f(1)≠f(-1),故D不符合题意.故选B.小题速解考虑到y=cosx,y=x2,y=x2+1都是偶函数,由性质法知B正确,故选B.2.★★(2023全国乙理,4,5分)已知f(x)=

是偶函数,则a=

()A.-2

B.-1

C.1

D.2

D

解析

解法一特值法

f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函数,可得f(x)=f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1),即

=-

,化简得e=ea-1,a-1=1,所以a=2.解法二

f(x)=

的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x),即

=

,即

=-

,化简得e2x=eax,所以a=2.小题速解

f(x)的定义域为{x|x≠0}.f(x)=

=x·

,因为f(x)是偶函数,y=x是奇函数,所以y=

是奇函数(奇×奇=偶),则a-1=1,a=2.3.★★(2023新课标Ⅱ,4,5分)若f(x)=(x+a)·ln

为偶函数,则a=

()A.-1

B.0

C.

D.1

B

解析

f(-x)=(-x+a)ln

=(-x+a)·ln

=(x-a)ln

,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),∴x+a=x-a,即a=0.小题速解考虑到y=ln

是奇函数,由奇×奇=偶知y=x+a也是奇函数,所以a=0.4.★★(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=

,则下列函数中为奇函数的是

()A.f(x-1)-1

B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

B

解析

f(x)=-1+

,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1

是奇函数,故选B.5.★★★(2021新高考Ⅱ,8,5分)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇

函数,则

()A.f

=0

B.f(-1)=0C.f(2)=0

D.f(4)=0

B

解析因为函数f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),即函数y=f(x)的图象关于直线x=2对

称,又因为函数f(2x+1)为奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),令t=2x,则f(-t+1)=-f(t+1),故函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,又因为函数f(2x+1)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(2×0+1)=0,即f(1)=0,所以f(-1)=-f(3)=-f(1)=0,其他三个选项无法得出结果.6.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则

(

)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点

ABC

解析令x=y=0,则f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正确.令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正确.令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0,令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)

是偶函数,故C正确.取特殊函数f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此时x=0不是f(x)的极小值点,故D错误,故选

ABC.7.★★★★(多选)(2025全国二卷,10,6分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)

=(x2-3)ex+2,则

(

)A.f(0)=0

B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2C.f(x)≥2当且仅当x≥

D.x=-1是f(x)的极大值点

ABD

解析由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0,故A正确;令x<0,则-x>0,f(-x)=(x2-3)e-x+2,又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)e-x-2,则x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2,故B正确.f(-1)=2(e-1)>2,故C错误.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2,求导得f

'(x)=

=

,当x∈(-∞,-1)时,f

'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,f

'(x)<0,f(x)单调递减,所以x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.故选ABD.8.★★(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=_________.

1

解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)(x∈R)为偶函数,∴f(1)=f(-1),∴2a-

=-

,∴a=1.当a=1时,f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.9.★★★(2021新高考Ⅱ,14,5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_________________________.①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.(x∈R)(答案不唯一)

f(x)=x4解析因为f(x1x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)是幂函数;当x∈(0,+∞)时,f

'(x)>0,所以函数f(x)在(0,

+∞)上单调递增;因为f

'(x)是奇函数,所以f(x)是偶函数.因此函数f(x)可以是f(x)=x4(x∈R).故答案为f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一).知识拓展常见的抽象函数模型1.一次函数y=kx+b(k≠0)型,特征式为f(x+y)=f(x)+f(y)-b.2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)型,特征式为f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=

.3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)型,特征式为f(xy)=f(x)+f(y).4.幂函数y=xa型,特征式为f(xy)=f(x)·f(y).三年模拟1.★(2026届江西赣抚吉十二校联考,3)已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=

,则f(1)=()A.

B.-

C.6

D.-6

D

解析因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又当x<0时,f(x)=

,则f(1)=f(-1)=

=-6.故选D.2.★★(2026届湖北武汉调研,5)若函数f(x)=

是奇函数,则实数a=

()A.1

B.-1

C.2

D.-2

B

解析∵f(x)=

为奇函数,且定义域为R,则f(0)=0,∴a=-1,故选B.3.★★(2025届广东八校联考,4)已知函数f(x)=

为偶函数,则a=

()A.-2

B.-1

C.0

D.2

A

解析

解法一

f(x)=

=

,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)在定义域内恒成立,则有

=

=

在定义域内恒成立,必有(x-2)(x-a)=(x+2)(x+a)在定义域内恒成立,即x2-(a+2)x+2a=x2+(a+2)x+2a,必有a=-2.故选A.解法二函数f(x)=

=

=

·

,因为y=

是偶函数,所以y=

也是偶函数,因此a=-2,故选A.小题巧解

f(x)的定义域为{x|x≠0,x≠-a且x≠-2},根据f(x)是偶函数得(-a)+(-2)=0,a=-2.

