253-八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）

八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）八下数学复习专题勾股定理中的翻折模型（精解版）八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。【知识储备】勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。模型1.折痕过对角线模型【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：ABC≌AB'C；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例12023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，7ADB=30O，则EF=()【答案】A【分析】根据折叠的性质，可知BF【答案】A【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=63-EF，在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF2=BE2+EF2，由此即可求得EF值．由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=63，7ADB=7EDB=30O，7ABD=7EBD=60O，八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）∴在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF2=BE2+EF2，22+EF2，解得：EF=23，故选：A．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．例22022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D,处。(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积。【答案】【答案】(1)5(2)10【分析】（1）矩形沿对角线AC对折后，所以LD,=LB=90O，LAFD,=LCFB，BC=AD,，可得VAD,F三VCBF，再设AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案；（2）直接根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：以LD,=LB=90O，LAFD,=LCFB，BC【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等，根据全等三角形的性质得出AF=CF是解题的关键．例32023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(1,3).将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点E的坐标为.八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）【分析】先证明【分析】先证明EA=EC（设为x根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x即可解决问题．【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，∴EA=EC（设为x由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，解得：xOE∴E点的坐标为（0故答案为（0【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．模型2.折痕过一顶点模型【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：ABE≌AB'E；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：ABE≌AB'E；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形ABCE≌四边形A'B'C'E'；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例12023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使A的对应点E落在对角线BD上，折痕为DF，则AF的长为【答案】【答案】【分析】先利用勾股定理求出BD，设AF=EF=x，则由折叠的性质有BF=4-x，BE=2，在Rt△BEF中，由FB2=EF2+BE2，列出方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°,3八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）+AB∵△DFE是由△DFA翻折得到，∴DE=AD=3，BE=2，设AF=EF=x，在Rt△BEF中，∵FB2=EF2+BE2，∴（4-x【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，利用法则不变性，设未知数列方程是解题的关键，是中考常考题型。例22022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F 【答案】7【分析】根据折叠的性质，AD=AF=4，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据折叠的性质，AD=AF=4，在RtABF中在RtABF中，由勾股定理得：BF=AF2_AB2=·16_9=7，故答案是：7．【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．例32023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为 【答案】26【分析】连接EF，根据翻折的性质，矩形的性质和E是AD的中点，可得：BG=AB，LEGF=LD=90O，八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）得FG=FD=2，BG=AB=CF+F【详解】解：连接EF，则在矩形ABCD中，根据翻折的性质和E是AD的中点，可得：在RtEGF与RtEDF中，∴Rt△EGF三Rt△【点睛】本题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键。