云南文山壮族苗族自治州富宁新纪元云贵发展中心2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页云南文山壮族苗族自治州富宁新纪元云贵发展中心2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，若复数z=(a+1A.−1 B.0 C.1 D.2.关于非零向量a方向上的单位向量e，下列说法正确的是(

)A.e有无数个 B.e与a可能反向 C.e=1 3.用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有(

)A.320石 B.160石 C.80石 D.60石4.一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90∘A.83 B.4 C.255.在▵ABC中，已知AC=λMC，点P在线段A.2 B.32 C.3 D.6.在锐角▵ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b=3，c=2A.6 B.3 C.3 7.已知z1,z2∈C，z1A.0 B.1 C.3 D.8.已知A，B，C三点在球O的球面上，且AC⊥BC,AC=22,BC=2，若球OA.16π B.24π C.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是(

)A.i2025=i B.复数21+i的共轭复数为1+i

C.若复数z为纯虚数，则|10.设m,n是两条不同的直线，α,βA.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α； B.若m⊂β,α//β则m11.对于▵ABC，有如下命题，其中错误的是A.若sin2A+sin2B+cos2C<1，则▵ABC为锐角三角形

B.若AB=3，AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设向量a,b的模分别为2和3，且夹角为60∘，则a+13.现从编号为01,02,…,50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为

．39832776

39918535

32591131

4046923514.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体(如图乙)，若勒洛四面体ABCD能够容纳的最大球的表面积为25π，则正四面体ABCD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，长方体ABCD−A1B1C(1)求证：直线BD(2)求异面直线BD116.(本小题15分)如图，已知两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，点C是以(1(2)17.(本小题15分)已知复数z=3a+ai，w(1)求(2)证明：(3)设z，w在复平面上对应的向量分别为OZ，OW，若O18.(本小题17分)

在△ABC中，以a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且cos2B+cos2C−cos2A=1−sinB⋅sinC19.(本小题17分)如图1，平面四边形ABCD中，▵BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB=B(1)当三棱锥C−(2)若棱CD上存在一点H，使得MH//平面(3)当平面ABD⊥平面B1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】AB10.【答案】BC11.【答案】AB12.【答案】1913.【答案】32

14.【答案】4+615.【答案】(1)证明：设AC和BD交于点O，连接PO，

∵P，O分别是DD1，BD的中点，∴PO/​/BD1，

又∵BD1⊄平面PAC，PO⊂平面PAC，

∴BD1/​/平面PAC．

(2)解：由(1)知，PO/16.【答案】解：(1)因为OA和OB的长度为1，夹角为2π所以|(2)∵点C是以O为圆心的劣弧

∴

∠AO∴

OA⋅∴

A==1

17.【答案】解：(1)由已知z=3所以z−又z−w=所以4化简可得x2又x≠0，所以x=(2)由(1所以w=又z=所以w=(3)设z在复平面上对应的向量为w在复平面上对应的向量为OW所以OZ故2a2=

18.【答案】解：(1)由cos2B+cos2C−cos2A=1−sinB⋅sinC得sin2A=sin2B+sin2C−sinBsinC，

由正弦定理可得a2=b2+c2−bc，

由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，

因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)因为19.【答案】解：(1)设C到平面AB∵AB⊥B∴S∴VC故要使三棱锥C−AB∴当C的投影在棱BD上时，h最大，且hmax=CG，此时CG∴CG∵AB⊥∴AB⊥平面BC∴A(2)取CD中点H∵   M∴HM∵HM⊄