【定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提】4.★★(2026届江苏镇江监测,3)下列函数为偶函数的是()A.f(x)=2x-2-xB.f(x)=

C.f(x)=xln(x+

)D.f(x)=-x3+

C

解析对于A,函数的定义域为R,f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数;对于B,函

数的定义域为{x|x≠0},f(-x)=

=

=-f(x),所以f(x)是奇函数;对于C,函数的定义域为R,f(-x)=-xln[(-x)+

]=-xln(

-x)=-xln(

+x)-1=xln(

+x)=f(x),所以f(x)是偶函数;对于D,f(1)=0,f(-1)=2,所以f(x)=-x3+

既不是奇函数又不是偶函数.故选C.5.★★(2026届河北保定部分高中质检,3)以下函数是奇函数且在(-∞,0)上单调递减的

是

()A.y=

B.y=

C.y=x|x|

D.y=-x|x|

D

解析对于A,y=

的定义域为[0,+∞),不为奇函数,故A不符合题意;对于B,令f(x)=y=

,定义域为R,f(-x)=

,故f(x)=f(-x),故f(x)为偶函数,故B不符合题意;对于C,当x∈(-∞,0)时,y=x|x|=-x2,在(-∞,0)上单调递增,因此C不符合题意;对于D,令f(x)=y=-x|x|,定义域为R,f(-x)=x|x|,有f(x)+f(-x)=0,因此f(x)为奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x|x|=x2,在(-∞,0)上单调递减,故D符合题意.故选D.6.★★(2026届广东深圳模拟,5)若函数f(x)=

的图象关于y轴对称,则a=

()A.-

B.

C.-2

D.2

B

解析由f(x)=

的图象关于y轴对称,得f(-x)=f(x),即

=

,即-xe-ax(ex-1)=xeax(e-x-1),即xeax·

+x·

=0⇔x(1-ex)·

=0,要想上式恒成立,则eax-x-

=0恒成立,即e2ax-x-1=0,故2ax-x=0,所以a=

.故选B.7.★★(2026届安徽潜山源潭中学段考,8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间

[0,+∞)上单调递减,则下列结论正确的是

()A.f(0)<f(-1)<f(2)

B.f(2)<f(0)<f(-1)C.f(-1)<f(0)<f(2)

D.f(2)<f(-1)<f(0)

D

解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-1)=f(1),因为函数在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(2)<f(1)<f(0),即f(2)<f(-1)<f(0).故选D.8.★★(2026届河北石家庄一中开学考,5)设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是

()A.{x|x>1}

B.{x|-1<x<0}C.{x|x<-1或x>1}

D.{x|-1<x<0或x>1}

C

解析因为f(x)为偶函数,所以f(x)>0⇒f(|x|)>0,又因为x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,所以|x|-1>0,解得x<-1或x>1.故选C.9.★★(2025届云南昆明摸底测试,6)函数f(x)=ln(

+kx)是奇函数且在R上单调递增,则k的取值集合为

()A.{-1}

B.{0}C.{1}

D.{-1,1}

C

解析由f(x)为奇函数得f(x)+f(-x)=0(x∈R),即ln(

+kx)+ln(

-kx)=0,亦即(1-k2)x2=0恒成立,故k=±1.当k=1时,f(x)=ln(

+x)在R上为增函数,符合题意;当k=-1时,f(x)=ln(

-x)=-ln(

+x)在R上为减函数,不符合题意,故选C.10.★★★(2026届安徽江淮十校联考,4)已知定义在[1-m,2m-3]上的偶函数f(x),且当x∈

[0,2m-3]时,f(x)单调递增,则关于x的不等式f(2x-1)>f(x+3-2m)的解集是

()A.(0,1)

B.

C.

D.

