河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题

第页，共页河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.设集合，，，则（

）A． B． C． D．2.已知，则z的虚部为（

）A．5 B． C． D．3.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（

）A．10 B．09 C．71 D．204.若函数的图像关于点对称，则实数（

）A．5 B．3 C．6 D．25.已知直线和相切，则的最大值是（

）A． B． C． D．16.在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．7.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯（结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形.除外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有，，，，，，，等，则结构含有正六边形的个数为（

）A．12 B．24 C．30 D．328.函数零点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题（本大题共4小题）9.若的展开式中的系数是，则（

）A． B．所有项系数之和为1C．二项式系数之和为 D．常数项为10.在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（

）A． B．C． D．11.如图，为椭圆：上的动点，过作椭圆的切线交圆：于，，过，作切线交于，则（

）A．的最大值为B．的最大值为C．的轨迹方程是D．的轨迹方程是12.已知C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，，，E，F分别是PC，PB的中点，平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，则直线PQ与平面AEF所成的角的取值可以为（

）A．0° B．15° C．30° D．45°三、填空题（本大题共4小题）13.为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为14.若，则15.定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为16.《益古演段》是我国古代数学家李冶（1192～1279）的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等.其中有这样一个问题：如图，已知，点、分别在的两个边上移动，且保持、两点间的距离为，则点、在移动过程中，线段的中点到点的最大距离为．四、解答题（本大题共6小题）17.如图所示，在四边形ABCD中，，，(1)求BC；(2)若BD为的平分线，试求BD．18.数列{an}满足：，点在函数的图象上，其中k为常数，且.(1)若，，成等比数列，求k的值；(2)当时，求数列的前项的和19.如图①，在梯形中，，，，，梯形的高为1，M为AD的中点，以BM为折痕将△ABM折起，使点A到达点N的位置，且平面NBM⊥平面BCDM，连接NC，ND，如图②.(1)证明：平面NMC⊥平面NCD；(2)求图②中平面NBM与平面NCD夹角的余弦值.20.为调查某社区居民进行核酸检测的地点，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：单位：人性别核酸检测地点合计工作单位社区男105060女101020合计206080(1)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人以社区为核酸检测地点的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.21.已知椭圆,点P为椭圆C上非顶点的动点,点,分别为椭圆C的左、右顶点,过,分别作，，直线,相交于点G,连接OG（O为坐标原点）,线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP,OQ的斜率分别为,.(1)求的值;(2)求面积的最大值.22.已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围.

