【对称性在几何中的应用分析5700字】

对称性在几何中的应用分析目录TOC\o"1-3"\h\u24041对称性在几何中的应用分析 1287721.1对称性在平面解析几何中的应用 1314121.2对称性在立体解析几何中的应用 6几何学分成平面几何学和立体几何学，所以有几种对称，比较直观.通过绘制相应的图形，我们可以很容易地找到对称的物体.例如，关于点的平面点、关于线的点、关于点的线、关于线的线是对称的.利用平面上的对称性，我们可以证明角和线段相等，三角形全等，线段最短，周长最小等等，立体几何中的球、双曲线、抛物线等，这些物体的对称性很直观，很易找.很多几何问题能利用它们的对称性来解决，使得原本复杂的问题变得简单，计算量减少，在接下来的小结中会相应的介绍有关的对称性以及解题思路，对于了解对称性在几何中的应用会有帮助[13].1.1对称性在平面解析几何中的应用定理1.1.1平面上的一点P(x,y)关于Qx0,y证明设对称点为M(xx+x化简之后我们能得到x1例1.1求出点M(5,3)关于点P(6,−2)对称的点的坐标.解设点的坐标是(a,b),则我们可以得到5+a2由此我们可以得出a=7b=−7所以最终得到的坐标为(7,−7).(这题用到了定理1.1.1点关于点对称求出对称点)这类题主要运用到了中点的定义，原本的点和它的对称点的中点一定是关于的那个点，最后利用中点的定义就可以简单算出对称点.定理1.1.2P(x0,y0)是平面上的一点而且关于直线Ax+By+C=0证明设有一点P'(x,y)是P(x0,y0)关于直线xQ=x0+x点Q在直线上可以得到：A∙x解方程最终可以得到对称点P'例1.2点P(3,4)关于直线3x+4y+8=0对称点P'解根据定义代入公式可以得到对称点P'(−(这题用到了定理1.1.2点关于直线对称求出对称点)在计算这类题目的时候要考虑到中点和两条直线之前的斜率关系，通过设对称点得到中点，再连接对称点于与原点得到线段，它的斜率与直线的斜率由于两者是垂直关系所以比例为-1，通过这两个关系就可以得到对称点，这类题目并不难关键在于想到中点的定义关系，还有两条直线或直线与线段之间的斜率关系，往往要通过两个表达式才能计算出，比起点关于点对称要复杂一点，但是只要正确找到两个关系式还是可以算出来，无非是计算复杂与方便的问题，总之善于观察，会表达是重中之重，关键点,还是要多练习培养我们的观察力碰到问题能迎刃而解.拓展：还有一些特殊情况存在：平面上还有这样一些点存在[15]：(1)点P(x0,y0(2)点P(x0,y0(3)点P(x0,y0(4)点P(x0,y0(5)点P(x0,y0(6)点P(x0,y0(7)点P(x0,y0(8)点P(x0,y0这些是基于上述两种情况的一些特殊情况，计算方法和上述两种类似，还是要善于观察到中点以及两条直线直接的关系，能找到题目就会变得简单容易计算.定理1.1.3如果直线l1与直线l2关于点P对称,则必有l1∥l2;若点A在l1上,则A关于P的对称点B证明设L1:Ax+By+C=0,L2:Ax+By+D=0,取点x1,AxL1当C=−2Ax例1.3已知点P(2,−4),直线l1:2x−y−7=0,求直线l1关于点P对称的直线解因为直线l1与直线l2关于点P对称，因此可以得到2x−y+m=0，在l1上取一点A(3,1),则A关于点P对称的点为(1,−9)2x−y+m=0，解得m=−11，所以得到l22x−y−1=0.(这道题用到了定理1.1.3直线关于点对称求对称直线)在做这类题目的时候虽然是直线关于点对称但是可以转化为点关于点对称，在已知直线上取一点，再根据题目要求就可得到对称点，同时直线关于点对称得出两条直线平行，因此可以根据直线平行的定义设新的直线公式再把求出的对称点带进去就可以求出对称的直线.因此做这类题目的时候要第一时间想到转化为点关于点对称，这是关键点，同时也要知道基本的直线平行的一些关系，例如斜率相同，有了这些关系之后解题就会变得简单，剩下的就是计算问题；所以要强调思路要活跃善于转化，遇到各种混合题目要善于辨别，灵活运用对于点关于点，点关于直线，直线关于点，直线关于直线对称之间关系，最终解决问题.定理1.1.4如果直线l1与直线l2关于直线对称,则l1、l2、l一定会相交于同一点;若点A在l1上,则A关于直线l的对称点B在l证明方法和直线关于点对称类似.例1.4直线l1的方程为2x+y−9=0,直线l的方程为2x−y−3=0,求直线l1关于直线l对称的直线解首先求出l1与l2x+y−9=02x−y−3=0得出结果x=3y=3在直线l1上找到一点A(4,1),点A关于点P(3,3)对称点为B(2,5)最后得出k=−2,直线l2：y−5=−2(x−2),化简得到y=−2x+9(这题用到了定理1.1.4直线关于直线对称求出对称直线)例1.5的AC边上分别找点P,Q图1.1解分别作B关于AC的对称点B'，CAB的对称点C'B'C'AB于P,AC于Q,得到BQ+QP+PC=B'Q+QP+C'P(这题用到了定理1.1.2点关于直线对称求出对称点再利用对称点求出想要结果)例1.6在△ABC中,A(−2,3),B(6,2),∠C平分线的直线方程2x−y−6=0,求边BC所在直线方程.