B

解析因为函数f(x)是定义在[1-m,2m-3]上的偶函数,所以1-m+2m-3=0,解得m=2,即函数f(x)的定义域为[-1,1],当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,所以当x∈[-1,0]时,f(x)单调递减,关于x的不等式f(2x-1)>f(x+3-2m)可化为f(2x-1)>f(x-1),所以

解得

<x≤1,因此原不等式的解集为

.故选B.易错警示利用单调性解不等式时,不能忘记定义域.11.★★★(2026届广东八校联盟质检,5)已知函数f(x)=ex-3-e3-x+x,则满足f(2m-2)+f(m+1)>6

的m的取值范围是

()A.(3,+∞)

B.

C.

D.

D

解析令g(x)=f(x+3)-3=ex-e-x+x,x∈R,∵g(x)+g(-x)=0,∴g(x)为奇函数,且易知g(x)在R上单调递增.∵f(2m-2)=g(2m-5)+3,f(m+1)=g(m-2)+3,∴原不等式可转化为g(2m-5)+g(m-2)>0,即g(2m-5)>g(2-m),∴2m-5>2-m,解得m>

.故选D.12.★★★(2026届江苏南京一中月考,5)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y

=f(x)-3ex是奇函数,则f(x)的最小值为

()A.e

B.2

C.2

D.2e

B

解析因为y=f(x)+ex为偶函数,所以f(-x)+e-x=f(x)+ex,即f(x)-f(-x)=e-x-ex,①又函数y=f(x)-3ex为奇函数,则f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex,即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x,②联立①②可得f(x)=ex+2e-x,由基本不等式可得f(x)=ex+2e-x≥2

=2

,当且仅当ex=2e-x,即x=

ln2时,等号成立,因此函数f(x)的最小值为2

.故选B.13.★★★(2026届四川成都阶段检测,5)函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,

且f(-1)=0,若∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,

>0恒成立,则不等式xf(x)<0的解集为()A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-1,0)∪(0,1)

D

解析由题意得f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函

数,f(-1)=0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(1)=-f(-1)=0,所以当-1<x<0或x>1时,f(x)>0,当x

<-1或0<x<1时,f(x)<0,所以当-1<x<0或0<x<1时,xf(x)<0,所以不等式xf(x)<0的解集为(-1,

0)∪(0,1).故选D.14.★★★(2026届黑龙江龙东十校期中,5)定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数,且

当x2>x1>1时,

>0恒成立,设a=f

,b=f

,c=f(2),则

()A.c>b>a

B.c>a>b

C.a>c>b

D.b>c>a

A

解析由f(x+1)为偶函数,得f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1-x)=f(1+x),又当x2>x1>1时,

>0恒成立,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,a=f

=f

=f

,b=f

=f

=f

=f

,因为2>

>2-

>1,所以c>b>a,故选A.15.★★★(2026届江苏扬州中学月考,12)已知函数f(x)=

-2x,则满足f(x2-5x)+f(6)>0的实数x的取值范围是_____________.

(2,3)

解析函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=

-2-x=-

=-f(x),即函数f(x)为奇函数,又y=

,y=-2x在R上均为减函数,因此函数f(x)在R上为减函数,由f(x2-5x)+f(6)>0得f(x2-5x)>-f(6),∴f(x2-5x)>f(-6),即x2-5x<-6,解得2<x<3,因此x的取值范围为(2,3).16.★★★(2026届河南南阳一中期中,17)已知函数f(x)=loga

(a>0,a≠1,m≠-1)是定义在(-1,1)上的奇函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性;(3)若f

>0且f(b-2)+f(2b-2)>0,求实数b的取值范围.解析

(1)因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以loga

+loga

=0,则loga

=0,则

·

=1,即1-m2x2=1-x2对定义域中的x都成立,所以m2=1,又m≠-1,所以m=1.(2)由(1)知f(x)=loga

,设t=

=

=-1+

,任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则t1-t2=

-

=

,∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,∴t1>t2.当a>1时,logat1>logat2,即f(x1)>f(x2).∴当a>1时,f(x)在(-1,1)上单调递减.当0<a<1时,logat1<logat2,即f(x1)<f(x2),∴当0<a<1时,f(x)在(-1,1)上单调递增.(3)由f(b-2)+f(2b-2)>0得f(b-2)>-f(2b-2),∵函数f(x)是奇函数,∴f(b-2)>f(2-2b),∵f

=loga

>0,∴0<a<1.由(2)得f(x)在(-1,1)上单调递增,∴

∴

<b<

,∴b的取值范围是

.五年高考考点2函数的周期性和对称性1.★★(2025全国一卷,5,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f

=()A.-

B.-

C.

