第2节+常用逻辑用语课件-2027届高三数学一轮复习

第2节常用逻辑用语课标解读

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.3.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q

pp是q的必要不充分条件p

q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p

q且q

p微点拨

若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q成立时相应变量的取值集合分别为A,B,那么有以下结论:集合关系结论A⫋Bp是q的充分不必要条件A⊆Bp是q的充分条件A⫌Bp是q的必要不充分条件A⊇Bp是q的必要条件A=Bp是q的充要条件2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“

”表示.

(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“

”表示.

∀

∃3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定

微点拨

命题和其否定的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可先判断此命题的否定的真假.常用结论p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件.∃x∈M,¬p(x)

∀x∈M,¬p(x)

√√×

√2.(人A必修一教材例题改编)命题“∀x∈R,x2-x+2≥0”的否定为(

)A.∃x∈R,x2-x+2<0B.∀x∈R,x2-x+2≤0C.∃x∈R,x2-x+2≤0D.∀x∈R,x2-x+2<0A解析

命题“∀x∈R,x2-x+2≥0”的否定为命题“∃x∈R,x2-x+2<0”.故选A.3.(2024·天津,2)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C解析

由题意,知a3=b3⇔a=b,3a=3b⇔a=b,则a3=b3⇔3a=3b,即二者互为充要条件.故选C.4.(2024·新高考Ⅱ,2)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则(

)A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题B解析

当x=0时,p不成立,当x=1时,q成立,故p假q真,故选B.5.(人B必修一教材习题改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数a的取值范围是

.

(-∞,3)解析

由题意,集合A是集合B的真子集,所以a的取值范围为(-∞,3).考点一充分条件、必要条件的判定与探求考向1

充分条件、必要条件的判定例1

(1)(2025·天津,2)已知x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A

(2)设集合A={x|x-2>0},B={x|x<0},C={x|x2-2x>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C解析

因为A={x|x-2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0}.因为C={x|x2-2x>0}={x|x>2或x<0},显然C=A∪B,所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.故选C.(3)(2025·四川南充模拟)对于实数x,y,p:x+y≠6,q:x≠2或y≠4,那么p是q的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

问题等价于判断¬q:“x=2且y=4”是¬p:“x+y=6”的什么条件,当x=2且y=4时,显然有x+y=6,反之不一定成立,如当x=3,y=3时,x+y=6.所以¬q是¬p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件.故选A.规律方法

B

(2)(2025·安徽合肥三模)已知空间中两条直线a,b无公共点,则“直线a,b与平面α所成的角相等”是“a∥b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解析

如图所示,在正方体中,令直线AB为直线a,直线CD为直线b,下底面为平面α,显然“直线a,b与平面α所成的角相等”,但是“a∥b”不成立;由线面角的定义可知,若“a∥b”,则“直线a,b与平面α所成的角相等”成立.综上,“直线a,b与平面α所成的角相等”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.

C

(2)(2025·浙江宁波模拟)已知两个不同的直线a,b与两个不同的平面α,β,则能使α⊥β的充分条件是(

)A.a⊥α,b⊥β,a∥bB.a⊂α,b⊂β,a⊥bC.a∥b,a⊥β,b⊂αD.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC解析

由a⊥α,a∥b,得b⊥α,而b⊥β,则α∥β,故A错误;当α∥β时,也存在满足a⊂α,b⊂β,a⊥b的直线a,b,故B错误;由a∥b,a⊥β,得b⊥β,又b⊂α,则α⊥β,故C正确;由α∩β=a,b⊥a,不能得到b⊥α,故不能得到β⊥α,故D错误.故选C.规律方法

探求充分条件、必要条件的两种方法(1)直接根据充分条件、必要条件的定义判断;(2)先求出结论成立的充要条件,再将充要条件对应的范围缩小即得该结论成立的一个充分不必要条件;将充要条件对应的范围扩大即得该结论成立的一个必要不充分条件.

B

考点二充分条件、必要条件的应用例3

[一题多变](2025·江苏常州模拟)已知集合A={x|a-1≤x≤3-2a},B={x|-2<x<4},设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的充分不必要条件,则实数a的取值范围是

.

AI变式[变式](改变命题的顺序)本例把“p是q成立的充分不必要条件”改为“必要不充分条件”,其余不变,则实数a的取值范围是

.

(-∞,-1]

规律方法

根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)}(M,N非空);(2)根据题意转化为集合M与N的关系;(3)根据集合M与N的关系建立关于参数的方程(组)或不等式(组);(4)解方程(组)或不等式(组),求出参数的取值(取值范围).[对点训练3]已知p:x≤1,q:x≤a,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是

;若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是

.

(-∞,1)

(-∞,1]解析

因为p:x≤1,q:x≤a,所以若p是q的必要不充分条件,则(-∞,a]⫋(-∞,1],因此a<1,即实数a的取值范围是(-∞,1).若p是q的必要条件,则(-∞,a]⊆(-∞,1],因此a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].考点三全称量词与存在量词考向1

含有一个量词的命题的否定例4

(1)(2025·山东青岛、淄博二模)命题“∀x>y,x2>y2”的否定为(

)A.∀x>y,x2≤y2

B.∀x≤y,x2≤y2C.∃x≤y,x2≤y2 D.∃x>y,x2≤y2D解析

命题“∀x>y,x2>y2”的否定为“∃x>y,x2≤y2”.故选D.(2)(2025·河南周口模拟)命题“存在偶数a,使数据3,4,1,a,5,7的中位数是偶数”的否定为(

)A.对任意的偶数a,数据3,4,1,a,5,7的中位数是偶数B.对任意的偶数a,数据3,4,1,a,5,7的中位数不是偶数C.存在奇数a,使数据3,4,1,a,5,7的中位数是偶数D.不存在偶数a,使数据3,4,1,a,5,7的中位数不是偶数B解析

改变量词,否定结论,得否定为“对任意的偶数a,数据3,4,1,a,5,7的中位数不是偶数”.故选B.考向2

全称量词命题与存在量词命题的真假判断例5

(2025·浙江温州模拟)已知命题p:∀x∈{x|x是无理数},x3是无理数;命题q:∃n∈Z,使得n2+n是奇数,则(

)A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题D

规律方法

判断全称命题为真需全部验证,判断存在命题为真只需一例.若命题真假难辨,可先考察其否定的真假.

BCD

考向3

根据命题真假求参数的取值范围例6

(2025·江苏苏州模拟)若命题“∀x∈R,x2-2ax+6a>0”是假命题,则实数a的取值范围是(

)A.(0,6) B.(-∞,0)∪(6,+∞)C.[0,6] D.(-∞,0]∪[6,+∞)D解析

因为命题“∀x∈R,x2-2ax+6a>0”是假命题,所以它的否定“∃x∈R,x2-2ax+6a≤0”是真命题,所以Δ=4a2-24a≥0,解得a≥6或a≤0,即a的取值范围是