广东省中山市小榄中学(中山市外国语学校)2024届高三上学期第一次段考数学试题

2023-2024学年广东省中山市小榄中学（中山市外国语学校）高三（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，4}，B＝{2，5}，则（∁UA）∪B＝（）A．{3，4，5} B．{2，3，5} C．{5} D．{3}2．（5分）已知不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，则a+b＝（）A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．23．（5分）现有四个函数：x．如图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）A．①f1（x），②f3（x），③f2（x），④f4（x） B．①f1（x），②f3（x），③f4（x），④f2（x） C．①f3（x），②f2（x），③f4（x），④f1（x） D．①f3（x），②f1（x），③f4（x），④f2（x）4．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（﹣∞，0）单调递增，，则（）A．f（c）＞f（a）＞f（b） B．f（a）＞f（c）＞f（b） C．f（c）＞f（b）＞f（a） D．f（a）＞f（b）＞f（c）6．（5分）若x∈[﹣1，2]时，不等式m≥x2﹣2x+3恒成立，则实数m的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．不存在最小值7．（5分）已知函数f（x）＝，若对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，2） C．（0，） D．[）8．（5分）设x1，x2分别是方程xax＝1和xlogax＝1的根（其中a＞1），则x1+2x2的取值范围（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（）A．f（x）＝|x| B．f（x）＝x3 C．f（x）＝2|x| D．（多选）10．（5分）若a，b，c∈R且a＜b＜0，则下列不等式一定正确的是（）A． B．ab＞b2 C．a|c|＜b|c| D．a（c2+1）＜b（c2+1）（多选）11．（5分）已知函数，则（）A．f（﹣1）＝0 B．若f（a）＝1，则a＝0或a＝﹣2 C．函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增 D．函数f（x）在[﹣2，2]上的值域为[﹣1，9]（多选）12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）图象连续不断，且满足f（x+2）＝f（x），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的周期T＝2 B．f（2022）＝f（2023）＝0 C．f（x）在[﹣2，2]上有4个零点 D．（1，0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，其值域为（﹣1，+∞），则f（x）可以是.（写出一个满足条件的函数表达式即可）14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝．15．（5分）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上是减函数．若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是．16．（5分）已知x＞0，y＞0，2xy＝x+y+4，则x+y的最小值为．四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算下列各式的值：（1）；（2）．18．（12分）将已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．（1）当m＝1时，求A∩B；（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）已知f（x）＝loga（ax﹣2）（其中a＞0且a≠1）．（1）若a＝2，f（x）＜2，求实数x的取值范围；（2）若x∈[4，6]，f（x）的最大值大于1，求a的取值范围．20．（12分）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量t（单位：kg）与肥料费用x（单位：元）满足如下关系：，其它总成本为3x（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为f（x）（单位：元）．（1）求f（x）的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？21．（12分）已知函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2a+6．（Ⅰ）若函数f（x）在[4，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0有两个大于1的不等实数根，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝log2（2x﹣1）（a﹣2x+1）﹣1（a∈R）．（1）当a＝1时，求f（x）的定义域；（2）若存在x0∈（0，+∞）使得f（x0）＝x0成立，求实数a的取值范围．

2023-2024学年广东省中山市小榄中学（中山市外国语学校）高三（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，4}，B＝{2，5}，则（∁UA）∪B＝（）A．{3，4，5} B．{2，3，5} C．{5} D．{3}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】根据A和全集I求出∁UA，再与B求出两集合的并集即可．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，4}，∴∁UA＝{3，5}，∵B＝{2，5}，∴（∁UA）∪B＝{2，3，5}．故选：B．2．（5分）已知不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，则a+b＝（）A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．2【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】A【分析】先得到方程x2+ax+b＝0的两根分别为﹣2、4，再利用根与系数的关系即可求解．【解答】解：∵不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，∴方程x2+ax+b＝0的两根分别为﹣2、4，∴，∴，∴a+b＝﹣10，故选：A．3．（5分）现有四个函数：x．如图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）A．①f1（x），②f3（x），③f2（x），④f4（x） B．①f1（x），②f3（x），③f4（x），④f2（x） C．①f3（x），②f2（x），③f4（x），④f1（x） D．①f3（x），②f1（x），③f4（x），④f2（x）【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】根据函数恒过定点及其函数的单调性与奇偶性逐一进行判断即可．