D.

A

解析由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数得,f

=f

=f

=f

,又当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f

=f

=5-2×

=-

.故选A.2.★★★(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=

1,则

f(k)=

()A.-3

B.-2

C.0

D.1

A

解析令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,令x=1,y=1,得f(2)=-1;令x=2,y=1,得f(3)=-2;令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;令x=5,y=1,得f(6)=2.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以

f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A.3.★★★★(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶

函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f

=

()A.-

B.-

C.

D.

D

解析由题意知

即

从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+(-f(1))=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得

从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].所以f

=f

=-f

=-

=

.故选D.4.★★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,

记g(x)=f'(x).若f

,g(2+x)均为偶函数,则(

)A.f(0)=0

B.g

=0C.f(-1)=f(4)

D.g(-1)=g(2)

BC

解析由f

,g(2+x)均为偶函数,得f

=f

,g(2+x)=g(2-x),故f

=f

,两边同时求导得-f

'

=f

'

,即-g

=g

,所以g(x)的图象关于直线x=2对称,且关于点

中心对称,从而可得g(x)的周期为T=4×

=2,由-g

=g

可得-g

=g

,即g

=0,所以g

=g

=g

=0,故B正确.g(-1)=g(-1+2)=g(1)=g

=-g

=-g(2),故D不正确.由导函数与原函数的关系知函数f(x)的周期为2,f(x)的图象关于直线x=

对称,关于点(2,m)对称,若m=0,则f(0)=f(2)=0,若m≠0,则f(0)=f(2)≠0,故A不正确.由f(x)的图象关于直线x=

对称,得f(-1)=f

=f

=f(4),故C正确.三年模拟1.★★(2026届江苏南通调研,6)定义在R上的函数f(x)是周期为2的偶函数,当0≤x≤1时,

f(x)=3-4x,则f

=

()A.2

B.1

C.-2

D.-1

B

解析已知函数f(x)是周期为2的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=3-4x,则f

=f

=f

=3-

=3-2=1.2.★★(2025届重庆八中月考,5)下列函数的图象不存在对称中心的是

()A.y=x3+1

B.y=

C.y=

D.y=

D

解析对于A,y=x3+1的图象可由y=x3的图象向上平移1个单位长度得到,因为y=x3是奇

函数,所以其图象关于(0,0)对称,则y=x3+1的图象关于(0,1)对称,不符合题意.对于B,y=

=x-1+

,其图象可由y=x+

的图象向右平移1个单位长度得到,因为y=x+

是奇函数,所以其图象关于(0,0)对称,则y=

的图象关于(1,0)对称,不符合题意.对于C,函数定义域为R,易证y=

是奇函数,故其图象关于(0,0)对称,不符合题意.对于D,y=

的定义域为{x|x≠0},易证y=

是偶函数,其图象关于y轴对称,符合题意.故选D.3.★★(2025届湖南长沙长郡中学月考,4)若函数f(x)=

的最大值为M,最小值为N,则M+N=

()A.1

B.2

C.3

D.4

B

解析

f(x)=

=

+

=1+

,令g(x)=

,定义域为R,又g(-x)=

=-

=-g(x),所以g(x)=

为奇函数,则g(x)max+g(x)min=0,所以M+N=f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2.故选B.4.★★(2024届湖南师大附中期末,5)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),

若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x)

()A.在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递增B.在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递减C.在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递增D.在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递减

B

解析因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又函数f(x)在区间[1,2]上

单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)在[3,4]上单调递减.

故选B.5.★★(2026届江苏兴化中学摸底考,4)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0

≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f(log212)=

()A.-

B.-

C.

D.

A

解析因为f(2-x)=f(x),所以f(x+2)=f(-x),【用-x代替x】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),则f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2),【用x+2代替x】所以f(x+4)=f(x),故f(x)是周期为4的函数.因为8<12<16,所以3<log212<4,-1<log212-4<0,又当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,所以f(log212)=f(log212-4)=f

=-f

=-f

=-(

-1)=-

.【-log2

=log2

=log2

】故选A.6.★★(2026届安徽合肥月考,6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(4-x)=f(x),当0≤x≤

时,f(x)=3-2x,则f(-2025)=

()A.-1

B.1

C.3

D.7

B

解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x).又因为f(4-x)=f(x),所以f(4-x)=f(-x),

