北师大版五年级下册数学“倍数与因数”周末拔尖教学设计

北师大版五年级下册数学“倍数与因数”周末拔尖教学设计  一、教学基本信息  【课题】倍数与因数单元知识梳理与拓展（周末拔尖特训第6周）  【课时】2课时（90分钟）  【授课对象】小学五年级学生（数学兴趣小组或学有余力学生）  【课程类型】单元复习与拓展课、拔尖特训课  【设计理念】本设计遵循“以学生发展为本”的课程改革理念，立足于学生已有的认知基础，打破单元常规复习的简单重复模式，采用“核心问题驱动+数学思想渗透+高阶思维训练”的方式，引导学生对“倍数与因数”这一核心概念进行深度建构与横向联结。教学不仅关注知识技能的巩固，更着眼于数感、推理意识、模型意识的培养，通过富有挑战性的问题情境和开放性的探究活动，激发学生数学学习的潜能，为后续学习公倍数、公因数、约分、通分乃至初中的数论知识奠定坚实基础。  二、教学目标  （一）知识与技能【基础】  1、进一步理解自然数中倍数与因数的意义，熟练掌握找一个数的倍数和因数的方法，并能准确、有序地列举。  2、深入理解2、3、5的倍数的特征，并能运用特征进行快速判断和说理。  3、准确区分奇数、偶数、质数、合数的概念，理解它们之间的区别与联系，掌握100以内质数表，并能根据定义判断一个数是质数还是合数【重要】。  （二）过程与方法【核心】  1、经历观察、猜想、验证、归纳的数学活动过程，探索数的整除特征背后的道理，发展合情推理和初步的演绎推理能力。  2、通过“列举—分类—概括”的方法，理解质数与合数的本质，体会分类思想和集合思想。  3、在解决实际问题（如分组、铺砖）的过程中，初步感悟公因数、公倍数的生活原型，建立数学模型【难点】。  （三）情感、态度与价值观  1、在探索数字奥秘的过程中，感受数学的严谨与美妙，激发对数学的好奇心和求知欲。  2、通过小组合作与思辨，培养勇于质疑、乐于分享的科学态度和批判性思维。  3、了解我国古代数学家在数论研究方面的贡献（如《九章算术》），增强民族自豪感。  三、教学重难点  【教学重点】  1、倍数与因数的概念内涵及其相互依存关系。  2、2、3、5的倍数特征的归纳与应用。  3、质数与合数的概念辨析与判断方法。  【教学难点】  1、理解为什么3的倍数要看各个数位上的数字之和，而非只看个位。  2、正确理解“1”在因数与倍数知识体系中的特殊性（既不是质数也不是合数）。  3、在具体情境中，初步感知最大公因数与最小公倍数的意义，并能用其思想解决简单的实际问题【高频考点，思维拓展】。  四、教学方法与准备  【教学方法】问题驱动法、引导探究法、小组合作学习法、对比归纳法、分层练习法。  【教学准备】多媒体课件（含数字卡片、动画演示）、分组学习任务单（A基础巩固、B思维拓展、C挑战自我三层次）、数字磁贴、百数表挂图。  五、教学过程  第一课时概念深潜：建构数与数之间的联系  （一）创境启思，引入核心概念  1、游戏导入：“数字找朋友”。    教师出示数字“12”，提问：“你能在1到30的自然数中，找到12的朋友吗？请说明你的理由。”学生可能会从乘法或除法算式入手，如“2和6，因为2×6=12”“3和4，因为3×4=12”，也可能有“24，因为24是12的倍数”。    【设计意图】通过开放性的游戏，唤醒学生对乘法算式中乘数与积的关系的已有经验，自然引出“倍数”与“因数”的概念。同时，让学生初步感知这两个概念的相互依存性。  2、精准定义，辨析概念【非常重要】。    教师板书概念：在自然数（0除外）范围内，如果a×b=c（a、b、c都是非零自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。    关键追问：“能单独说一个数是因数或倍数吗？比如，我能说12是倍数吗？”引导学生明确：倍数和因数是表示两个数之间的一种关系，必须说“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。    【难点辨析】出示判断题：    （1）因为1.2×5=6，所以1.2和5是6的因数。（错，必须在非零自然数范围内）    （2）因为18÷3=6，所以18是倍数，3是因数。（错，表述不完整，应说18是3的倍数，3是18的因数）    【设计意图】通过正反例辨析，精准把握概念的两个核心要点：范围（非零自然数）和关系（相互依存）。  （二）探究寻法，深化概念理解  1、自主探究：找一个数的因数。    任务一：请找出36的所有因数。    学生独立尝试，教师巡视，收集典型作品。    展示交流：对比呈现无序列举、遗漏重复的答案和有序列举、成对书写的答案。    优化方法：引导学生总结出“成对找，按顺序写”的方法。即从1开始，看哪两个非零自然数的乘积等于36，一对一对地找，直到两个数越来越接近为止。    板书：36的因数有：1，36；2，18；3，12；4，9；6，6。