例42023·广东·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，点F、G在CD上，将△BCF，△ADG分别沿BA着BF，AG翻折，BA点C的对应点和点D的对应点恰好重合在点E处，则的值是()FG【答案】【答案】D【分析】先根据翻折变换的性质得出△BCF≌△BEF和△ADG≌△AEG，从而证出A、E、F以及B、E、BAG共线，设CF=x，再根据勾股定理得出FG，继而得出的值．FG【详解】解：矩形ABCD中，由翻折变换的性质得，∴△BCF≌△BEF，△ADG≌△AEG，∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°,CF=EF，DG=EG；在四边形BCFE中，∠CBE+∠CFE=180°,∵∠GFE+∠CF∴∠AEG+∠FEG=180°,∠BEF+∠FEG=180°,八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）∴∴A、E、F三点共线，B、E、G三点共线，∴翻折变换的性质得CF=EF=EG=DG=x【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，四边形的内角和，得到∠FEG=90°是解题的关键例52023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边CD上由点D向点C运动.沿直线AP翻折ΔADP，形成如下四种情形，设DP=x，ΔADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y.（1）如图4，当点P运动到与点C重合时，求重叠部分的面积y2）如图2，当点P运动到何处时，翻折ΔADP后，点D恰好落在BC边上？这时重叠部分的面积y等于多少？【答案】（【答案】（1）y=32.82）当DP=5时，点D恰好落在BC边上,这时y=25.【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;（2）同样根据轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;【详解】解1）由题意可得,LDAC=LD,AC=LACE∴AE=CE设AE=CE=m,则BE=10-m在RtΔABE中,m2=82+(10-m)2m=8.2∴重叠的面积yxCExABx8.2x8=32.8（2）由题意可得ΔDAP≌ΔD,AP∴AD,=AD=10PD,=DP=x在RtΔABD,中∵AB=8∴BDCD,=4在RtΔPCD,中x2=42+(8-x)2解得：x=5此时yAD.DPx10x5=25∴当DP=5时，点D恰好落在BC边上这时y=25.【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答.模型3.折痕任意两点模型【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：BEF≌B'EF；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形EBCF≌四边形E'B'C'F'；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形EBCF≌四边形E'B'C'F'；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例12022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中AB=10，BC=12，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将ΔAEF沿EF所在直线翻折，得到ΔA’EF，连接A’C,A’D，则当ΔA’DF是直角三角形时，FD的长是．【答案】【答案】或7【分析】根据题意，分LFA’D=90O及LA’FD=90O两种情况进行讨论求解．其中，当LFA’D=90O时，E，A’，D三点共线，由矩形性质及已知条件，有AD=BC=12，AE=5，在RtEAD中，运用勾股定理求得ED的长，再根据翻折性质，在Rt△FA’D中，运用勾股定理求得FD的长；当LA’FD=90O，运用翻折性质，证得△EAF是等腰直角三角形，再运用矩形性质，求得FD的长．【详解】解：分两种情况进行讨论，①当LFA’D=90O时，∵矩形ABCD中，ΔAEF沿EF所在直线翻折，得到ΔA’EF，∴LFA’E=LA=90O，∴E，A’，D三点共线．∵矩形ABCD，BC=12，∴AD=BC=12．∵AB=10，点E是AB的中点，∴AE八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）AA,F2+A,D2=FD2，即x2+82=(12_x)2，解得，xFD=AD_AF∴ΔAEF沿EF所在直线翻折，得到ΔA,EF，∴LAFE=LEFALAFA,=45O．∵AB=10，点E是AB的中点，∴AE=AFAB=5，∵矩形ABCD，BC=12，∴AD=BC=12，∴FD=AD_AF=12_5=综上所述，FD的长为3或7．【点睛】本题考查了矩形的翻折问题，熟练运用翻折性质、勾股定理，是解题的关键．26例22022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合。若55【答案】【分析】设CF=x，在Rt△CFD,中利用勾股定理求出x即可解决问题．【详解】解：∵D,是BC的中点，BC=8，CD=6，∴D,CBC=4，由折叠的性质知：DF=D,F，设CF=x，则D,F=DF=CD_CF=6_x，在Rt△CFD,中，根据勾股定理得：D,F2=CF2+CD,2，即：(6_x)2=x2+42，解得xCF故答案为：【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．3例32022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形ABCD是一张长方形纸片，将该纸片沿着EF翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点A,，若AB=6，BC=9，则AA,E的面积为八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）7575【答案】【分析】根据长方形得到AB=CD=6，LB=LC=LBAD=LADC=90O,AD∥BC，根据折叠的性质得到26由勾股定理得到DF根据三角形的面积公式即可得到结论。【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，LB=LC=LBAD=LADC=90O,AD∥BC,如图所示：∴LA,DE=LCDF，A,D=CD，LDA,E=LC，∴A,DE≌CDF(ASA)，∴DE=DF,A,E=CF，CD2+CF2=DF2，∴62+(9_DF)2=DF2，解得DF∴DE=DF∴过A,作A,H上AD于H，∴A,H∴AA'E的面积为AE·A,E=xx=，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题长方形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键。