【解答】解：已知，其为偶函数，所以关于y轴对称，所以满足条件的为②图像；已知，由于，所以f3（x）为奇函数，故其关于原点对称，因为y＝ex是R上的增函数，y＝e﹣x是R上的减函数，所以f3（x）是R上的增函数，所以满足条件的为①图像；f4（x）＝log5x过点（1，0），且在定义域内单调递增，所以满足条件的为③图像；过点（1，0），且在定义域内单调递减，所以满足条件的为④图像；综上所述①f3（x），②f1（x），③f4（x），④f2（x）．故选：D．4．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；指、对数不等式的解法．【答案】B【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（﹣∞，0）单调递增，，则（）A．f（c）＞f（a）＞f（b） B．f（a）＞f（c）＞f（b） C．f（c）＞f（b）＞f（a） D．f（a）＞f（b）＞f（c）【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】A【分析】易知b＞a＞1，﹣1＜c＜0，且f(x)在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而得解．【解答】解：由题意知，f(x)在（0，+∞）上单调递减，因为a＝30.3＞30＝1，b＝＝30.4＞a，所以f(a)＞f(b)，因为c＝log40.3∈(﹣1,0)，所以f(c)＞f(a)＞f(b)．故选：A．6．（5分）若x∈[﹣1，2]时，不等式m≥x2﹣2x+3恒成立，则实数m的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．不存在最小值【考点】函数恒成立问题．【答案】C【分析】x∈[﹣1，2]时，不等式m≥x2﹣2x+3恒成立，即m≥（x2﹣2x+3）max，令f（x）＝x2﹣2x+3，求出函数的最大值即可得解．【解答】解：x∈[﹣1，2]时，不等式m≥x2﹣2x+3恒成立，即m≥（x2﹣2x+3）max'令f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，x∈[﹣1，2]，故f（x）max＝f（﹣1）＝6，所以m≥6，即实数m的最小值为6．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝，若对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，2） C．（0，） D．[）【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【答案】D【分析】先利用函数单调性的定义得到f（x）在R上为单调递增函数，然后由分段函数的单调性，列出不等式，求解即可．【解答】解：因为对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，所以f（x）在R上为单调递增函数，则a＞0且2﹣a＞0且2﹣a﹣4a≤a，解得，所以实数a的取值范围是．故选：D．8．（5分）设x1，x2分别是方程xax＝1和xlogax＝1的根（其中a＞1），则x1+2x2的取值范围（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】C【分析】由题意可得ax1＝，＝x2，从而可得＝x2，x2＞1；再由函数的单调性求解．【解答】解：由题意可得，x1ax1＝1，x2logax2＝1；故ax1＝，＝x2，又∵y＝ax在（0，+∞）上单调递增，故＝x2，x2＞1；故x1+2x2＝+2x2，而y＝+2x2在（1，+∞）上是增函数，故+2x2＞3；故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（）A．f（x）＝|x| B．f（x）＝x3 C．f（x）＝2|x| D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质与判断．【答案】AC【分析】利用基本初等函数的性质，依次判断四个选项即可．【解答】解：对于A，函数为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故选项A正确；对于B，函数为奇函数，故选项B错误；对于C，函数为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故选项C正确；对于D，函数为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故选项D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）若a，b，c∈R且a＜b＜0，则下列不等式一定正确的是（）A． B．ab＞b2 C．a|c|＜b|c| D．a（c2+1）＜b（c2+1）【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】BD【分析】根据题意，取特值可判断A，C；由不等式的性质可判断B，D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，a＝﹣2，b＝﹣1，则，故A错误；对于B，由a＜b＜0，两边同时乘以b，ab＞b2，故B正确．对于C，当c＝0时，有a|c|＝b|c|＝0，故C错误；对于D，因为a＜b＜0，c2+1＞0，则a（c2+1）＜b（c2+1），故D正确．故选：BD．（多选）11．（5分）已知函数，则（）A．f（﹣1）＝0 B．若f（a）＝1，则a＝0或a＝﹣2 C．函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增 D．函数f（x）在[﹣2，2]上的值域为[﹣1，9]【考点】分段函数的应用；函数的值域；函数的值．【答案】ACD【分析】将x＝﹣1代入函数解析式即可判断A；分a＜﹣1和a≥﹣1两种情况讨论即可判断B；分别判断两段函数的单调性，再观察临界值点的函数值即可判断C；根据函数的单调性即可判断D．【解答】解：对于A，f（﹣1）＝1﹣2+1＝0，故A正确；对于B，f（a）＝1，若a＜﹣1时，a+1＝1，解得a＝0（舍），若a≥﹣1时，a2+2a+1＝1，解得a＝0或a＝﹣2，a＝﹣2（舍），综上a＝0，故B不正确；对于C，若x＜﹣1时，f（x）＝x+1为增函数，若x≥﹣1，f（x）＝x2+2x+1＝（x+1）2在[﹣1，+∞）上递增，又当x＝﹣1时，x+1＝0，x2+2x+1＝0，所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故C正确；对于D，由于f（x）在定义域上单调递增，x∈[﹣2，2]，f（﹣2）＝﹣1，f（2）＝9，所以函数f（x）在[﹣2，2]上的值域为[﹣1，9]，故D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）图象连续不断，且满足f（x+2）＝f（x），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的周期T＝2 B．f（2022）＝f（2023）＝0 C．f（x）在[﹣2，2]上有4个零点 D．（1，0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质与判断．【答案】ABD【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期和奇函数的性质，计算特殊值，并结合中心对称的性质，判断选项．