通常写作：1,2,3,4,6,9,12,18,36。    【重要结论】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。    即时练习：找出48和17的因数。通过17的因数只有1和17，引出质数的概念做铺垫。  2、自主探究：找一个数的倍数。    任务二：请找出3的倍数，至少写出5个。    学生很快得出：3,6,9,12,15……    追问：能找完吗？用什么符号表示？引导学生得出倍数的无限性，以及用省略号表示。    【重要结论】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。    对比反思：小组讨论“找一个数的因数”和“找一个数的倍数”的方法有何异同？进一步巩固两个核心概念。  （三）特征揭秘，感受数学奇妙【热点】  1、观察与猜想：2、5的倍数特征。    出示两组数：2、4、6、8、10、12……（2的倍数）；5、10、15、20、25……（5的倍数）。    观察：这些数有什么共同特点？学生容易发现：2的倍数个位是0、2、4、6、8；5的倍数个位是0或5。    追问：个位是0的数有什么特殊性？（既是2的倍数，又是5的倍数）  2、深入探究：3的倍数特征【难点】。    设疑：个位是3、6、9的数一定是3的倍数吗？（如13、16、19）引发认知冲突。    引导探究：请学生在百数表中圈出3的倍数：3、6、9、12、15、18、21……观察这些数的个位，毫无规律。换个角度，看看各个数位上的数字和。    计算举例：12→1+2=3，是3的倍数；27→2+7=9，是3的倍数；123→1+2+3=6，是3的倍数。    举例验证：再随机举一些数，如84、111、216，验证猜想。    得出结论：一个数各个数位上的数字之和如果是3的倍数，这个数就是3的倍数。    【思维拓展】为什么看“和”而不是看“个位”？教师可借助“小棒”或“位值制”原理进行简单说明（例如，10被3除余1，所以十位上的数字几就相当于有几个余1，加上个位数字，再除以3看余数），不做统一要求，旨在激发学有余力学生的探究兴趣。  3、综合应用：数字游戏。    用数字卡片0、2、5、8，按要求组数：    （1）组成是2的倍数的三位数。    （2）组成是5的倍数的三位数。    （3）组成同时是2和5的倍数的三位数。    （4）组成是3的倍数的三位数。  （四）分层练习，巩固内化  【A层基础必达】  1、根据算式5×7=35，说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？  2、写出下面各数的因数或倍数。    （1）18的因数：__________________    （2）9的倍数（写出5个）：__________________  【B层综合应用】  3、一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？  4、用“2、3、4、0”四个数字，组成一个同时是2、3、5的倍数的最大三位数。  【C层思维挑战】  5、古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（除了它本身）相加的和，那么这个数就是“完美数”。例如：6的因数有1、2、3、6，除去本身6，1+2+3=6，所以6是一个完美数。请你找出30以内的另一个完美数。  第二课时思维进阶：构建数的分类体系与应用  （一）回顾导入，激活经验    师生共同回顾上节课的核心概念：因数、倍数、2/3/5的倍数特征。并提出新问题：如果按照因数的个数来分类，自然数（0除外）可以分成哪几类？引出本节课的核心任务——认识质数与合数。  （二）分类建构，认识质数与合数【核心概念】  1、自主分类，初步建模。    任务：请找出120各数的所有因数，并根据因数的个数，尝试将它们分分类。    学生独立完成学习任务单上的表格（数字120，列出所有因数，数出因数个数）。    小组合作交流：讨论可以分成几类？分类的标准是什么？  2、汇报交流，揭示概念。    小组代表展示分类结果，可能有两种分法：    分法一：分成两类——质数（只有两个因数）和合数（有两个以上因数）。    分法二：分成三类——质数、合数、以及特殊的“1”（只有一个因数）。    【精准定义】教师引导全班辨析，最终达成共识：自然数（0除外）按因数的个数可以分为三类：    质数：只有1和它本身两个因数。    合数：除了1和它本身还有别的因数。    1：既不是质数，也不是合数。（只有因数1）    板书并强调1的特殊性【重要】。  3、方法优化，快速判断【高频考点】。    提问：如何快速判断一个数（如37、51）是质数还是合数？    引导学生总结方法：看这个数除了1和本身，是否有其他因数。