例42023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点Cı上。若AB=6，BC=9，则BF的长为【答案】【答案】4【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）的长，即可解决问题．的长，即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°;∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；由题意得：C′F＝CF（设为x则BF＝9−x，由勾股定理得：x2＝32＋(9−x)2，解得：x＝5，∴BF＝9−5＝4．故答案为4．【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．例52022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在边CD上，点A、D关于直线BE的对称点分别是点M、N．如果直线MN恰好经过点C，那么DE的长是【答案】【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案。【详解】解：如图，连接BM,EN，则有四边形BMNE，四边形BMNE相当于四边形ABED沿BE边对折得到。2设DE=a，则EN=a，EC=6-a，在RtENC中，EN2+CN2=EC2，：．【点睛】考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点。模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例12023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，Rt△ABC中，LC=90O，AC=12，BC=16．(1)AB的长为．(2)把ABC沿着直线AD翻折，使得点C落在AB边上E处，求CD的长。【答案】【答案】(1)20(2)6【分析】（1）在RtABC中利用勾股定理即可求出AB的长；则DB=16_x，根据勾股定理得出DE2+EB2=DB2，即可求出．（2）根据折叠可得：AC=AE=12，CD=ED，则BE=AB_AE=20_12=8，设CD=DE=x，则DB=16_x，∵DE2+EB2=DB2，∴(16_x)2=82【点睛】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．例22023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在RtABC中，LABC=90O，AB=3，AC=5，AD为LBAC的平分线，将DAC沿AD向上翻折得到DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为()【答案】【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．AB∵将DAC沿AD向上翻折得到DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC_CD=4_x，BE=AE_AB=5_3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4_x)2+22=x2，解得：x即DE的长为，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．例32023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，LACB=90O，AB=4，D为边AB上一点，将△BCD沿着直线CD翻折，点B恰好落在边AC上的点E处，连接DE．如果AE=DE，那么AE的长为．【答案】23_2/_2+23【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出LA=30O，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AC，进而得出AE． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出LA=30O是解题的关键。模型5.过斜边中点所在直线翻折模型【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例12023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为()【答案】【答案】D【分析】先利用折叠的性质得到AE=BE，设AE=x，则CE=AC_AE=4_x，BE=x，在RtBCE中，【详解】解：∵ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，六ADE三BDE，∴AE=BE，设AE=x，则CE=AC_AE=4_x2，解得xAE故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．例22023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在ΔABC中，LC=90O,AB=10,AC=6,CD是AB上的中线，如果将ΔBCD沿CD翻折后，点B的对应点B'，那么BB'的长为八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）48548【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可。∵CD是AB上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y，根据题意，得x2+y2=25，(x+5)2+y2=64，解得xBB,=2y,故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键。例32023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点D是ABC的边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻【答案】【答案】22【分析】连接BE，延长CD交BE于点G，作CH丄AB于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得即xABCH=2xxCDBG，从而可求得CH的长．【详解】解：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH丄AB于点H，如图所示，八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）由折叠的性质可得：BD=DE，CB=CE，则CG为BE的中垂线，∴BGBE，∵D为AB中点，∴BD=AD=2，SCBD=SCAD，AD=DE，∴7DBE=7DEB，7DEA=7DAE，∵7EDA+7DEA+7DAE=180O，即27DEB+27DEA=180O，∴7DEB+7DEA=90O，即7BEA=【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长。