图1.2解角平分线方程2x−y−6=0,点A已知则利用点关于直线对称求出对称点A1(425,675),那么BC所在方程实际就是(这题用到了定理1.1.2点关于直线对称求出对称点再利用对称点求出想要结果)在计算直线关于直线对称的时候主要的方法是先求出两条直线的交点再从原本直线中找到有个合适的点，再关于交点得出对称点，求出交点和对称点之后利用这两个点以及对称直线平行关系求出新的直线方程，最终的结果就是对称的直线；当已知条件和角平分线有关并且告知角平分线的方程时，可以变成点关于直线对称求出对称点，再利用对称点和已知条件求相应的直线，最后求出的就是想要的结果，不同类型的直线关于直线对称问题解法或许有所不同但总的思路和用到的知识点还是不变的，只要记住最基本的会使用那问题就一定会被解决.总之直线关于直线对称是四种对称中最复杂的一种，虽然已知的是两条直线但是明显两条直线不能直接得出结果，想要做出结果还是要利用两条直线上有用的条件，把他们变化一下，通过两条直线得出交点，直线上的点，对称点，最后利用这对称点和交点可以求出新的直线，所以说这最复杂的题目最后还是变成了点关于点最简单的形式来做，通过这直线关于直线对称用到点关于点对称来解决问题可以想到数学中最明显的一个现象：我们在做题目时，有些题目虽然表面上复杂但是我们要学会利用最简单的方法，或许有几种方法但我们需要的是最简单的，简单方法做难题才是数学中最聪明的一种方式，不过这种还是需要平时多练习养成一种思路思维模式，时间久了遇到难题很快就能找到最适合最简单的方法，数学的解题能力是日积月累不是一蹴而就的，慢慢培养注重过程.一般来说对称性在平面解析几何中是用来解决物理光学方面问题，例如：反射，解决三角形中的角平分线问题，解决距离的最值问题，对称问题的基本知识包括：中点坐标公式、直线与直线垂直、求两直线交点坐标和点到直线的距离.只要你能熟练掌握以上知识，能够综合运用这些知识，并具有优秀的计算能力，不管是最基础的点关于点对称，还是最复杂的直线关于直线对称，最后所有问题都能迎刃而解，做出各种题目,毕竟所有题目都是有联系的，善于观察，学会运用，有计算能力等这些都是数学中不可或缺的.1.2对称性在立体解析几何中的应用定理1.2.1在空间中有一点A0(x1,y此定理和平面解析几何中的点关于点对称类似.定理1.2.2在空间中有一点A0(x1m=x证明设两条直线交点为x0,y0,z0X(x-x1)+B得到x=Xm+ay=Ym+b代入关系式得到m=两条直线的交点为x0根据中点公式得到2mX+a例1.7点A(1,−1,2),求点A关于直线x+2解根据定理1.2.2我们可以得出x1=1，y1=−1，(这题用到了定理1.2.2空间中点关于直线对称求对称点)做这类题目时候和平面解析几何中的点关于直线对称有相似之处，在这里关键点在于建立一条新的直线求出与已知直线交点，因为原点关于交点对称所以有原点对称点所在的直线与原直线一定是垂直关系，这样原直线的方向向量就成为新直线的法向量或法向量成为方向向量，这样就可以得出原点和对称点所在直线，紧接着交点也能求出，最后再利用中点公式便可以求出对称点；从这类题目中看出垂直的两条直线他们的法向量与方向向量可以相互转化，中点公式，构造新直线，一类题学到几种知识点，所以还是要夯实基础，基础的记牢了才能解决难题.定理1.2.3空间中存在一点A0(x1,y证明以A0(xx=代入平面方程得到m点Ax0最后根据中点公式得到结果.例1.8已知点N(2,4,3),求该点与平面2x+y−2z+3=0的对称点.解通过条件已知x1=2，y1=4，z1(这题用到了定理1.2.3点关于平面对称求对称点)这类题目做法与定理2的题目做法相似，利用已知直线的方向向量或法向量以及已知的点构造新直线，求出交点，再按照中点公式求出对称点，尽管难度不大，但这也考验我们计算能力以及基础知识牢不牢固.定理1.2.4有一个空间曲面：T(x,y,z)=0,它关于定点Qx1,y1证明设曲面上有一点P1(x0,x=2x0−x1y=2代入曲面T就得到结果.定理1.2.5存在一空间曲面：T(x,y,z)=0,该曲面关于平面：Ax+By+Cz=0对称的对称曲面T(x−2An,y−2Bn,z−2Cn)=0，n=Ax证明在T(x,y,z)=0上取一点P1(x1,y1x0代入平面得到Ax1+根据对称关系得到新直线：x−化简得到y1=得到x以此类推得到y1最后代入曲面得到T(x−2An,y−2Bn,z−2Cn)=0.例1.9曲面x23+y2解按照定理1.2.4我们可以得到T(2x1−x,2y(4−x按照定理1.2.5可得T(x−2An,y−2Bn,z−2Cn)=0，其中A=1,B=1,C=0,D=−1,所以得到n=x−y−12最终得到(y(这题用到了定理1.2.4和1.2.5空间曲面关于点或平面对称求出对称曲面)定理1.2.6存在一空间曲线：F1x,y,z=0F2x证明在曲线上