可以依次用2、3、5、7等质数去试除，如果找到一个因数（除1和本身外），就是合数。例如51，能被3整除（5+1=6），所以是合数。而37，不能被2、3、5、7整除，初步判断为质数。    介绍100以内质数表，并引导学生观察规律（如除了2以外，所有质数都是奇数）。  （三）联系生活，初探公因数与公倍数【难点，思维预热】  1、情境一：铺砖问题——公因数思想。    出示问题：小明的书房长24分米，宽18分米。如果要用正方形的地砖铺满地面（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长多少分米的地砖？最大边长是多少分米？    引导学生分析：地砖的边长必须同时是24和18的因数。即找出24的因数（1,2,3,4,6,8,12,24）和18的因数（1,2,3,6,9,18），找出它们共同的因数：1、2、3、6。所以可选边长1dm、2dm、3dm、6dm。其中最大的公因数是6。    【概念引出】像这样，几个数公有的因数，叫做它们的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数。  2、情境二：排队问题——公倍数思想。    出示问题：学校体操队进行训练，如果每6人一排，或每8人一排，都正好排完，没有剩余。体操队至少有多少人？    引导学生分析：体操队的人数必须同时是6和8的倍数。找出6的倍数（6,12,18,24,30……）和8的倍数（8,16,24,32……），发现它们最小的公有倍数是24。所以至少24人。    【概念引出】像这样，几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个（0除外），叫做最小公倍数。    【设计意图】这两个情境不要求学生在此阶段完全掌握算法，而是通过直观的“找公有”活动，初步建立公因数、公倍数的概念模型，为后续的系统学习埋下伏笔，体现知识的螺旋式上升。  （四）高阶挑战，综合应用  1、数字谜题。    有一个三位数，它既是2的倍数，又是5的倍数，并且百位上的数字是最小的质数，十位上的数字既是奇数又是合数。这个数是多少？    【解析思路】最小的质数是2（百位）；既是奇数又是合数的一位数是9（十位）；既是2又是5的倍数，个位必须是0。所以这个数是290。  2、逻辑推理。    两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是多少？    【解析思路】想20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19。哪两个相加得20？有3+17=20,7+13=20。再检验积：3×17=51，不符合；7×13=91，符合。所以这两个质数是7和13。  3、开放探究。    用48个大小相同的小正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？（提示：长方形的长和宽都是整数，且都是48的因数。找出48的所有因数对即可。）  （五）总结反思，构建知识网络    引导学生用思维导图的形式，自主梳理本单元的知识结构。    中心词：倍数与因数。    一级分支：倍数（特征、应用）、因数（特征、应用）、数的分类。    二级分支：2、3、5倍数特征；找一个数的因数/倍数方法；奇数/偶数/质数/合数的概念与关系；公因数/公倍数的初步认识。    学生展示并互评，教师点评提升，强调数学思想方法（分类、集合、模型）的运用。  六、板书设计    北师大版五年级下册倍数与因数（拔尖特训）    一、核心概念      因数与倍数：相互依存，自然数（0除外）a×b=c，a、b是c的因数，c是a、b的倍数。    二、基本方法      1、找因数：成对找，按序写（个数有限，最小1，最大本身）      2、找倍数：乘自然数，写不完用…（个数无限，最小本身）    三、倍数特征      2的倍数：个位是0、2、4、6、8      5的倍数：个位是0或5      3的倍数：各个数位数字之和是3的倍数    四、数的分类（按因数个数）      质数：只有两个因数（1和本身）      合数：至少有三个因数      1：既不是质数也不是合数    五、初步延伸      公因数：几个数公有的因数      公倍数：几个数公有的倍数  七、教学反思（预设）    本设计试图突破常规复习课的“炒冷饭”模式，将知识的巩固、能力的提升和思维的拓展融为一体。成功之处可能在于：1、通过核心问题驱动，让学生在“找朋友”“分类”等活动中自主建构知识，体现了学生的主体地位。2、注重概念的本质辨析，如倍数因数的依存关系、1的特殊性，有效避免了常见错误。3、适度引入公因数、公倍数的生活情境，不仅为后续学习架设了桥梁，也让学生体