模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【模型解读】1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例12022·河南鹤壁·八年级期末）如图，RtABC中，AB=8,BC=6,7B=90O，M，N分别是边AC,AB上的两个动点。将ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）【答案】D【分析】根据题意，分BD=2和BD=4两种情形，设BN=x，在Rt△BDN中，勾股定理建立方程，解方程即可求解。【详解】解：AB=8,BC=6,LB=90O，点A的对应点D落在BC边的三等分点处，设BN＝x，则BD=2和BD=4，ND=AN=AB_BN=8_x，在Rt△BDN中，BN2+BD2=ND2，当BD=2时，22+x2=(8_x)2，解得：x当BD=4时，42+x2=(8_x)2，解得：x=3，故选D．【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键。例22022·重庆市七年级期中）如图，在ABC中，LACB=90O，点D，E分别在边AC，BC上，且LCDE=LB，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的F点，若CD=4，CE=3，DE=5，则AB的长为485【答案】485【分析】由三角形面积公式可求得OC由折叠的性质可得CF由直角三角形的性质可得AF=CF=24，BF=CF=24，即可求得AB．【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE，八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）∵∠ACB＝90°,∴∠A+∠B＝90°,且∠CDE+∠DCF＝90°,∠CDE=∠B，∴∠A=∠ACF，∴AF=CF同理可求：BF=CFAB=AF+BF故答案为【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题。模型7其他三角形翻折模型例12022·成都西川中学八年级期中）如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°,AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点。将ΔCEB沿直线CE折叠到ΔCEF，使点B与点F重合。当CF⊥AB时，线段EB的长为【答案】2【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在ΔEHF中利用勾股定理列出方程，解之即可。【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=9∴SΔABCAC×BCAB×CH，即3×4=5×CH，∴CH由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH设BE=EF=x，则EHx，在ΔEHF中，EH2+FH2=EF2，x2，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程。例22022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°,AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，4【答案】17或754【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当ΔDEB,为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长。AC（1）当LEDB,=90O时，如图1，过点B9作B,F上AC，交AC的延长线于点F，（2）当LDEB,=90O时，如图2，此时点E与点C重合，在RtΔB¢CD中，由勾股定理得：(24_x)2+182=x2，解得：x因此BD故答案为：17或．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复。例32023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝10，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为()八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）66595【答案】C【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案。【详解】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，∵AB＝BC＝5，∴AH=CHAC在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+()2＝52，解得BHS△ABCAC.BH=BC.AGx5.AG解得：AG＝3，在RtACG中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝(10)2，解得：CG＝1，由翻折可得，∠ADF=∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD=∠AFD＝90°,∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，设GD＝x，则DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，x2+224﹣x）2，解得x=，∴DE＝CDBD＝BC﹣CD=,设点E到BC的距离为d，S△BDEDE.BFBD.dd解得d＝2．所以点E到BC的距离为2．故选：C．【点睛】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键。例42023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°,AC＝23，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点B9恰好落在AC的中点处，则BD的长是．八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）【答案】【答案】/1.75【分析】根据折叠的性质可得BD=B,D，设BD=x，则AD=AB_AD=2_x，在RtAB,D中，勾股定理列出方程即可求得B,D的长，进而求得BD的长．