参考答案1.【答案】D【分析】解出集合，利用交集和并集的含义即可.【详解】方程的解为或4，故，则，，故选：D.2.【答案】A【分析】对进行化简，根据虚部概念即可得到答案.【详解】，故其虚部为5，故选：A.3.【答案】B【分析】按照题意依次读出前4个数即可.【详解】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B4.【答案】B【分析】利用函数图像关于点对称的性质，即可列出，求解即可.【详解】解：已知函数的图像关于点对称，所以，即，此时的图像显然关于点对称，符合题意，故选：B.5.【答案】A【分析】根据题意，由直线与圆的位置关系可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆的圆心为，半径，若直线和相切，则有，变形可得，又由，变形可得，当且仅当时等号成立，故的最大值是，故选：．6.【答案】D【分析】利用坐标法，以为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量，再求解二次函数最值即可.【详解】建立如图所示的坐标系,则,设,则,且,故当时,的最小值为,故选：D.7.【答案】D【分析】利用欧拉定理：顶点数＋表面数－棱长数＝2，即；与多边形的边数为的棱数建立方程组得解.【详解】设分子中形状为正五边形和正六边形的面各有和个，,，由欧拉公式可得即又由多边形的边数可表示的棱数，即，即解得结构含有正六边形的个数为故选：D8.【答案】D【分析】判断的奇偶性,利用导数求得在上的单调性,由零点存在性定理判断零点个数,再利用放缩法可得当时,,从而判断零点个数,再利用的奇偶性即可得结论.【详解】,是上的偶函数，,①当时,令,得或，令,得.在和上单调递增,在上单调递减.,使得在上有两个零点.②当时,，在上没有零点，由①②及是偶函数可得在上有三个零点.故选：D.9.【答案】ABC【分析】首先根据展开式中的系数是得到，从而判断A正确，令得到所有项系数之和为，从而判断B正确，根据二项式系数之和为，从而判断C正确，根据的常数项为，从而判断D错误.【详解】对选项A，的展开式中项为，所以，解得，故A正确；由A知：，令，所有项系数之和为，故B正确；对选项C，二项式系数之和为，故C正确；对选项D，的常数项为，故D错误.故选：ABC10.【答案】AC【分析】由已知等式得出，然后用累加法求得，判断AB，由并面求和法求得判断CD．【详解】因为，所以，两式相减得，所以，故A正确，B错误.，故C正确.D错误.故选：AC．11.【答案】AD【分析】设出，根据椭圆和圆的方程分别写出所在的直线方程，从而求出，代入椭圆方程即可求出的轨迹方程是；根据到直线的距离求出的面积，从而利用基本不等式求最值.【详解】设，则切点弦所在的直线方程为，又因为为椭圆上的一点，所以切线所在的直线方程为，所以，即，所以，因为在椭圆上，所以，即，所以的轨迹方程是.因为直线的方程为，所以到直线的距离为，所以的面积为，当且仅当且时，即时等号成立，所以的最大值为.故选：AD.12.【答案】BC【分析】以为原点,,所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用线面夹角公式即可求出范围.【详解】为直径，，由,分别是,的中点.可得,又平面平面平面,又平面,平面平面.以为原点,所在直线分别为、轴,建立空间直角坐标系,则,，，，可设,平面的一个法向量为,则,可得，又,则,设直线与平面所成角为,则.所以直线与平面所成角的取值范围为，即.故选：BC.13.【答案】0.58####58%【分析】分两人都回答正确，甲回答正确，乙回答错误，以及甲回答错误，乙回答正确三种情况讨论即可.【详解】由题意,设“甲答题正确”为事件,“乙答题正确”为事件,则,设“至少有一人正确”为事件，，故答案为：.14.【答案】【分析】先通过诱导将原式化简，进而求出，然后将用二倍角公式展开，进而构造成的齐次式，然后切化弦求出答案.【详解】因为，所以，解得，则故答案为：.15.【答案】8091【分析】利用“均倒数”的概念求出，再利用递推关系求出，再代入值即可.【详解】由已知可得数列的前项的“均倒数”为可得,则时,，当时,,满足,.故答案为:8091.16.【答案】3【分析】将补形成平行四边形，然后分别在中运用余弦定理，结合基本不等式可求解的最大值，即可求的最大值.【详解】如图，延长到点，使，是线段的中点，四边形是平行四边形，，在中，，，当且仅当等号成立在中，，.故答案为.17.【答案】(1)5(2)8【分析】（1）利用正弦定理得，代入数据即可解出.（2）利用余弦定理得到，代入数据即可解出.【详解】（1）由正弦定理得，∴＝∴.（2）由，可得，又，为的平分线，∴A，B，C，D四点共圆，，由余弦定理得，即∴.18.【答案】(1)2；(2).【分析】（1）通过合理代值，解出，，则得到，解出即可.（2）通过累加法得到.【详解】（1）由可得，，，所以，，.又，，成等比数列，，即，又，故.（2）时，，，，…，，.19.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）在梯形中,过点作于点,连接,证明,推出.证明,说明平面，推出，然后证明平面.得到平面平面.（2）以为原点,,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,平面的一个法向量利用空间向量的数量积,求解平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明:如图,在梯形中,过点作于点，连接,由题意知,.由,可得，则，,又四边形为正方形,.在四棱锥中,平面平面,平面平面,平面，平面平面,且平面,平面.又平面平面平面.（2）在四棱锥中,以为原点,所在的直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得平面平面,平面平面,平面，平面是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为,,即,取,则,,,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.【答案】(1)能(2)E（X）＝，D（X）＝【分析】（1）根据联表计算，最后得到结论相关，即概率不超过0.01；（2）由题得X～B，代入期望和方差公式即可得到结果.【详解】（1）令假设为H0：居民的核酸检测地点与性别无关系，根据2×2列联表得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0.01.（2）由题意得，X～B，且，k＝0,1,2,3，故E（X）＝np＝3×＝，D（X）＝np（1－p）＝3××＝.21.【答案】(1)(2)【分析】(1)设,由题意写出直线的方程,求出点的坐标,从而表示出,进而求出的值.(2)设直线、的方程,联立方程求出,的坐标,计算点到直线的距离,表示出面积,利用基本不等式求解最大值.【详解】（1）由题知，设,则,∵,，，∴,.∴直线的方程为，直线的方程为由得又点P在椭圆C上,∴,∴,∴，∴.（2）根据（1）可知直线OP的方程为直线OQ的方程为.由得,解得根据椭圆的对称性,不妨设,则，.由得.设,,由（1）知异号,∴异号,∴.∴点Q到直线OP的距离..∵，,当且仅当，即时取“=”.∴△POQ面积的最大值为.22.【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)【分析】（1）由题意得，令求出零点，即可得的单调区间；（2）恒成立，转化