第6讲+函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

第

6讲

函数的概念及其表示第2章

函

数了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式01在实际情境中，会根据需要选择适当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数02了解简单的分段函数，并能简单应用03掌握求函数定义域及解析式的基本方法04必

备

知

识

梳

理概念一般地,设A,B是非空的_________,如果对于集合A中的__________________,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有______确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x),x∈A定义域___的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}1.函数的概念实数集任意一个数x唯一x2.同一个函数：必须满足两个条件:①定义域______;②对应关系______.3.函数的表示法表示函数的常用方法有_________、图象法和列表法.相同相同解析法4.

分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因__________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数表示的是_____个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______,其值域等于各段函数的值域的______.并集对应关系一并集1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.

(3)分段函数定义域的各段区间的交集一定是空集.(

)(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.(

)(5)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.(

)1.判断下面结论是否正确(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(

)(2)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.(

)解

析×√×√(1)函数值域是集合B的子集.(4)分段函数是一个函数.(5)只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数.×

解

析B

解

析

解

析

[－3,0)∪(0,＋∞)5.(人教B版·必修一·教材习题)已知函数f(x+1)=2x-3,则f(4)=

,f(x)=

.

解

析令x+1=4,得x=3,代入得f(4)=3;设x+1=t,则x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5.32x-5考

点

题

型

剖

析

1求函数的定义域解

析角度一：求具象函数的定义域B

1.对求具象函数f(x)的定义域可能有如下几种情况：①若f(x)是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；②若f(x)是偶次根式，则其定义域是使被开方数大于等于0的实数的取值集合；

③若f(x)是对数型函数，其真数大于0的实数的取值集合；③如果f(x)是由一些函数通过四则运算组合而成的，那么它的定义域是各函数定义域的交集.

1求具象函数定义域解

析C

解

析角度二：求抽象函数的定义域

C1.

求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],

则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],

则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.

1求抽象函数定义域解

析

A

1求混合函数定义域解

析

2求函数的解析式

解

析换元法例2

(1)已知f(1-sinx)=cos2x,求f(x)的解析式;设1－sinx＝t,t∈[0,2],则sinx＝1－t,∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x,∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2,x∈[0,2].解

析配凑法+换元法

例2

(3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;解

析待定系数法

解

析解方程组法(4)(解方程组法)因为f(x)-2f(-x)=9x+2,①所以f(-x)-2f(x)=9(-x)+2,②由①+2×②得-3f(x)=-9x+6,所以f(x)=3x-2(x∈R).例2

(4)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式.

解

析

2求函数的解析式BCD

解

析

3分段函数问题角度一：分段函数求值解

析B将x＝－1代入,得f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0,所以f[f(－1)]＝f(0),将x＝0代入,得到f(0)＝e0＋ln1＝1.因此,f[f(－1)]＝f(0)＝1.故选B.1、分段函数求值问题的求解策略(1)单层函数求值:确定x所属的区间范围,选择对应的分段解析式计算f(x).(2)复合函数求值:对于f(f(a))这类嵌套函数,采用由内到外的求解顺序计算.(3)周期函数处理:当某段解析式满足f(x)=f(x+m)(m≠0)时,利用周期性将自变量的值转化到定义域范围内,再代入计算.

解

析

3分段函数求值B

角度二：分段函数方程与不等式解

析CA.2

B.4

C.6

D.8

角度二：分段函数方程与不等式解

析当a≤0时,f(a)=a2+2a,由f(a)≥0,得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2,又a≤0,所以可得a=0或a≤-2;当a>0时,f(a)=lg(a2+1),由f(a)≥0,得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,又a>0,所以可得a>0.综上,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[0,+∞).(-∞,-2]∪[0,+∞)1、与分段函数有关的方程、不等式的解法

当未知数的取值范围不确定时,分类讨论求解;

当未知数的取值范围确定,且含有参数时,依据未知数的情况,直接代入相应的解析式求解.

注意:求解与分段函数有关的方程(不等式)的问题时,