【详解】把△BDE沿DE翻折，B的对应点B,恰好落在AC的中点处，:ABACBD=B,D设BD=x，则AD=AB_AD=2_x，在RtAB,D中，AD2+AB,2=B,D即x2解得xBD故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键．例52023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，LBAC=90O，AB=22,AC=6，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，CG=2，则AE=．【答案】1【分析】连接BE，由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE=4-AE，然后利用勾股定理即可得解。【详解】解：如下图，连接BE，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴BE=EG，∵AC=6，CG=2，∴BE=EG=∴∴AE2+AB2=BE2即AE，∴AE=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键．例62023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，LACB=90O，AC=6，AB=10，将边AC沿CE翻折，使点A落在边AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为．【答案】【答案】1.2【分析】首先证明△ECF是等腰直角三角形，利用面积法求出CE，可得CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE=DE=3.6，即可求得DF的长．【详解】解：根据折叠的性质可知：DE=AE，LACE=LDCE，LBCF=LB,CF，CE丄AB，:LDCE+LB,CF=LACE+LBCF，LACB=90O，:LECF=45O，:ECF是等腰直角三角形，SABCAC.BCAB.CE，:AC.BC=AB.CE，=3.6，:DF=EF_DE=4.8_3.6=1.2，故答案为：1.2．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE、AE是解决问题的关键．1.2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知RtABC中，LC＝90O,AC＝6,BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为()八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）【答案】【答案】C【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点D为边BC的中点，可求CDCB，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理42+(6-x)2=x2解方程即可．【详解】解：∵将它的锐角A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于在Rt△CDE中由勾股定理，CD2+CE2=DE2即42+(6-x)2=x2，解得x故选择：C．【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．2.2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形ABC，ÐB=90°点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F．若AB=3，AD=5，则点E到BC5525【答案】D【分析】过点E作EM上BD于点M，先根据勾股定理求出BD的长度，再根据翻折的性质得出BD=ED,BE上AD,BF=EF，继而利用三角形的面积公式求出BF再求出BEDF利用三角形的面积求解即可。【详解】过点E作EM上BD于点M，∵把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，∴BD=ED,BE上AD,B八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）ABDAB.BDAD.BF，即3x4=5.BF，∵SBDEBE.DFBD.ME，∴EM故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键．3.2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将ΔABP沿BP翻折至ΔEBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为()【答案】A【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA证明ΔODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可。【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是长方形，∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：ΔABP≌△EBP，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+(8_x)2=(x+2)2，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故选A．【点睛】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）握翻折变换和长方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．握翻折变换和长方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4.2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为()【答案】D【分析】作EH上BC于H，则LEHF=90O，由四边形ABCD为矩形，得LDEF=LBFE，由折叠的性质及等量代换得DE=FD，设BF=FD=x，则CF=8_x，由勾股定理解得x=5，所以BF=FD=5，CF=BC_BF=3，根据矩形的判定可证四边形CDEH是矩形，可得出FH=CH_CF=5_3=2，在RtEFH由勾股定理得EF=EH2+FH2即可计算出。【详解】解：如图，作EH上BC于H，则LEHF=90O，四边形ABCD为矩形，:AB=CD=4，AD=BC=8，LA=LB=LC=LADC=90O，AD//BC，:LDEF=LBFE，矩形沿EF折叠，使B点与D点重合，:BF=FD，DG=AB，LDFE=LBFE，:LDEF=LDFE，:DE=FD，设BF=FD=x，则CF=8_x，在RtCDF中，CD2+CF2=FD2，\42+(8-x)2=x2，解得：x=5，:BF=FD=5，CF=BC_BF=3，:DE=5，LC=LADC=LEHF=90O，:四边形CDEH是矩形，:CH=DE=5，EH=CD=4， 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化。