所以f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4.因为0≤x≤

时,f(x)=3-2x,所以f(-2025)=f(-1)=f(1)=1.故选B.7.★★★(2025届江苏连云港第一次检测,7)已知函数f(2x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,

且当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则f

=

()A.2

B.-2

C.1

D.-1

A

解析由函数f(2x+1)为奇函数,得f(2x+1)+f(-2x+1)=0,则f(x)的图象关于点

,即(1,0)中心对称.∵函数f(x+2)为偶函数,∴f(x+2)=f(-x+2),即函数f(x)的图象关于直线x=2对称.当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,∴f

=f

=f

=f

=-f

=-f

=-log2

=2.故选A.8.★★★(2026届广东深圳联考,6)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=

()A.10

B.2

C.0

D.4

C

解析因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,又f(1-x)=f(1+x),则f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(-x)=f(2+x),又f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(x),所以f(x)=f(x+4),所以周期为4,f(4)=f(0)=0,又f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.故选C.9.★★★(2026届湖南长沙雅礼中学月考,6)已知奇函数f(x)的定义域为R,且函数y=f(x)

的图象关于直线x=2对称.若x∈[0,2],f(x)=x,则f(13)=

()A.1

B.-1

C.2

D.-2

B

解析因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(2+x)=f(2-x),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(2-x)=-f(x-2),即f(x+2)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为8,所以f(13)=f(5+8)=f(5)=f(-3+8)=f(-3)=-f(3),而f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1),又因为当x∈[0,2]时,f(x)=x,所以f(1)=1,即f(3)=f(1)=1,所以f(13)=-f(3)=-1.故选B.10.★★★(教材溯源·人教A版87页T13)(2026届浙江杭州教学质量监测,8)设函数f(x)

=x3+3x2+6x+5,若f(a)=15,f(b)=-13,则a+b=

()A.2

B.1

C.-1

D.-2

D

解析因为f(x)=x3+3x2+6x+5,所以f(x-1)-1=(x-1)3+3(x-1)2+6(x-1)+4=x3+3x,所以g(x)=f(x-1)-1是单调递增的奇函数.又因为g(a+1)=f(a)-1=14,g(b+1)=f(b)-1=-14,所以g(a+1)=-g(b+1)=g(-b-1),所以a+1=-b-1,即a+b=-2.故选D.小题速解由题意知f'(x)=3x2+6x+6,则f″(x)=6x+6,令f″(x)=0,得x=-1,又f(-1)=1,所以函

数f(x)的图象关于点(-1,1)对称,因为f(a)+f(b)=2,所以a+b=-2.故选D.11.★★★(2026届山东滨州质量检测,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)+f(x-1)=2,f(x+2)为偶函数,若f(0)=0,

f(k)=111,则n的值为()A.107

B.118

C.109

D.110

D

解析对任意的x∈R,由f(x+1)+f(x-1)=2可得f(x+3)+f(x+1)=2,所以f(x+3)=f(x-1),则f(x)=f(x+4),所以函数f(x)为周期函数,且周期为4,因为f(x+2)为偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),所以

函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(1)=f(3),因为f(1)+f(3)=2,则f(1)=f(3)=1,因为f(0)+f(2)=2且f(0)=0,则f(2)=2,所以f(1)+f(2)=3,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,又因为111=4×27+3,所以

f(k)=27×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=111,故n=4×27+2=110.故选D.12.★★★(多选)(2026届广东深圳中学摸底,9)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列结论正确的是

(

)A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称C.函数f(x)的图象关于(1,0)对称D.函数f(x)为奇函数

BC

解析选项A,f(x+2)+f(x)=0⇒f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,所

以A错误;选项B,因为y=f(2-x)是偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),即函数f(x)的图象关于直线x=2

对称,所以B正确;选项C,因为f(2-x)=f(2+x)=-f(x),则f(2-x)+f(x)=0,所以函数f(x)的图象关

于(1,0)对称,所以C正确;选项D,因为f(2-x)=f(2+x),则f(-x)=f(4+x)=f(x),所以函数f(x)为偶

函数,所以D错误.故选BC.13.★★★★(多选)(2026届湖北黄冈一模,10)定义在R上的函数f(x)和g(x),f(x+2)为奇函

数,g(x)为偶函数,且f(x+1)+g(3-x)=4,则

(

)A.g(2)=2B.f(6)=0C.f(x)的图象关于直线x=4对称D.8为g(x)的一个周期

BCD

解析因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)的图象关于原点对称,则f(x)的图象关于点(2,0)对