【解答】解：A．因为函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），所以函数是周期函数，周期T＝2，故A正确；B．因为函数是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，且f（﹣1）＝﹣f（1），又函数是周期为2的函数，所以f（﹣1）＝f（1），所以f（1）＝0，f（2022）＝f（1011×2）＝f（0）＝0，f（2023）＝f（1011×2+1）＝f（1）＝0，所以f（2022）＝f（2023）＝0，故B正确；C．根据周期可知f（﹣2）＝f（2）＝f（0）＝0，且f（﹣1）＝f（1）＝0，所以函数在区间[﹣2，2]上至少有5个零点，故C错误；D．因为函数周期为2的奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），且f（x）＝f（x+2），所以f（x+2）＝﹣f（﹣x），所以函数f（x）关于点（1，0）对称，故D正确．故选：ABD．三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，其值域为（﹣1，+∞），则f（x）可以是f（x）＝2x﹣1.（写出一个满足条件的函数表达式即可）【考点】函数的值域．【答案】f（x）＝2x﹣1．【分析】结合指数函数的性质即可直接求解．【解答】解：结合已知基本初等函数，满足条件f（x）＝2x﹣1．故答案为：f（x）＝2x﹣1．14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝．【考点】函数的值；对数的运算性质；分段函数的应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）＝，f（f（））＝f（﹣2）＝．故答案为：．15．（5分）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上是减函数．若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是﹣1≤m＜．【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，由函数为偶函数可得f（1﹣m）＝f（|1﹣m|），f（m）＝f（|m|），结合函数在[0，2]上单调递减，由此可将f（1﹣m）＜f（m）转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m的取值范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，则f（1﹣m）＝f（|1﹣m|），f（m）＝f（|m|），又由函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），即f（|1﹣m|）＜f（|m|），则有，解可得﹣1≤m＜；故答案为：﹣1≤m＜．16．（5分）已知x＞0，y＞0，2xy＝x+y+4，则x+y的最小值为4．【考点】基本不等式及其应用．【答案】4．【分析】由已知结合基本不等式可得x+y+4≤，再解一元二次不等式即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，∵2xy＝x+y+4，∴x+y+4≤，即（x+y）2﹣2（x+y）﹣8≥0，解得x+y≥4或x+y≤﹣2（舍去），即x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以x+y的最小值4，故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算下列各式的值：（1）；（2）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．【答案】（1），（2）．【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质以及换底公式计算可得出所求代数式的值．【解答】解：原式＝．（2）解：原式＝．18．（12分）将已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．（1）当m＝1时，求A∩B；（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）m＝1时，可得出集合B＝{x|2≤x≤5}，然后进行交集的运算即可；（2）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而讨论B是否为空集：B＝∅时，得出m+1＞2m+3；B≠∅时，得出，解出a的范围即可．【解答】解：（1）当m＝1时，B＝{x|2≤x≤5}，且A＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B＝{2}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当B＝∅时，m+1＞2m+3，即m＜﹣2；②当B≠∅时，，解得，综上所述，实数m的取值范围是．19．（12分）已知f（x）＝loga（ax﹣2）（其中a＞0且a≠1）．（1）若a＝2，f（x）＜2，求实数x的取值范围；（2）若x∈[4，6]，f（x）的最大值大于1，求a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【答案】（1）x∈（1，3）；（2）a∈（）∪（1，+∞）．【分析】（1）由对数函数的定义域和单调性解不等式即可求解x的取值范围；（2）由x取值范围求出ax﹣2取值范围，分类讨论参数a，由函数的增减性，确定函数最大值，再令f（x）max＞1解不等式即可．【解答】解：（1）a＝2时，f（x）＝log2（2x﹣2）＜2，所以解得1＜x＜3，故实数x的取值范围是（1，3）；（2）因为a＞0，则x∈[4，6]时，4a﹣2≤ax﹣2≤6a﹣2，且y＝ax﹣2为增函数，当a＞1时，函数f（x）在[4，6]上单调递增，所以f（x）max＝f（6）＝loga（6a﹣2）＞1，解得a，又因为a＞1，所以解得：a＞1；当0＜a＜1时，函数f（x）在[4，6]上单调递减，所以f（x）max＝f（4）＝loga（4a﹣2）＞1，所以，解得＜a＜，综上所述，a的取值范围是（）∪（1，+∞）．20．（12分）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量t（单位：kg）与肥料费用x（单位：元）满足如下关系：，其它总成本为3x（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为f（x）（单位：元）．（1）求f（x）的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元．【分析】（1）根据利润＝毛收入﹣成本可得结果；（2）分段求出最大值，在两者中的更大的为最大值．【解答】解：（1）由题意可得，f（x）＝5t（x）﹣x﹣3x＝，所以函数f（x）的函数关系式为；（2）当0≤x≤3时，f（x）＝x2﹣4x+43在[0，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，又f（0）＝43，f（3）＝40，所以f（x）max＝43，当3＜x≤10时，，当且仅当，即x＝6时等号成立，此时f（x）max＝52，综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2a+6．（Ⅰ）若函