5.2023·广东·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AD=23，AB=3，先将矩形沿着直线DE翻折，使点A落在BC边上的点A9处，再将A9BE沿着直线A9E翻折，点B恰好落在DE边上的点B9处，则线段AE的长为()八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版） 【分析】根据折叠的性质，设AE=A,E=x，BE=B,E=3_x，由勾股定理计算出x2=3+(3_x)2，故可求解。 ∴A,B=BC_A,C=23_3=3．设AE=x，则BE=AB_AE=3_x，由翻折得BE=B,E=3_x，A,B=A,B,=3，LA,B,E=LB=90，在RtA,B,E中，由勾股定理，得A,E2=A,B'2+B,E2．∴x2=3+(3_x)2．解得x=2．故选A． 【点睛】此题主要考查矩形与折叠，解题的关键是熟知折叠的性质、勾股定理的应用。6.2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，BC=a，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为BE，点E在边CD上，则CE的长为()【答案】【答案】D【分析】首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°,由翻折不变性可知：BC=BO，八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）∴BE=2CE根据勾股定理得：ECa，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．7.2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的A'处，若AB=3，AD=4，EB=1，则四边形A'CDF的面积是()【答案】C【分析】根据折叠的性质结合矩形的性质得到A,B,=AB=3，B,E=BE=1，LB=LB,=90O，利用勾股定理求得A,E=2，过A,作A,G⊥AD于G，设DF=x，在RtA,GF中，再利用勾股定理列式求得DF=2，根据梯形面积公式即可求解。AB=A,B,，FA=FA,，BE=B,E，LAFE=LEFA,，LB=LB,=90O，在RtA,B,E中，A,B,=AB=∴A,C=BC_BE_A,E=4_1_2=1，过A,作A,G⊥AD于G，则A,G=CD=3，设DF=x，则GF=x_1，FA,=FA=4_x，在RtA,GF中，A,F2=A,G2+GF2，2+(x_1)2，解得：x=2，即DF=2，∴四边形A'CDF的面积是，故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，梯形的面积公式，解本题的关键是利用勾股定理分别求出A,E，DF的长。8.2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A与点C重合，折痕为DE．若八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）AB=4，BC=3，则CD的长是8【分析】根据折叠的性质可得8【分析】根据折叠的性质可得AD=CD，然后在RtDBC中，利用勾股定理即可解答．【详解】解：∵折叠直角三角形纸片ABC，使得点A与点C重合，∴AD=CD，【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题勾股定理。理解和掌握勾股定理是解题的关键。9.2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在ABC中，AB=12，AC=102，BC=142，点D在边BC上，连接AD．将ACD沿AD翻折后得到△AED，若AE上BC，则线段CD的长为【答案】【答案】52【分析】AE【分析】AE与BC交于点F，设AF=x，则CF=142_x，据勾股定理得出CF=82，AF=62，再【详解】解：AE【详解】解：AE与BC交于点F，设AF=x，则CF=142_x，∵将ACD沿AD翻折后得到△AED，∴AE=AC=102，CD=ED，∴EF=102_62=42，设CD=ED=y，则DF=82_y，∴DF2+EF2=DE2即(82_y)2+(42)2=y2，解得：y=52线段CD的长为52故答案为：52 【点睛】本题考翻折变换，勾股定理知识，解题关键是熟练掌握运用勾股定理进行求解，属中考常考题型。10.2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形ABCD中，E为CD上一点，将VADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处。若AB=8，AD=10，则DE的长为【答案】【答案】5【分析】设EC=x，由LB=90O，AF=AD=10，利用勾股定理可得BF的长，在RtECF中，利用勾股定理列式，即可解得EC=3，据此即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=8，AD=BC=10，AB2=6，∴CF=BC_BF=4，在RtECF中，EF2=EC2+CF2，∴(8_x)2=x2+42，解得：x=3，【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理及应用等知识，熟练掌握翻折的性质和矩形性质是解题的关键．11.2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合，BE交AD于点H，若LCBD=30O，EH=2，则BC的长度为．八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）【答案】【答案】6【分析】由翻折得到7EBD=7CBD=30O，7C=7E=90O，利用长方形的性质得到7ADB=7CBD，推出BH=2AH=4，继而得到答案．【详解】解：由翻折得7EBD=7CBD=30O，7C=7E=90O，在长方形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，7A=7ABC=7C=90O，∴7ADB=7CBD，∴7ADB=7EBD，∴BH=DH，∵7A=7E,7AHB=7EHD，∴ABH≌EDH，∴AH=EH=2，【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．