称,即f(2)=0.【定义在R上的奇函数的图象过原点,可以得到特殊值,这是求值的出发点】已知f(x+1)+g(3-x)=4,令x=1,得f(2)+g(2)=4,将f(2)=0代入可得g(2)=4-f(2)=4,故A错误;由g(x)为偶函数,可得g(x)=g(-x),因此g(2)=g(-2)=4,在f(x+1)+g(3-x)=4中,令x=5,得f(6)+g(-2)=4,由g(-2)=4可得f(6)=0,故B正确;在f(x+1)+g(3-x)=4中,令x=6-x,可得f(7-x)+g(x-3)=4,由g(x)为偶函数可知g(x-3)=g(3-x),则f(x+1)=f(7-x),即f(x)=f(8-x),故f(x)的图象关于直线x=4对称,故C正确;由f(x+2)为奇函数,得f(-x+2)=-f(x+2),即f(1+x)+f(3-x)=0,在f(x+1)+g(3-x)=4中,令x=2-x,得f(3-x)+g(1+x)=4,两式相加得f(x+1)+g(3-x)+f(3-x)+g(1+x)=8,因此g(3-x)+g(1+x)=8,即g(4-x)+g(x)=8,由g(x)为偶函数,可得g(x)=g(-x),所以g(4-x)+g(-x)=8,即g(x)+g(x+4)=8,则g(x+4)=8-g(x),则g(x+8)=8-g(x+4)=8-[8-g(x)]=g(x),即8为g(x)的一个周期,故D正确,故选BCD.14.★★★★★(多选)(2026届福建三明一中开学考,11)已知函数f(x),g(x)的定义域均

为R,f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,g(x-1)+1是奇函数,且g(x)=f(x+2)+4,f(4)=-3,则下列

说法正确的有(

)A.f(x)=f(-x)

B.g(-1)=0C.g(2)=1

D.

g(i)=-2021

ACD

解析对于A,因为f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,所以f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x),因此A正确;对于B,因为g(x-1)+1是奇函数,所以g(0-1)+1=0,即g(-1)=-1,因此B错误;对于C,D,由g(-x-1)+1=-[g(x-1)+1]得g(-x-1)+g(x-1)=-2,又g(x)=f(x+2)+4,所以f(x)=g(x-2)-4,又f(-x)=f(x),所以g(-x-2)-4=g(x-2)-4,即g(x-2)=g(-x-2),则g(x-3)=g(-x-1),所以g(x-3)+g(x-1)=-2,所以g(x)+g(x+2)=-2①,即g(x+2)+g(x+4)=-2②,②-①得g(x)=g(x+4),所以函数g(x)的周期为4,在g(x)+g(x+2)=-2中,令x=1,得g(1)+g(3)=-2,令x=2,得g(2)+g(4)=-2,所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=-4,又f(4)=-3,所以g(2)=f(4)+4=1,所以

g(i)=g(1)+g(2)+…+g(2023)=505×(-4)+g(1)+g(2)+g(3)=-2020+(-2)+1=-2021,故C,D正确.故选ACD.15.★★★★★(多选)(2025届皖豫名校联盟联考,11)已知函数f(x)与g(x)的导函数分别

为f'(x)与g'(x),且f(x),g(x),f'(x),g'(x)的定义域均为R,g(x)-f(6-x)=3,f'(x)=g'(x-2),g(x+4)为

奇函数,则

(

)A.g(2)+g(6)=0

B.f'(x+4)为偶函数C.f(x)=f(x+8)

D.

g(k)=0

ACD

解析对于A,因为g(x+4)为奇函数,所以g(-x+4)=-g(x+4),令x=2,得g(2)+g(6)=0,故A正确;对于B,由g(x)-f(6-x)=3,得g'(x)+f

'(6-x)=0,又f

'(x)=g'(x-2),所以f

'(x+2)=g'(x)=-f

'(6-x),即f

'(x+2)

=-f

'(6-x),所以f

'(x+4)=-f

'(4-x),又f

'(x+4)的定义域为R,故f

'(x+4)为奇函数,故B错误;对于C,

由f

'(x)=g'(x-2),g(-x+4)=-g(x+4),可得f(x)=g(x-2)+b(