【单自由系统的振动分析概述2400字】

单自由系统的振动分析概述目录TOC\o"1-3"\h\u3814单自由系统的振动分析概述 1228861.1单自由振动系统分析 1186051.1.1无阻尼自由振动 1225791.2.2有阻尼自由振动系统 2298211.2单自由度系统的几个振动频率 51.1单自由振动系统分析正如前面所阐述的，任何振动系统都不可缺少三个基本参量，即质量，弹簧刚度，阻尼。单自由度振动系统也不例外。当然，若在理想的状态下，参量阻尼可以忽略，此时，系统将无止境的往复振动，本章就对这特殊的振动情况作详细分析。此外，还要知道什么是自由振动，它是指系统在某种特定初始状态的振动，即在平衡位置附近仅在与刚度有关的恢复力作用下的振动。我们知道，振动系统是一个有质量和弹簧的系统，一般具备了三个基本要素，并给予特定的初始能量，就可以让系统得到持续的振动。接下来在这些理论的基础上将详细的分析单自由度系统运动情况。1.1.1无阻尼自由振动如图3-1-质量—弹簧系统，它是最简单的单自由度无阻尼自由振动系统。图3-SEQ图3-\*ARABIC1-无阻尼自由振动系统模型根据牛顿第二定律，其运动学方程式为：（3-1）令方程（3-1）变成标准形式：（3-2）（3-2）式一个二阶常系数齐次的线性常微分方程，可用特征值法求解，如下：令代入（3-2）式得到相应的特征方程为：特征值为QUOTEλ=±iωn，实数形式特解为QUOTEcosω0t和QUOTEsinω0t，则方程的通解公式为：常数QUOTEC1、C2C1、（3-3）（3-4）（3-5）（3-3）或（3-4）式表明位移是时间的简谐函数，表示位移是在平衡位置的附近。以简谐规律随时间作周期性的变化，称为简谐振动。因此，无阻尼线性系统的自由振动是简谐振动，如图3-2所示。图3-SEQ图3-\*ARABIC2-无阻尼自由振动位移波形振动的大小和起始状态由初始条件振幅A和初相角q两个常数确定的，并且初始条件与系统自身无关。振动的简谐特性只由参数是位移周期性变化的快慢的表现，其量纲为[角度/时间]，所以参数被称为系统的固有角频率，简称固有频率或自然频率，它是系统本身所拥有的一种重要特性。1.2.2有阻尼自由振动系统实际应用中的振动系统，它的机械能是不守恒的，在实际的振动过程中总会有系统的能量与外界的能量进行交换，其中摩擦、阻力等都会造成系统的能量损失。这些能量耗散系数称为阻尼。阻尼对系统的振幅变化影响很大，不能忽略。最简单的阻尼模型为粘性阻尼，它对振系的阻力大小与振动速度成正比，方向与振动速度相反，如图3-3：图3-SEQ图3-\*ARABIC3-有阻尼自由振动系统模型应用牛顿定律，对振子进行受力分析，建立力学平衡，可以得到系统的运动方程为：（3-6）其标准形式为：（3-7）或为：（3-8）系统固有频率为：，此外引入阻尼比，应用特征值法，设QUOTEx=eλt,可得特征方程为：特征值为：是一个无量纲参数，特征值由它来决定、进而也决定了解的性态，对分三种情形讨论：过阻尼，此时，特征根为两个不同的实根，根据微分方程的知识，可以得到运动方程的解具有如下形式：QUOTEx~tx~t曲线如图3-4所示，可以看到，对于过阻尼的情形，响应呈指数形式，x随t衰减，系统作衰减运动，且当时间t趋于无穷时，指数趋于负无穷，可知随着时间的增加，过阻尼系统的自由振动响应趋于0，不作往返循环运动，系统不作振动，所以，的系统称为过阻尼系统。图3-SEQ图3-\*ARABIC4-过阻尼振动波形临界阻尼，此时，特征根为两个相等的实根，振动方程的通解为：如图3-5，仍随衰减，系统作衰减运动。不作往复运动，这种情况系统也是不作振动，情况称为临界阻尼，它是区分系统是否作振动的阻尼临界值。图3-SEQ图3-\*ARABIC5-临界阻尼振动波形欠阻尼，特征根是一对共轭复数根，计算得到微分方程的通解为：其中称为有阻尼固有频率，表示考虑阻尼时，系统的自由振动频率；当初始条件为：，可得方程（3-6）的定解为：如下图3-6，曲线，随衰减，但系统作幅值衰减的往复周期运动，因此这种情况系统作振动，称衰减振动。由此的系统称为欠阻尼系统。系统的振动周期为。图3-SEQ图3-\*ARABIC6-欠阻尼振动波形欠阻尼系统的自由振动响应是某一个指数函数和三角函数的乘积。指数函数部分和三角函数部分它们分别反应了响应的幅值衰减速度，响应的振荡频率和相位。在自由振动的过程中，由于系统的阻尼器一直在消耗能量，而没有外部能量补给，系统最终将趋于静止，所以当时间趋向无穷时，欠阻尼系统的响应趋向于零。1.2单自由度系统的几个振动频率对于一个质量为，弹性系数为，阻尼比为的单自由度系统，会常常会出现固有频率、自由振荡频率和共振频率这三个关于振动的频率。这三个频率往往会被人认为是一样的，其实这是错误的认识。固有频率，不是系统的固有特性，因为它只与系统的质量和弹性系数有关，与系统外部激励无关，也与系统的阻尼无关，这是因为阻尼不确定是系统内的，还是系统外的，为此固有频率不考虑阻尼比。这也引出了另一个概念，即临界阻尼系数。自由振荡频率QUOTEωd是指在外部激励的作用下单自由度系统偏离平衡位置，当外部激励消失时，系统从开始的位置向平衡位置运动的一种特性。但要注意的是这里的“自由”是指外部激励为零。此时，系统的运行形式根据阻尼比，可分为三种情况：无阻尼系统，即，系统的振荡周期以相等幅值变化，即QUOTEωd=ωnωd欠阻尼系统，即，系统的振荡幅值变化为衰减的形式，系统的自由振荡频率QUOTEωdωd近似其固有频率QUOTEωnωn，但要注意是不等于其固有频率。当阻尼比很小时：临界阻尼或过阻尼，系统一般不会发生振荡,这由初始的速度决定的，所以就没有必要谈论自由振动频率了。当单自由度系统受到频率为ω的简谐运动激励时，系统的响应也是频率为ω的简谐运动。共振频率等于一定频率下的响应与激励的最大比值，通常情况下系统受迫振动时外部激励的频率一般被定义为共振频率。在实际上中，一般用移、速度和加速度这三种方式来表示系统的响应。这三个量的共振频率有所不同。如下表1-1所示：表3-SEQ表3-\*ARABIC1-单自由度系统的三个振动频率响应共振频率响应的相对幅值位移速度加速度由表1可以看出，固有频率比位移共振频率要高一些，速度共振频率等于固有频率，加速共振频率比固有频率