12.2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°,点E，F分别在AB，CD上，且AE＝51）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①,则折痕EF长【答案】【答案】823八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）AB=12，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得BC即AC=83，则FM=AD=BC=43，根据翻折的性质有AA,EF，即可得∠MFE=∠CAB=30°,则在Rt△MFE中，得EF2，问题得解；（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，根据折叠的性质，可求出AM=AE-ME=5-4=1，即DF=AM=1，D,H=A,D,_A,H=43_A,H，在Rt△A,HE和Rt△D,HF中，利用勾股定理有HF2=D,F2+D,H2，在Rt△GHE中利用勾股定理即可求解。【详解】解1）过F点作FM⊥AB于M点，如图，在长方形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠DAB=∠D=90°,∵FM⊥AB，∴∠FMA=∠FME=90°,∴四边形AMFD是矩形，∴AD=FM，DF=AM，∵∠CAB=30°,AB=12，∴在Rt△ABC中，有2BC=AC，即AB2+BC2=AC2，得122+BC2=(2BC)2，解得，BC即AC=83，∴∠MFE+∠FEM=90°,∠CAB+∠AEF=90°,∴∠MFE=∠CAB=30∴在Rt△MFE中，有2ME=EF，即ME2+MF2解得EF=8，即ME=4，故答案为：8．（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，如图，根据翻折的性质有，DF=D,F，AE=A,E，AD=A,D,，LD,=LD=90o，LD,A,E=LDAB=90o，∵ME=4，AE=5，∴AM=AE-ME=5-4=1，∴DF=AM=1，根据折叠的性质有：GH垂直平分EF，∴FG=GEEF=4，∵在Rt△A,HE和Rt△D,HF中，利用勾股定理有HF2=D,F2+D,H2，HE2=A,H2+A,E2，八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）A,A,H2=A,H2+52，解得A,H=3，∴HE【点睛】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理以及含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理，学会利用参数构建方程解决问题．13.2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形ABCD中，AB=3，BC=210，点E在BC边上，连接DE，将DEC沿DE翻折，得到DEC,，C,E交AD于点F，连接AC．若点F为AD的中点，则AC,的长度为． 【分析】过点C'作C'H⊥AD于点H，由折叠的性质可得CD＝C'D＝3，∠C=∠EC'D＝90°,由勾股定理可求C'F＝1，由三角形面积公式可求C'H的长，再由勾股定理可求AC'的长。 【详解】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H，∵点F为AD的中点，AD＝BC＝210，∴AF＝DF＝10，∵将△DEC沿DE翻折，∴CD＝C'D＝3，∠C 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求C'H的长是本题的关键。14.2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=3，点E是AB边上的动点（不与点A，B重合连接CE，将BCE沿直线CE翻折得到B,CE，连接AB,．当点B,落在边AD上，且点八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）B,恰好是AD的三等分点时，△AEB,的周长为．【答案】5+1或22+2【分析】分以下两种情况进行讨论。①当点B,恰好是AD的三等分点且靠近A点时；②当点B,恰好是AD的三等分点且靠近D点时，根据折叠性质及勾股定理求解即可。【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=m，AD=BC=3．由题意，可知需分以下两种情况进行讨论。①当点B,恰好是AD的三等分点且靠近A点时，如图1所示。又∵AD=3，∴AB,=1，DB,=2．由折叠的性质，可知BC=B,C=3，BE=B,E，②当点B,恰好是AD的三等分点且靠近D点时，如图2所示。又∵AD=3，∴AB,=2，DB,=1．由折叠的性质，可知BC=B,C=3，BE=B,E，综上所述，当点B,落在边AD上，且点B,恰好是AD的三等分点时，△AEB,的周长为5+1或22+2．故答案为：5+1或22+2【点睛】本题考查矩形及其折叠问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形性质和折叠的性质，对点B,位置进行分情况讨论。15.2023春·重庆南岸·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为．八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版） 【分析】过点D作AB的垂线段，交AB于点G，根据题意，可得△AGD为等腰直角三角形，再根据翻折到EO的长。 【详解】解：如图，过点D作AB的垂线段，交AB于点G， LC=90O，AC=BC=5，DG上AB，:ADG为等腰直角三角形，AB=52, 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据勾股定理列方程求解问题，翻折问题，正确的作出辅助线，一步一步推论是解题的关键。16.2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将ΔDCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）【答案】1【分析】由对折先证明DE=DC=3,DFE90靶,DEF=DEC,CEEF,再利用勾股定理求解AF,再证明AE=AD=5,从而求解EF,于是可得答案.【详解】解：长方形ABCD中，BC=5，AB=3，\AD=BC=5,CD=AB=3,ÐC=90°,AD∥BC,2QAD∥BC,\ÐADE=ÐCED,:LADE=LAED,\AE=AD=5,\EF=AE-AF=1,:CE=1.故答案为：1【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解AF=4,AE=AD=5是解本题的关键.将斜边AB翻折使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为【答案】【答案】4cm【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB，已知AC的长，可将CE的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD的长．∴AB由题意得，AE=AB=1∴CE=AE-AC=15-12=3(cm)．设CD=x，则BD=9-x=DE，在Rt△CDE中，根据勾股定理得CD2+CE2=DE2，即x2+32=(9-x)2，解得x=4，即CD长为4cm．【点睛】本题考查的是翻折变换，理解翻折变换的性质是解题的关键，翻折后的图形与原图形是全等的．八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）18.2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°,BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为．【答案】【答案】3.4【分析】由折叠的性质得BE=AE，设BE=AE=x，后在RtBEC中，由勾股定理得出方程，求出x即可．【详解】解：由折叠的性质得：BE=AE，设BE=AE=x，在RtBEC中，由勾股定理得：BE2=BC2+EC2，【点睛】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．19.2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．(1)(1)求证：△AEC是等腰三角形；(2)若AB=8，BC=16，求图中△ACE的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，得到7ACB=7EAC，根据折叠的性质得到7ACB=7ACE，进而得到7CAE=7ACE可得到结论2）设AE=CE=x，则：DE=AD_AE=16_x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的值，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形即矩形，∴AD∥BC，∴7ACB=7EAC，∵将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴7ACB=7ACE，∴7CAE=7ACE，∴AE=CE，∴△AEC是等腰三角形；设AE=CE=x，则：DE=AD_AE=16_x，在Rt△CDE中，DE2+CD2=CE2即)16_x(2+82=x2，解得：x=10，△ACEAE.CDx10x8=40．∴图中△ACE的面积为40．【点睛】本题考查翻折变换—折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面积的计算．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．21.2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长。【答案【分析】（1）根据题意可得LA,BA=90o,A,B=AB=8，再利用勾股定理，即可求解；（2）过点A,作A,M上AD于点M，延长MA,交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，在RtA,MP和RtA,NB中，根据勾股定理可得62=x2+(y_6)2①,82=y2+(8_x)2②,从而得到AM=，BNAM=，BN=AM=，进而得到DM=AD_AM=252525(2)解：如图，过点A,作A,M上AD于点M，延长MA,交BC于点N，根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，A,B=AB=8,A,P=AP=6，AD=BC=10，∴DP=4，上在RtA,MP中，由勾股定理得A,P2=A,M2+PM2在RtA,NB中，由勾股定理得A,B2=A,N2+BN2，即82=y2+(8_x)2②,八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）由①②联立得：yx，把yx代入②得：x或x=0（舍去252【点睛】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．22.2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动。小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同点C的对应点为点E，BE与AD交于点M，则有AB=CD=，LA=LC=L=90O，且LAMB=LEMD，易得ABM≌；(2)在（1）的条件下，若要求线段AM的长度，令AM=x，则BM=(用x表示)，在RtABM中利用勾股定理列出方程（不用化简 (3)如图2，对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于2BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．若AD=5，AB=3，求线段CQ的长。 【答案】【答案】(1)DE，E，EDM(2)BM=8_x，x2+42=【分析】（1）由矩形的性质得出AB=CD，LA=LC=90O，由折叠的性质得出CD=DE=AB，LC=LE=LA，证出ABM≌EDM(AAS)，则可得出结论2）由勾股定理可得出答案；（3）连接OQ，由翻折的不变性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，证明RtQPO≌RtQCO(HL)，推出PQ=CQ，设PQ=CQ=m，在Rt△ADQ中，利用勾股定理列式计算求解即可．∵将BDC延对角线BD翻折得到△BDE，∴CD=DE=AB，LC=LE=LA，八下数学复习专题：勾股定理中的翻折模型（精解版）∵∵LAMB=LEMD，∴ABM≌EDM(AAS)；故答案为：DE，E，EDM；（2）∵ABM≌EDM，∴BM=DM，设AM=x，则BM=DM=8_x，在RtABM中，AB2+AM2=BM2，∴42+x2=(8_x)2．故答案为：8_x，42+x2=(8_x)2；（3）连接OQ，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作图知BO=OCBC又∵OQ=OQ，∴RtQPO≌RtQCO(HL)，∴PQ=CQ，设PQ=CQ=m，则AQ=3+m，DQ=3_m，在Rt△ADQ中，AD2+QD2=AQ2，即52+(3_m)2=(3+m)2，解得m∴线段CQ的长为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23.2023秋·四川成都·九年级校考开学考试）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动。在矩形ABCD中，E为AB边上一点，F为AD边上一点，连接CE，CF，分别将BCE和CDF沿CE，CF翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线。问题探究2）如图2，若ÐDCF=22.5拓展延伸3）AB=15，AD=9，若F为AD的三等分点，请求出AE的长。【答案】（1